【正文】 量為 K 稀疏，且有 KKX ?????。這就是壓縮感知（ CS）理論的核心內(nèi)容。因此在 CS理論中隨機(jī)矩陣被廣泛應(yīng)用于 CS觀測中。 （ 1） 是尖峰基)()( kttk ????，?為傅立葉基njtij ent /22/1)( ????，則有 1?。這一點(diǎn)對于高效的數(shù)字計(jì)算是至關(guān)重要的。 三個(gè)關(guān)鍵技術(shù) 從以上壓縮感知理論的介紹中我們可以看出，壓縮感知理論主要包括以下三個(gè)方面的內(nèi)容： （ 1）信號稀疏表示； （ 2）信號的編碼測量即觀測矩陣的設(shè)計(jì)； （ 3）信號重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)。即對于信號NRX? ，如何找到一個(gè)合適的正交基或者緊框架 Ψ，以使得原始信號在 Ψ上的表示是稀疏的。 文獻(xiàn) [23]給出稀疏的定義：信號 X在正交基?下的變換系數(shù)向量為XT???，假如對于 0p2和 R 0，這些系數(shù)滿足： （ 式 ） 則說明系數(shù)向量?在某種意義下是稀疏的。 Gabriel Peyr233。 目前信號在過完備字典下的稀疏表示的研究集中在兩個(gè)方面：（ 1）如何構(gòu)造一個(gè)適合某一類信號的過完備字典；（ 2）如何設(shè)計(jì)快速有效的稀疏分解算法。 MP算法雖然收斂速度較 BP快，但不具備全局最優(yōu)性，且計(jì)算復(fù)雜度仍然很大。顯然，如果觀測過程破壞了 X中的信息，重構(gòu) 是不可能的。對此，有限等距性質(zhì)（ restricted isometry property， RIP）給出了存在確定解的充要條件。不相干是指向量??i?不能用?i?稀疏表示。 目前，對觀測矩陣的研究是壓縮感知理論的一個(gè)重要方面。乍一看，我們幾乎不可能期望從 Y 恢復(fù)每個(gè)NRX?。 Chen， Donoho和 Saunders指出，求解一個(gè)更加簡單的 1范數(shù)最小優(yōu)化問題會(huì) 產(chǎn)生同等的解（要求?和?不相關(guān)）： 1min XT? . YXXA TCS ???? （式 ） 稍微的差別使得問題變成了一個(gè) 凸優(yōu)化問題，于是可以方便地化簡為線性規(guī)劃問題，典型算法代表： BP算法。于是用于過完備庫下稀疏分解的方法都可以用于求解壓縮感知理論的重構(gòu)計(jì)算。通過在凸集上交替投影（ Projections onto Convex Sets）的方法，可以快速求解線性規(guī)劃問題。它將 OMP進(jìn)行一定程度的簡化，以逼近精度為代價(jià)進(jìn)一步提高了計(jì)算速度（計(jì)算復(fù)雜度為 O(N)），更加適合于求解大規(guī)模問題。這些算法包括 MP算法， OMP算法，分段 OMP算法（ StOMP）和正則化 OMP（ ROMP）算法。這樣做的好處就是將信號壓縮這一端的過程簡單化，而將復(fù)雜的部分交給數(shù)據(jù)還原的這一端來做。 （ 3）重構(gòu)算法是 NP 問題。由于無線電波的累加性質(zhì)，在 k次傳輸后 sink節(jié)點(diǎn)最終得到的接收信號為 ?? ????nj j Axvy 1 ?? （式 ） 其中ω為通信過程中產(chǎn)生的噪聲。 27 第 3 章 壓縮感知理論應(yīng) 用概述 壓縮傳感理論帶來了傳統(tǒng)信號采樣理論的變革，而且具有很廣闊的應(yīng)用前景和場合。另外，壓縮傳感技術(shù)也可以應(yīng)用于醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，如稀疏核磁共振成像、壓縮感知三維磁共振波譜成像等等。 生物傳感 生物傳感中的傳統(tǒng) DNA芯片能平行測量多個(gè)有機(jī)體，但是只能識(shí)別有限種類的有機(jī)體， Sheikh等人運(yùn)用壓縮感知和群組檢測原理設(shè)計(jì)的壓縮感知 DNA芯片克服了這個(gè)缺點(diǎn)，壓縮感知 DNA芯片中的每個(gè)探測點(diǎn)都能識(shí)別一組目標(biāo)，從而明顯減少了所需探測點(diǎn)數(shù)量。 研究背景 前面緒論中已經(jīng)提到無線傳感網(wǎng)中的一些感知數(shù)據(jù)具有時(shí)間相關(guān)性和空間相關(guān)性，利用這種數(shù)據(jù)特點(diǎn)，人們可以對感知數(shù)據(jù)進(jìn)行了壓縮處理。在一些分布式編碼算法中，需要進(jìn)行傳感器節(jié)點(diǎn)間的信息交換，傳輸這些信息需要消耗能量，因此，文獻(xiàn) [13,22]提出了基于聯(lián)合稀疏模型的分布式壓縮感知算法，既采用了兩種相關(guān)性，又不需要傳感器節(jié)點(diǎn)之間交換信息，而且能夠大大降低所需要傳輸?shù)臏y量值的數(shù)目，在 此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn) [21]還利用貝爾實(shí)驗(yàn)室所采集的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。 壓縮感知理論是近幾年剛剛興起的理論，但卻展現(xiàn)了強(qiáng)大的生命力引起了廣泛的關(guān)注，下面我 們將對該理論的歷史和發(fā)展歷程做出介紹。然而這種方法卻需要多個(gè)模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片，每個(gè)芯片利用率不太高。設(shè)計(jì)的重點(diǎn)由傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)昂貴的接收端硬件轉(zhuǎn)化成為設(shè)計(jì)新穎可靠的信號恢復(fù)算法，從而簡化了雷達(dá)成像系統(tǒng)。 這兩種方法主要的不同就在于第一種方式不需要復(fù)雜的路由信息。 （ 1） 第一種：模擬通信方式 模擬通信，即傳輸?shù)臏y量值是模擬數(shù)據(jù)，具體步驟如下（假設(shè)有個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)）： 1)對于個(gè)節(jié)點(diǎn)而言，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都要利用其節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)地址（或者編號）作為產(chǎn)生偽隨機(jī)的種子（ seed），得到隨機(jī)投影矢量 }{1,kijiA ?的個(gè) K元素。 當(dāng)然，目前的壓縮感知理論還不是特別完善， 尚存在一些問題需要研究，在這里將列出其中幾個(gè)問題： （ 1）實(shí)際應(yīng)用 領(lǐng)域中，測量到的數(shù)據(jù)可能無法包含信號的全局信息，例如最傳統(tǒng)的攝像問題，每個(gè)感光器件所感知到的只是一小塊圖像而不是什么全局信息。 由上面的分析可知，重構(gòu)算法和所需的觀測次數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)前，壓縮感知 理論的信號重構(gòu)問題的研究主要集中在如何構(gòu)造穩(wěn) 定的、計(jì)算復(fù)雜度較低的、對 觀測數(shù)量要求較少的重構(gòu)算法來精確地恢復(fù)原信號。利用)log( 2NKO個(gè)采樣觀測重構(gòu)信號，需要計(jì)算量為 )loglog(22 KNKO，該方法對特別稀疏信號的恢復(fù)計(jì)算性能較高，但當(dāng)信號的稀疏度減少，需要的采樣點(diǎn)數(shù)會(huì)迅速增加，甚至超過信號本身的長度，這就失去了壓縮采樣的意義。例如 OMP算法，需要 cKM?，)ln(2 Nc?個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)才能以較高的概率恢復(fù)信號，信號重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度為)( 2NKO。 針對上述問題， 2021 年 1 月 Cand232。 重構(gòu)算法 由前面的分析可知， 過完備庫下的稀疏分解問題和壓縮感知理論的重構(gòu)問題都是線性約束下的 0范數(shù)求解問題。可見，壓縮感知和稀疏分解問題從數(shù)學(xué)意義上講是同樣的優(yōu)化問題。 稀疏信號的重構(gòu) 壓縮感知理論的核心問題是從觀測得到的有限的 MN個(gè)觀測樣本中重構(gòu)出 N長的原信號，即未知量個(gè)數(shù)比觀測量要多得多。總之，隨機(jī)高斯矩陣與大多數(shù)固定正交基構(gòu)成的矩陣不相關(guān)，這一特性決定了選它作為觀測矩陣，其它正交基作為稀疏變換基時(shí)，CSA滿足 RIP性質(zhì)。為了降低 問題的復(fù)雜度，能否找到一種易于實(shí)現(xiàn) RIP條件的替代方法成為構(gòu)造 觀測矩陣 的關(guān)鍵。然而，如果具有 K 項(xiàng)稀疏性（ KM），則該問題有望求出確定解。 壓縮感知理論中，通過變換得到信號的稀疏系數(shù)向量XT???后，需要設(shè)計(jì)觀測部分，它圍繞觀測矩陣?展開。 Donoho等人另辟蹊徑，提出了 BP算法。 過完備庫下的信號稀疏表示方法最早由 Mallat和 Zhang于 1993年首次提出， 并引入了 MP算法。 文獻(xiàn) [30]指出光滑信號的 Fourier系數(shù)、小波系數(shù)、有界變差函數(shù)的全變差范數(shù)、振蕩信號的 Gabor系數(shù)及具有不連續(xù)邊緣的圖像信號的 Curvelet系數(shù)等都具有足夠的稀疏性，可以通過壓縮感知理論恢復(fù)信號。 下面我們對壓縮感知理論的這三個(gè)關(guān)鍵技術(shù)做一個(gè)詳細(xì)的總結(jié)和分析，以為后文對壓縮感知理論在圖像重構(gòu)方面的研究打下基礎(chǔ)。最后設(shè)計(jì)合適的重構(gòu)算法從所得到的觀測值和原來的觀測矩陣來重構(gòu)原始始號。 研究者們通過大量的實(shí)驗(yàn) 分析，得出如下結(jié)論：精確重構(gòu)所需要的觀測值個(gè) 數(shù)依賴于稀疏變換基和觀測基之間的不相關(guān)性。人們對 noiselets感興趣基于以下兩個(gè)事實(shí)： 1）它們和為圖像數(shù)據(jù)和其它類型的數(shù)據(jù)提供稀疏表 示的系統(tǒng)不相關(guān)； 2）它們具有快速算法。壓縮采樣研究的是具有低相關(guān)性的兩個(gè)系統(tǒng)。許多對基都滿足不相關(guān)性質(zhì)，例如，三角尖峰和傅里葉基中的正弦波不相關(guān)，傅里葉基和小波基不相關(guān)。 16 2 不相關(guān)性 Cand232。 現(xiàn)在稀疏的含義很清楚了：如 果 x在某個(gè)變換域下是稀疏或者可壓縮的，就意味著將 x的系數(shù)Nii ,.. .,1, ??按幅值大小排列衰減很快，那么 x可以由 K個(gè)大系數(shù)很好地逼近 KKX ???。也就是說， 0,min ?? gf中僅有 K個(gè)非零 i?， 另外 N K個(gè)都是零。更準(zhǔn)確地說， CS利用了這樣一個(gè)事實(shí)，即許多自然信號在某個(gè)合適的基 Ψ下具有簡潔的表達(dá)。在許多應(yīng)用中 ，包括數(shù)字圖像和視頻攝像中，奈奎斯特抽樣速率太高，不利于數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸；在其他應(yīng)用，包括圖像系統(tǒng)（醫(yī)療瀏覽和雷達(dá)）、高速模數(shù)轉(zhuǎn)換中，增加抽樣速率代價(jià)也很昂貴。這樣，通過傳輸少量數(shù)據(jù)就可以得到整 個(gè)監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的詳細(xì)情況。 與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)不同的是，傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)以傳輸數(shù)據(jù)為目的，而無線傳感器網(wǎng)絡(luò)則是以數(shù)據(jù)為中心；與傳統(tǒng)的 Ad Hoc 網(wǎng)絡(luò)相比，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)具有以下幾點(diǎn)特征： （ 1）網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)密度高，傳感節(jié)點(diǎn)數(shù)量多 （ 2）傳感器節(jié)點(diǎn)由電池供電 （ 3）網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓l繁 （ 4）網(wǎng)絡(luò)具有容錯(cuò)能力 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)壓縮的必要性 因?yàn)樵跓o線傳感器網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)體積很小，而且分布非常密集，若是對所有采集的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行傳輸，則所需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量將是非常驚人的，會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)擁塞，也會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)壽命縮短；又由于傳感器節(jié)點(diǎn)由電池供電， 所以節(jié)點(diǎn)能量有限，而且無線傳感器網(wǎng)絡(luò)所布置的地方一般為人們不便于到達(dá)的地方，因此傳感器節(jié)點(diǎn)中的的電池很難更換。 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)概述 11 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)一般由若干傳感器節(jié)點(diǎn)組成，節(jié)點(diǎn)是組成無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的基本單位，它負(fù)責(zé)完成采 集信息、融合并傳輸數(shù)據(jù)的功能。二是凸優(yōu)化算法，它是把 0 范數(shù)放寬到 1 范數(shù)通過線性規(guī)劃 求解的，此類算法主要包括梯度投影法、基追蹤法、最小角度回歸法等。先生成 NN 的正交矩陣 U（如傅里葉矩陣），然后在矩陣 U 中隨機(jī)地選取 M 行向量，對 MN 矩陣的列向量進(jìn)行單位化得到測量矩陣。 CandeS 和 Tao 等證明 :獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)測量矩陣可以成為普適的壓縮感知測量矩陣。 圖 傳統(tǒng)編解碼理論框圖 9 壓 縮 感 知 測 量 傳 輸解 碼 重 構(gòu)特 征 提 取信 號 X 壓 縮 測 量 值 壓 縮 測 量 值 壓縮感知關(guān)鍵要素包括稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法。實(shí)際上，采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是不重要的，即 K 值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點(diǎn)數(shù) N 可能會(huì)非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費(fèi)的根本所在。 有損壓縮是利用了人類對圖像或者聲音中的某些頻率成分 不敏感的特殊性質(zhì)，允許壓縮過程中損失一定的信息；盡管不能完全恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)，但是所缺失的數(shù)據(jù)部分對于我們理解原始圖像的影響很小，卻使得壓縮比大了許多。數(shù)據(jù)壓縮的作用是能夠快速地傳輸各種信號；在已有的一些通信干線并行開通更多的多媒體業(yè)務(wù)；緊縮數(shù)據(jù)存儲(chǔ)容量；降低發(fā)信機(jī)功率等等。從信號分析角度來講，傅立葉變換是信號和數(shù)字圖像處理的理論基礎(chǔ)，小波分析將信號和數(shù)字圖像處理帶入到一個(gè)嶄新的領(lǐng)域。它是由分布在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的大量微型傳感器節(jié)點(diǎn)通過無線電通信而形成的一個(gè)自組織網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。并運(yùn)用matlab軟件，在離散傅里葉變換（ DFT）和離散余弦變換（ DCT）分塊 CS的基礎(chǔ)上，采用正交匹配追蹤算法（ OMP）實(shí)現(xiàn)了對一維信號和二維圖像的高概率重構(gòu)。 本文闡述了壓縮感知方法的基本原理，分析了 CS理論框架及關(guān)鍵技術(shù)問題，介紹了壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于無線傳感的優(yōu) 勢，并著重介紹了信號稀疏變換、觀測矩陣設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法三個(gè)方面的最新進(jìn)展，對研究中現(xiàn)存的難點(diǎn)問題進(jìn)行了探討。無線傳感器網(wǎng)絡(luò)是近來研究的熱點(diǎn)方向之一。s， Romberg ， Tao 和 Donoho 等人構(gòu)造了具體的算法并且通過研究表明了這一理論的巨大應(yīng)用前景。數(shù)據(jù)壓縮的對象很廣泛，可以是通信時(shí)間、傳輸帶寬、存儲(chǔ)空間甚至發(fā)射能量。它的主要壓縮機(jī)制包括 Huffman 編碼、算術(shù)編碼、游程編碼和字典編碼等系列。解壓縮僅是編碼過程的逆變換。稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知的先驗(yàn)條件，隨機(jī)測量是壓縮感知的關(guān)鍵過程，重構(gòu)算法是獲取最終結(jié)果的必要手段。觀測器的設(shè)計(jì)目的是如何采樣得到 M 個(gè)觀測值，并保證從中能重構(gòu)出長度為 N 的信號 X 或者稀疏基基?下等價(jià)的稀疏 系數(shù)向量。 （ 3）部分正交矩陣。 壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為兩大類，一是貪婪算法，它是通過選擇合適的原子并經(jīng)過一系列的逐步遞增的方法實(shí)現(xiàn)信號矢量的逼近，此類算法主要包括匹配跟蹤算法、正交匹配追蹤算法、補(bǔ)空間匹配追蹤算法等。 無線傳感器網(wǎng)絡(luò) 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)是計(jì)算、通信和傳感器這三項(xiàng)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，一開始在軍事應(yīng)用中收集數(shù)據(jù)，對戰(zhàn)場情況和威脅及其重要程度進(jìn)行適時(shí)的完整評價(jià)，后發(fā)展到民事運(yùn)用，如監(jiān)控大型設(shè)備，災(zāi)區(qū)臨時(shí)通信，衛(wèi)生保健等等。這些信息一經(jīng)采集，就將通過嵌入式系統(tǒng)進(jìn)行處理，最終通過隨機(jī)自組織無線通信網(wǎng)絡(luò)以多跳中繼方式將所感知信息傳送到 圖 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖 12