【正文】 i?的勢小于等于 K，則可以說信號 X 是 K 項稀疏。在研究信號的稀疏表示時，可以通過變換系數(shù)衰減速度來衡量變換基的稀疏表示能力。s 和 Tao通過研究發(fā)現(xiàn)，滿足冪定律衰減的信號，可利用壓縮感知理論進行恢復(fù)，并且重構(gòu)誤差滿足： rrCS NKCXXE ????? ))/(log( 6 （式 ） RppNi ip ?? ?? /11 )( ? 19 其中 r=1/p1/2， 0p1。如何找到或構(gòu)造 適合一類信號的正交基，以求得信號的最稀疏表示，這是一個有待進一步研究的問題。把變換基是正交基的條件擴展到了由多個正交基構(gòu)成的正交基字典。 最近幾年，對稀疏表示研究的另一個熱點是信號在過完備字典下的稀疏分解。從 從過完備字典中找到具有最佳線性組合的 K項原子來表示一 個信號，稱作信號的稀疏逼近或高度非線性逼近。文獻以淺顯易懂的表達說明了過完備字典對信號表示的必要性，同時還指出字典的構(gòu)成應(yīng)盡量符合信號本身所固有的特性。這兩個問題也一直是該領(lǐng)域研究的熱點，學(xué)者們對此已做了一些探索，其中，以非相干字典為基礎(chǔ)的一系列理論證明得到了進一步改進 。 從過完備字典的構(gòu)成角度來講，文獻 [38]中提出使用局部 Cosine基來刻畫聲音信號的局部頻域特性；利用 bandlet基來刻畫圖像中的幾何邊緣。 從稀疏分解算法角度來講，在音視頻信號處理方面，基于貪婪迭代思想的 MP算法表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，但不是全局最優(yōu)解 。BP算法具有全局最優(yōu)的優(yōu)點，但計算復(fù)雜度極高，例如對于長度為 8192的信號，采用小波字典分解，等價于求解一個長度為 8192*212992的線性規(guī)劃。之后又出現(xiàn)了一系列同樣基于貪婪迭代思想的改進算法，如正交匹配追蹤算法（ OMP），樹形匹配追蹤（ TMP），分段匹配追蹤（ StOMP）算法等。這些協(xié)議是非自適應(yīng)的，僅僅需要用少量的固定波形和原信號 聯(lián)系起來，這些固定波形和為信號提供簡潔表示的基不相關(guān)。進一步講，使用優(yōu)化方法可以收集到的少量的觀測值中重構(gòu)信號。觀測器的設(shè)計目的是如何采樣得到 M個觀測值，并保證從中能重構(gòu)出長度為 N的信號 X或者基?下等價的稀疏系數(shù)向量 。觀測過程實際就是利用N?觀測矩陣 的 M個行向量? ?Mjj 1??對稀疏系數(shù)向量進行投影，即計算 和各個觀測向量? ?Mjj 1??之間的內(nèi)積，得到 M個觀測值， ),...,2,1(, Mjy jj ????? ?，記觀測向量),... ,( 21 MyyyY ?，即 XAXYCST ??????? （式 ） 圖 （ a）是（式 ）的形象描述。 圖 （ a）隨機高斯矩陣作為觀測矩陣?，稀疏域選擇 DCT變換域，對信號 X進行 DCT變換后再進行觀測。 對于給定的 Y從（式 ）中求出?是一個線性規(guī)劃問題，但由于 M N，即方程（ a） （ b） 圖 觀測矩陣的圖形表示 21 的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，這一欠定問題一般來講無確定解。此時，只要設(shè)法確定出?中的 K個非零系數(shù) i?的合適位置，由于觀測向量 Y是這些非零系數(shù) i?對應(yīng)?的 K個列向量的線性組合，從而可以形成一個?的線性方程組來求解這些非零項的具體值。這個充要條件和 Cand232。即，要想使信號完全重構(gòu)，必須保證觀測矩陣不會把兩個不同的 K項稀疏信號映射到同一個采樣集合中，這就要求從觀測矩陣中抽取的每 M個列向量構(gòu)成的矩陣是非奇異的。 然而，判斷給定的CSA是否具有 RIP性質(zhì)是一個組合復(fù)雜度問題。 文獻 [24]指出如果保證觀測矩陣?和稀疏基?不相干，則CSA在很大概率上滿足RIP性質(zhì)。不相干性越強，互相表示時所需的系數(shù)越多；反之，相關(guān)性則越強。例如，可以生成多個零均值、方差為 1/ N 的隨機高斯函數(shù)，將它們作為觀測矩陣 的元素 i?，使得CSA以很高的概率具有 RIP性質(zhì)。因此可以從 M個觀測值),... ,( 21 MyyyY ?中以很高的概率去恢復(fù)長度為 N的 K項稀疏信號。為進一步簡化觀測矩陣?，在某些條件下，以隨機1?為元素構(gòu)成的 Rademacher矩陣也可以證明具有 RIP性質(zhì)和普適性。在該理論中，對 觀測矩陣的約束是比較寬松的， Donoho在文獻 [23]中給出了觀測矩陣所必需具備的三個條件，并指出大部分一致分布的隨 機矩陣都具備這三個條件，均可作為觀測矩陣，如：部分 Fourier集、部分 Hadamard集、一致分布的隨機投影（ uniform Random Projection）集等，這與對 RIP條件進行研究得出的結(jié)論相一致。對于任何穩(wěn)定的重構(gòu)算法是否存在一個真實的確定性的觀測矩陣仍是一個有待研究的問題。它指出，在模擬系統(tǒng)中，觀測噪聲也是影響觀測次數(shù)的重要因素 ，為說明這一點，作者 22 從信息論的角度研究了稀疏信號的率失真函數(shù)，給出了觀測噪聲對信號重建效果的影響。由于觀測數(shù)量 M 遠小于信號長度 N，因此不得不面對求解欠定方程組XAY CS?的問題，需要列舉出R空間的?? TK個稀疏空間，在計算上是相當復(fù)雜的。然而，文獻 [2326， 28]的近期研究結(jié)果表明如果信號 X 是稀疏的，那么（ 1）精確恢復(fù)是可能的；（ 2）真 實信號實際上就是一個簡單凸優(yōu)化問題的解。 為 更 清 晰 地 描 述 壓 縮 感 知 理 論 的 信 號 重 構(gòu) 問 題 ， 首 先 定 義 向 量 ),...,( 1 NxxX ?的 p范數(shù)為 ppNi ip xX/11 )(??? （式 ） 當 p=0時得到 0范數(shù)，它實際上表示 X中非零項的個數(shù)。因此，求解（式 ）式的數(shù)值計算極不穩(wěn)定而且是 NP難問題。于是稀疏分解的已有算法可以應(yīng)用到 CS重構(gòu)中。 不過， 1范數(shù)最小化不是尋找稀疏解的唯一方法；其它方法，例如貪婪算法也已被提出。（ 2）僅僅觀測比信號長度小得多的任何 M 個系數(shù)的集合，不會損失信息。已經(jīng)證明，如果 )/log(),(2 ?? NSCM ??????，那么重構(gòu)成功的概率超過??。因此這兩類問題的求解本質(zhì)上是一樣的。 定理 2已證明：對于一個 K項 稀疏（ KN）長度為 N的信號僅僅需要投影到另一個不相關(guān)基上的 K+1個系數(shù)就可以以高概率被重構(gòu)。 Cand232。盡管 BP算法可行，但在實際應(yīng)用中存在兩個問題：第一，即使對常見的圖像尺寸，算法的計算復(fù)雜度也難以忍受，在采樣點個數(shù)滿足cKM?，)1/(log2 ?? KNc時，重構(gòu)計算復(fù)雜度的量級在)( 3NO；第二，由于 1范數(shù)無法區(qū)分稀疏系數(shù)尺度的位置，所以盡管整體上重構(gòu)信號在歐氏距離上逼近原信號，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)一些人工效應(yīng)，如一維信號會在高頻出現(xiàn)振蕩。s 和 Romberg 提出了不同的信號恢復(fù)方法，該方法要求對原信號具有少量的先驗條件，同時也可 以對所求結(jié)果施加適當?shù)南拗?，以約束重構(gòu)信號的特性。 另一類基于貪婪思想的迭代算法以更多的觀測數(shù)量作為代價達到了更加快速重構(gòu)的目的。樹形匹配追蹤（ TMP）算法是 2021年 Chinh La 和 Minh 。匹配追蹤類算法都是基于貪婪迭代算法，以多于 BP算法需要的采樣數(shù)目換取計算復(fù)雜度的降低。 2021年 Donoho等人提出了分段正交匹配追蹤（ StOMP， stagewise 24 OMP）算法。 E. Hale， W. Yin基于分裂算子和同倫算子提出了求解最小 1范數(shù)大規(guī)模問題的方法，適合于糾錯編碼、磁共振成像、 NMR波譜研究等領(lǐng)域的大規(guī)模問題求解。因此一類利用稀疏矩陣作為觀測矩陣進行采樣的方法出現(xiàn)了。 Gilbert等人在 2021 年 4 月提出了鏈式追蹤（ CP， Chaining Pursuit）方法來恢復(fù)可壓縮信號。 總之，目前為止出現(xiàn)的重構(gòu)算法都可歸入以下三大類： （ 1）貪婪追蹤算法：這類方法是通過每次迭代時選擇一個局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號。 （ 2）凸松弛法：這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題求解找到信號的逼近， 如 BP算法，內(nèi)點法，梯度投影方法和迭代閾值法。 總之，每種算法都有其固有的缺點。貪婪追蹤算法在運行時間和采樣效率上都位于另兩種算法 之間。 壓縮感知優(yōu)勢及不足 相對于傳統(tǒng)的信息處理方式，壓縮感知理論毫無疑問是具有優(yōu)勢的，這體現(xiàn)在以下幾個方面： （ 1）采集數(shù)據(jù)的時候只需要采集一部分數(shù)據(jù)（包含了原信號的全局信息），一 25 開始就可以傳輸長度較短的信號。這種優(yōu)勢在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域體現(xiàn)的愈為明顯，因為采集數(shù)據(jù)的過程往往是對病人帶來很大麻煩甚至身體傷害的過程。 （ 2）由于直接感知壓縮后的數(shù)據(jù)，所以不受奈奎斯特采樣定律的局限，降低了對采樣系統(tǒng)硬件設(shè)備的要求，這對于寬帶信號非常實用。由于感知到的測量值中的任何一項都是重要的，或者說不重要的， 所以如果測量值丟失了其中的某幾項，仍然可以完美重構(gòu)信號。 （ 2）感知到的測量值的長度一般是重要分量長度的 4倍，才能近乎完美地重構(gòu)。即使將 0范數(shù)轉(zhuǎn)化為 1 范數(shù)，由于不可微性（ indifferentiable），算法的計算復(fù)雜度仍然很高。 （ 4）壓縮感知理論是采用非自適應(yīng)線性投影來保持信號的原始結(jié)構(gòu)，不夠靈活，需要研究自適應(yīng)傳感技術(shù) ，根據(jù)不同的信號類型采用不同的數(shù)據(jù)采樣和重構(gòu)策略?，F(xiàn)在將分別講述壓縮感知在傳感網(wǎng)中的兩種觀測方式。 sink節(jié)點在知道種子和節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的地址后，也能夠很容易的為每個傳感節(jié)點 j(j=1,...,n)重建出隨即矢量}{ 1, kijiA ? 2)）編號為 j的傳感節(jié)點將所感知數(shù)據(jù) jx 與 , }{1,kijiA ?相乘得到個元組 26 （式 ） 所有的節(jié)點在 k個時隙內(nèi)（次傳輸 ）連貫的將相應(yīng)的 jV 以模擬方式傳至融合中心。 以上步驟是以完全分散的形式將感知數(shù)據(jù)的 k個隨機投影在 k次傳輸中傳給 sink節(jié)點。這種方式可以達到同樣的 目的。具體步驟如下： 1）首先傳感節(jié)點能夠計算測量值 kijjiji XAV 1, }{ ?? ； 2）然后這些測量值可以經(jīng)過聚合在簇頭節(jié)點得到所有測量值 V=Ax，然后對這些值進行編碼傳至 sink節(jié)點。但考慮到數(shù)字通信的抗噪聲能力強，遠距離傳輸能保證信號質(zhì)量，在本文中將選取第二種方式?，F(xiàn)有的應(yīng)用主要包括壓縮感知成像、模擬信息的轉(zhuǎn)換、生物傳感等方面。數(shù)字微鏡器件由數(shù)字電壓信號控制微 鏡片的機械運動以實現(xiàn)對入射光線的調(diào)整，相當于隨機觀測矩陣 Φ。而且壓縮感知技術(shù)也可以應(yīng)用于雷達成像領(lǐng)域，與傳統(tǒng)雷達成像技術(shù)相比，壓縮感知雷達成像主要實現(xiàn)了兩個重要改進：在接收端省去了脈沖壓縮匹配濾波器；同時因為避開了對原始信號的直接采樣，降低了接收端對模數(shù)轉(zhuǎn)換器件帶寬的要求。 Bhattacharya等人將壓縮感知理論應(yīng)用到合成孔徑雷達圖像數(shù)據(jù)獲取上，從而解決了海量數(shù)據(jù)的采集和存儲問題，顯著降低了衛(wèi)星圖像處理的計算代價。 模擬信息轉(zhuǎn)換 對于帶寬非常高的信號，比如雷達和通信信號處理系統(tǒng)涉及的射頻信號，根據(jù)奈奎斯特定理，要獲得完整的信號信息，所采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器必須具有很高的采樣頻率。對此 Kriolos等人設(shè)計了基于壓縮感知理論的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，利用壓縮感知理論中測量信息可以得到完整信號的原理。 Laska等人進一步發(fā)展了基于隨機采樣系統(tǒng)的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，并給出了隨機抽樣系統(tǒng)的兩種實現(xiàn)模型：第一種模型采用多個并行低采樣率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器，每個模數(shù)轉(zhuǎn)換器之間有等間隔的位移，通過隨機控制來自不同的模數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣，實現(xiàn)隨機采樣。第 28 二種模型采用一 組電容和數(shù)字控制換向器隨機采樣，該系統(tǒng)只需要一個模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片即可。此外，基于生物體基因序列稀疏特性， Sheikh等驗證了可以通過置信傳播的方法實現(xiàn)壓縮感知 DNA芯片中的信號重構(gòu)。 本章小結(jié) 本章詳細描述了壓縮感知理論基本框架。對壓縮感知理論實現(xiàn)的兩個前提要求 ——信號稀疏性及觀測矩陣和稀疏表示基之間滿足不相干性進行了詳細的論述，著重介紹了信號稀疏變換、觀測矩陣設(shè)計和重構(gòu)算法三個方面的最新研究進展情況。 29 第 4章 CS 在無線傳感網(wǎng)中的應(yīng)用 前文我們已經(jīng)對壓縮感知（ CS）理論做了叫詳細的介紹，下面我將介紹將壓縮感知應(yīng)用于無線傳感的優(yōu)勢以及采用 OMP 算法，實現(xiàn)對一維信號和二維信號圖像的CS 重構(gòu)。下面將介紹已有的基于相關(guān)性的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)，并闡明利用 CS 壓縮數(shù)據(jù)的優(yōu)勢。利用傳感數(shù)據(jù)間（相鄰傳感器節(jié)點在同一時刻所采集的數(shù)據(jù)之間）的空間相關(guān)性，文獻 [17]提出了在多層架構(gòu)中，運用多重主成分分析法（ Multiple Principal Component Analysis, MPCA）去除了普通節(jié)點間的數(shù)據(jù)相關(guān)性以及相鄰簇頭節(jié)點主成分之間的相關(guān)性，而文獻 [26]則將近年提出壓縮感知算法運用到基于分簇的傳感網(wǎng)數(shù)據(jù)壓縮中，降低了傳輸能耗。但是這些算法并沒有綜合考慮時間相關(guān)性和空間相關(guān)性，文獻 [46]將融合了這兩種相關(guān)性的分布式信源編碼運用到傳感網(wǎng)的數(shù)據(jù)壓縮中。另外文獻 [2