【正文】 量為 K 稀疏，且有 KKX ?????。這就是壓縮感知（ CS）理論的核心內(nèi)容。因此在 CS理論中隨機矩陣被廣泛應用于 CS觀測中。 （ 1） 是尖峰基)()( kttk ????，?為傅立葉基njtij ent /22/1)( ????，則有 1?。這一點對于高效的數(shù)字計算是至關重要的。 三個關鍵技術 從以上壓縮感知理論的介紹中我們可以看出，壓縮感知理論主要包括以下三個方面的內(nèi)容： （ 1）信號稀疏表示； （ 2）信號的編碼測量即觀測矩陣的設計； （ 3）信號重構算法的設計。即對于信號NRX? ，如何找到一個合適的正交基或者緊框架 Ψ，以使得原始信號在 Ψ上的表示是稀疏的。 文獻 [23]給出稀疏的定義：信號 X在正交基?下的變換系數(shù)向量為XT???，假如對于 0p2和 R 0，這些系數(shù)滿足： （ 式 ） 則說明系數(shù)向量?在某種意義下是稀疏的。 Gabriel Peyr233。 目前信號在過完備字典下的稀疏表示的研究集中在兩個方面：（ 1）如何構造一個適合某一類信號的過完備字典；（ 2）如何設計快速有效的稀疏分解算法。 MP算法雖然收斂速度較 BP快，但不具備全局最優(yōu)性，且計算復雜度仍然很大。顯然，如果觀測過程破壞了 X中的信息，重構 是不可能的。對此，有限等距性質（ restricted isometry property， RIP）給出了存在確定解的充要條件。不相干是指向量??i?不能用?i?稀疏表示。 目前，對觀測矩陣的研究是壓縮感知理論的一個重要方面。乍一看，我們幾乎不可能期望從 Y 恢復每個NRX?。 Chen， Donoho和 Saunders指出，求解一個更加簡單的 1范數(shù)最小優(yōu)化問題會 產(chǎn)生同等的解（要求?和?不相關）： 1min XT? . YXXA TCS ???? （式 ） 稍微的差別使得問題變成了一個 凸優(yōu)化問題，于是可以方便地化簡為線性規(guī)劃問題，典型算法代表： BP算法。于是用于過完備庫下稀疏分解的方法都可以用于求解壓縮感知理論的重構計算。通過在凸集上交替投影（ Projections onto Convex Sets）的方法，可以快速求解線性規(guī)劃問題。它將 OMP進行一定程度的簡化，以逼近精度為代價進一步提高了計算速度（計算復雜度為 O(N)），更加適合于求解大規(guī)模問題。這些算法包括 MP算法， OMP算法，分段 OMP算法（ StOMP）和正則化 OMP（ ROMP）算法。這樣做的好處就是將信號壓縮這一端的過程簡單化，而將復雜的部分交給數(shù)據(jù)還原的這一端來做。 （ 3）重構算法是 NP 問題。由于無線電波的累加性質，在 k次傳輸后 sink節(jié)點最終得到的接收信號為 ?? ????nj j Axvy 1 ?? （式 ） 其中ω為通信過程中產(chǎn)生的噪聲。 27 第 3 章 壓縮感知理論應 用概述 壓縮傳感理論帶來了傳統(tǒng)信號采樣理論的變革，而且具有很廣闊的應用前景和場合。另外，壓縮傳感技術也可以應用于醫(yī)學成像領域，如稀疏核磁共振成像、壓縮感知三維磁共振波譜成像等等。 生物傳感 生物傳感中的傳統(tǒng) DNA芯片能平行測量多個有機體，但是只能識別有限種類的有機體， Sheikh等人運用壓縮感知和群組檢測原理設計的壓縮感知 DNA芯片克服了這個缺點，壓縮感知 DNA芯片中的每個探測點都能識別一組目標，從而明顯減少了所需探測點數(shù)量。 研究背景 前面緒論中已經(jīng)提到無線傳感網(wǎng)中的一些感知數(shù)據(jù)具有時間相關性和空間相關性，利用這種數(shù)據(jù)特點，人們可以對感知數(shù)據(jù)進行了壓縮處理。在一些分布式編碼算法中，需要進行傳感器節(jié)點間的信息交換，傳輸這些信息需要消耗能量，因此，文獻 [13,22]提出了基于聯(lián)合稀疏模型的分布式壓縮感知算法，既采用了兩種相關性，又不需要傳感器節(jié)點之間交換信息，而且能夠大大降低所需要傳輸?shù)臏y量值的數(shù)目，在 此基礎上，文獻 [21]還利用貝爾實驗室所采集的實際數(shù)據(jù)進行了仿真驗證。 壓縮感知理論是近幾年剛剛興起的理論，但卻展現(xiàn)了強大的生命力引起了廣泛的關注，下面我 們將對該理論的歷史和發(fā)展歷程做出介紹。然而這種方法卻需要多個模數(shù)轉換芯片，每個芯片利用率不太高。設計的重點由傳統(tǒng)的設計昂貴的接收端硬件轉化成為設計新穎可靠的信號恢復算法，從而簡化了雷達成像系統(tǒng)。 這兩種方法主要的不同就在于第一種方式不需要復雜的路由信息。 （ 1） 第一種：模擬通信方式 模擬通信，即傳輸?shù)臏y量值是模擬數(shù)據(jù)，具體步驟如下（假設有個傳感節(jié)點）： 1)對于個節(jié)點而言，每一個節(jié)點都要利用其節(jié)點網(wǎng)絡地址（或者編號）作為產(chǎn)生偽隨機的種子（ seed），得到隨機投影矢量 }{1,kijiA ?的個 K元素。 當然，目前的壓縮感知理論還不是特別完善， 尚存在一些問題需要研究，在這里將列出其中幾個問題： （ 1）實際應用 領域中，測量到的數(shù)據(jù)可能無法包含信號的全局信息，例如最傳統(tǒng)的攝像問題，每個感光器件所感知到的只是一小塊圖像而不是什么全局信息。 由上面的分析可知，重構算法和所需的觀測次數(shù)密切相關，當前，壓縮感知 理論的信號重構問題的研究主要集中在如何構造穩(wěn) 定的、計算復雜度較低的、對 觀測數(shù)量要求較少的重構算法來精確地恢復原信號。利用)log( 2NKO個采樣觀測重構信號，需要計算量為 )loglog(22 KNKO，該方法對特別稀疏信號的恢復計算性能較高，但當信號的稀疏度減少，需要的采樣點數(shù)會迅速增加，甚至超過信號本身的長度，這就失去了壓縮采樣的意義。例如 OMP算法，需要 cKM?，)ln(2 Nc?個采樣點數(shù)才能以較高的概率恢復信號，信號重構的計算復雜度為)( 2NKO。 針對上述問題， 2021 年 1 月 Cand232。 重構算法 由前面的分析可知， 過完備庫下的稀疏分解問題和壓縮感知理論的重構問題都是線性約束下的 0范數(shù)求解問題?？梢?，壓縮感知和稀疏分解問題從數(shù)學意義上講是同樣的優(yōu)化問題。 稀疏信號的重構 壓縮感知理論的核心問題是從觀測得到的有限的 MN個觀測樣本中重構出 N長的原信號，即未知量個數(shù)比觀測量要多得多?？傊S機高斯矩陣與大多數(shù)固定正交基構成的矩陣不相關，這一特性決定了選它作為觀測矩陣，其它正交基作為稀疏變換基時，CSA滿足 RIP性質。為了降低 問題的復雜度，能否找到一種易于實現(xiàn) RIP條件的替代方法成為構造 觀測矩陣 的關鍵。然而，如果具有 K 項稀疏性（ KM），則該問題有望求出確定解。 壓縮感知理論中，通過變換得到信號的稀疏系數(shù)向量XT???后，需要設計觀測部分，它圍繞觀測矩陣?展開。 Donoho等人另辟蹊徑，提出了 BP算法。 過完備庫下的信號稀疏表示方法最早由 Mallat和 Zhang于 1993年首次提出， 并引入了 MP算法。 文獻 [30]指出光滑信號的 Fourier系數(shù)、小波系數(shù)、有界變差函數(shù)的全變差范數(shù)、振蕩信號的 Gabor系數(shù)及具有不連續(xù)邊緣的圖像信號的 Curvelet系數(shù)等都具有足夠的稀疏性，可以通過壓縮感知理論恢復信號。 下面我們對壓縮感知理論的這三個關鍵技術做一個詳細的總結和分析，以為后文對壓縮感知理論在圖像重構方面的研究打下基礎。最后設計合適的重構算法從所得到的觀測值和原來的觀測矩陣來重構原始始號。 研究者們通過大量的實驗 分析，得出如下結論：精確重構所需要的觀測值個 數(shù)依賴于稀疏變換基和觀測基之間的不相關性。人們對 noiselets感興趣基于以下兩個事實： 1）它們和為圖像數(shù)據(jù)和其它類型的數(shù)據(jù)提供稀疏表 示的系統(tǒng)不相關； 2）它們具有快速算法。壓縮采樣研究的是具有低相關性的兩個系統(tǒng)。許多對基都滿足不相關性質，例如，三角尖峰和傅里葉基中的正弦波不相關，傅里葉基和小波基不相關。 16 2 不相關性 Cand232。 現(xiàn)在稀疏的含義很清楚了：如 果 x在某個變換域下是稀疏或者可壓縮的，就意味著將 x的系數(shù)Nii ,.. .,1, ??按幅值大小排列衰減很快，那么 x可以由 K個大系數(shù)很好地逼近 KKX ???。也就是說， 0,min ?? gf中僅有 K個非零 i?， 另外 N K個都是零。更準確地說， CS利用了這樣一個事實，即許多自然信號在某個合適的基 Ψ下具有簡潔的表達。在許多應用中 ，包括數(shù)字圖像和視頻攝像中，奈奎斯特抽樣速率太高，不利于數(shù)據(jù)存儲和傳輸；在其他應用，包括圖像系統(tǒng)（醫(yī)療瀏覽和雷達）、高速模數(shù)轉換中，增加抽樣速率代價也很昂貴。這樣，通過傳輸少量數(shù)據(jù)就可以得到整 個監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的詳細情況。 與傳統(tǒng)的網(wǎng)絡不同的是，傳統(tǒng)網(wǎng)絡以傳輸數(shù)據(jù)為目的，而無線傳感器網(wǎng)絡則是以數(shù)據(jù)為中心；與傳統(tǒng)的 Ad Hoc 網(wǎng)絡相比，無線傳感器網(wǎng)絡具有以下幾點特征： （ 1）網(wǎng)絡節(jié)點密度高，傳感節(jié)點數(shù)量多 （ 2）傳感器節(jié)點由電池供電 （ 3）網(wǎng)絡拓撲變化頻繁 （ 4）網(wǎng)絡具有容錯能力 無線傳感器網(wǎng)絡數(shù)據(jù)壓縮的必要性 因為在無線傳感器網(wǎng)絡中，每個傳感節(jié)點體積很小，而且分布非常密集，若是對所有采集的數(shù)據(jù)直接進行傳輸，則所需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量將是非常驚人的，會導致網(wǎng)絡擁塞，也會導致網(wǎng)絡壽命縮短；又由于傳感器節(jié)點由電池供電， 所以節(jié)點能量有限，而且無線傳感器網(wǎng)絡所布置的地方一般為人們不便于到達的地方，因此傳感器節(jié)點中的的電池很難更換。 無線傳感器網(wǎng)絡概述 11 無線傳感器網(wǎng)絡一般由若干傳感器節(jié)點組成，節(jié)點是組成無線傳感器網(wǎng)絡的基本單位，它負責完成采 集信息、融合并傳輸數(shù)據(jù)的功能。二是凸優(yōu)化算法，它是把 0 范數(shù)放寬到 1 范數(shù)通過線性規(guī)劃 求解的，此類算法主要包括梯度投影法、基追蹤法、最小角度回歸法等。先生成 NN 的正交矩陣 U（如傅里葉矩陣），然后在矩陣 U 中隨機地選取 M 行向量，對 MN 矩陣的列向量進行單位化得到測量矩陣。 CandeS 和 Tao 等證明 :獨立同分布的高斯隨機測量矩陣可以成為普適的壓縮感知測量矩陣。 圖 傳統(tǒng)編解碼理論框圖 9 壓 縮 感 知 測 量 傳 輸解 碼 重 構特 征 提 取信 號 X 壓 縮 測 量 值 壓 縮 測 量 值 壓縮感知關鍵要素包括稀疏表示、測量矩陣和重構算法。實際上，采樣得到的大部分數(shù)據(jù)都是不重要的，即 K 值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點數(shù) N 可能會非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費的根本所在。 有損壓縮是利用了人類對圖像或者聲音中的某些頻率成分 不敏感的特殊性質，允許壓縮過程中損失一定的信息；盡管不能完全恢復出原始數(shù)據(jù)，但是所缺失的數(shù)據(jù)部分對于我們理解原始圖像的影響很小，卻使得壓縮比大了許多。數(shù)據(jù)壓縮的作用是能夠快速地傳輸各種信號；在已有的一些通信干線并行開通更多的多媒體業(yè)務；緊縮數(shù)據(jù)存儲容量；降低發(fā)信機功率等等。從信號分析角度來講，傅立葉變換是信號和數(shù)字圖像處理的理論基礎，小波分析將信號和數(shù)字圖像處理帶入到一個嶄新的領域。它是由分布在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的大量微型傳感器節(jié)點通過無線電通信而形成的一個自組織網(wǎng)絡系統(tǒng)。并運用matlab軟件，在離散傅里葉變換（ DFT）和離散余弦變換（ DCT）分塊 CS的基礎上，采用正交匹配追蹤算法（ OMP）實現(xiàn)了對一維信號和二維圖像的高概率重構。 本文闡述了壓縮感知方法的基本原理，分析了 CS理論框架及關鍵技術問題，介紹了壓縮感知技術應用于無線傳感的優(yōu) 勢，并著重介紹了信號稀疏變換、觀測矩陣設計和重構算法三個方面的最新進展，對研究中現(xiàn)存的難點問題進行了探討。無線傳感器網(wǎng)絡是近來研究的熱點方向之一。s， Romberg ， Tao 和 Donoho 等人構造了具體的算法并且通過研究表明了這一理論的巨大應用前景。數(shù)據(jù)壓縮的對象很廣泛，可以是通信時間、傳輸帶寬、存儲空間甚至發(fā)射能量。它的主要壓縮機制包括 Huffman 編碼、算術編碼、游程編碼和字典編碼等系列。解壓縮僅是編碼過程的逆變換。稀疏表示是應用壓縮感知的先驗條件，隨機測量是壓縮感知的關鍵過程，重構算法是獲取最終結果的必要手段。觀測器的設計目的是如何采樣得到 M 個觀測值，并保證從中能重構出長度為 N 的信號 X 或者稀疏基基?下等價的稀疏 系數(shù)向量。 （ 3）部分正交矩陣。 壓縮感知的重構算法主要分為兩大類，一是貪婪算法，它是通過選擇合適的原子并經(jīng)過一系列的逐步遞增的方法實現(xiàn)信號矢量的逼近，此類算法主要包括匹配跟蹤算法、正交匹配追蹤算法、補空間匹配追蹤算法等。 無線傳感器網(wǎng)絡 無線傳感器網(wǎng)絡是計算、通信和傳感器這三項技術相結合的產(chǎn)物，一開始在軍事應用中收集數(shù)據(jù)，對戰(zhàn)場情況和威脅及其重要程度進行適時的完整評價，后發(fā)展到民事運用，如監(jiān)控大型設備，災區(qū)臨時通信，衛(wèi)生保健等等。這些信息一經(jīng)采集，就將通過嵌入式系統(tǒng)進行處理，最終通過隨機自組織無線通信網(wǎng)絡以多跳中繼方式將所感知信息傳送到 圖 無線傳感器網(wǎng)絡節(jié)點結構圖 12