【正文】 下域 的概念。有限域的一個重要性質(zhì)是每個有限域 GF(q)至少要包含一個叫做 a的本原元素，它能生成該域中的每個元素。域元素對乘法封閉的條件可由下面的不可約多項式表示 : ? ?2110ma ? ??即 ? ?21 01maa? ?? （ ） 根據(jù)這個多項式限制條件，任何冪次等于或超 21m? 的域元素都可降階為如下表示 的冪次小于 21m? 的元素。 (3)[n,k]循環(huán)碼的生成多項式 g(x)是 1nx? 的因式，即 ? ? ? ?1nx h x g x?? 。 源程序代碼如下： include void main() { int GF[7]={1}。i=6。 0 , 1 , 2 , , 1i i ic a b i n? ? ? ? 若為 A(x)B(x)，則只要把 B(x)系數(shù)以 GF(2m )中的加法逆元代替得到 B(x)，再作 B(x)+ A(x)運(yùn)算即可，在二進(jìn)制情況下“ ”與“ +”運(yùn)算相同，以此相加和相減的運(yùn)算結(jié)果一樣。具體說， m次 q(x)在擴(kuò)張域 GF( mq )內(nèi)必有 m個根。在有限域的各種算術(shù)運(yùn)算中 ,乘法研究最多。i=6。m=6。 } main() { int x,y,z。 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 15 4 RS(7,3)碼的編碼 器設(shè)計 RS 碼的編碼原理 生成多項式的求解 GF(2m )域上 RS碼一般寫成 (n,k)形式 ,其中 n為碼長 n=2m 1,k為信息位的長度 ,碼的最小距離 d=nk+ 1。而 1nix?? 的系數(shù)由0k Chn k i jj? ???組成 , 即00k Chn j j jj? ????, 因 1hk? , 從 而 有 ? ?1 , 2,c c h i n kn j i jn i k ? ? ? ?? ???? , 即? ?1 0 2 1 1c c h c h c hnnn k i n k k? ? ? ? ???? ? ? ?, ? ?2 0 3 12 1 1c c h c h c hnnn k n k k? ? ? ? ???? ? ? ? ?, ,? ? ? ?0 0 1 111c c c h c h c hk k kn k n k ? ? ? ? ? ???? ? ? （ ） 這表明碼字 C的第一個校驗元 1k?? 可由 k 個信息元 ,1c nk? ? 與 h(x)的系數(shù)相乘得到 , 而由 , , , , ,23 1c c c n n k n k?? ? ? ?可得到第二個校驗元 , 以此類推可得到所有 nk個檢驗元 ,0c k i?? 從而完成 RS 碼的編碼過程。 ，將門開啟 ，第一個校驗位輸出 ，同時寄存器中碼元依次右移一位，產(chǎn)生的第一個校驗碼存入 0c 。i++)//生成 GF[2]域 // {if(GF[i]=3) 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 19 GF[i+1]=GF[i]1。m++) {if(GF[m]==b) j=m。 scanf(%d%d%d,amp。 c0=c1。 （ 2） 確定各編碼方法的特性，如糾錯能力，有效信息長度。 % 設(shè)定輸入的三位信息位 code = rsenc(msg,n,k) %RS編碼并輸出 Matlab仿真 輸出結(jié)果如 圖 44所示 ： 圖 44 信息位是 4 3 6時 MATLAB的編碼結(jié)果 由圖 44可以看出 ，以上用 C語言實現(xiàn)的 RS(7,3)編碼器輸入為 4 3 6時的輸出結(jié)果 (圖43)與 Matlab仿真 的結(jié)果完全一致 ， 經(jīng)過多次輸入隨機(jī)信息位，編碼器輸出的結(jié)果和MATLAB仿真的結(jié)果都完全一致， 說 明 C語言實現(xiàn)的 RS編碼器是符合 RS碼編碼原理的 。本文因為作者能力、時間有限，沒能完成 RS碼于其它碼的級聯(lián)。四年了，仿佛就在昨天。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 qYp Eh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! 。 ksv*3t nGK8! z89Am v^$UE9wEwZQcUE%amp。M uWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。 MuW FA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! z n% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^G89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 UE9aQGn8xp$Ramp。 晉 老師一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度，踏踏實實的精神，給以 我 終生受益無窮之道 ， 對 晉 老師的感激之情是無法用言語表達(dá)的 。為了解決這個問題，級聯(lián)碼把兩個編碼以串聯(lián)或者并聯(lián)的方式結(jié)合在一起，這兩個碼的復(fù)雜度在可接受的范圍內(nèi)，它們整體構(gòu)成了一個更強(qiáng)大的編碼。 k = 3。 Matlab 驗 證 Matlab具有強(qiáng)大的計算功能，通信仿真是它的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一。i++) { c3=MUL(c0,6)^MUL(c1,4)^MUL(c2,3)。 } return a。} for(m=0。 for(i=0。本文中 RS碼采用的本原多項式和生成多項式分別為： ? ? 3 1f x x x? ? ? () ? ? 4 3 3 2 1 3g x x x x x? ? ?? ? ? ? ? () 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 17 NK級 RS編碼器主要由一組線性反饋移位寄存器和控制電路組成，是 nk=4級編碼器，是線性反饋寄存器的反饋系數(shù)， reg4寄存器的值和當(dāng)前輸入的信息碼元異 或得到的值的就是 feedback寄存器的值。本程序算法中根據(jù)校驗元多項式? ? ? ?1 1 101nx kkh x h x h x h x hkkgx ? ?? ? ? ? ? ??來構(gòu)造校驗元。 } 有限域 GF( 32 )中 4*6 的 運(yùn)行結(jié)果 如圖 34 所示 。7)^3。n++) { if(GF[n]==a) i=n。 int GF[7]={1}。 擴(kuò)展域元素代替二進(jìn)制元素的一個好處就是表達(dá)的緊密性，使得非二進(jìn)制編碼和譯碼過程的數(shù)學(xué)表示變得簡單。它的最高次冪為 m，而系數(shù)在 GF(q)上，它是不可約多項式?？梢钥闯觯囗検郊臃ㄆ鞯膶崿F(xiàn)比較簡單，可以直接將 2 個多項式對應(yīng)的系數(shù)異或即可， 而多項式乘法器的實現(xiàn)比較復(fù)雜 ，這里重點介紹 用 高級語言編寫出有限域上的 乘法器 原理和方法 。7)^3。 0X 1X 2X 3X 圖 31由本源多項式表示的基本元素映射為域元素的電路 根據(jù)本源多項式可得 GF( 32 )域元素表如 表 32 所示。 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 9 表 3— 1常用本原多項式 M 本原多項式 2 21 XX?? 3 31 XX?? 4 41 XX?? 5 261 XX?? 6 61 XX?? 7 371 XX?? 8 2 3 4 81 X X X X? ? ? ? 本原多項式 g(x)具有以下的性質(zhì) : (1)在 [n,k]循環(huán)碼中，生成多項式 g(x)是唯一的 (nk)次多項式，且次數(shù)是最低 的。 GF(2n )中任何非零元素都可以由 a 的冪次表示。 元素個數(shù)有限的域稱有限域，用 GF(q)表示 q 階有限域。由于 RS的編碼比較簡單，實現(xiàn)起來也很容易。擴(kuò)展的 RS碼由2mn? ,或 21mn??組成 , 但 n不能再大。 RS碼是多元 BCH碼的一種特例，即取 m=1，故 RS碼的生成多項式的根和碼元符號在同一域上。稍后，格林斯坦（ Greenstein）和齊勒爾（ Ziegler）把它推廣到多進(jìn)制。這表明 ? ?,nk 循環(huán)碼可以由它的一個 r(r=nk) 次碼多項式 ??gx來確定。目前已發(fā)現(xiàn)的大部分線性分組碼均與循環(huán)碼有密切聯(lián)系，它們之中的大部分都可歸結(jié)于循環(huán)碼的范疇。隨著研究地不斷深入，更為有效的編譯碼算法也不斷地得到改進(jìn)，如在 1972 年由 Chase 提出的 Chase 算法。盡管如此，在 1960 年以前，人們?nèi)匀粺o法找到比 Hamming碼更好 的一類碼型。而 Shannon 提出的信道編碼定理正是為糾錯碼的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。因為 FPGA 作為一種高密度可編程邏輯器件，可以反復(fù)編程，具有很好的靈活性，便于修改 RS編譯碼的參數(shù)。 這種方案用戶可以不必關(guān)心 RS 編譯碼器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只要了解如何使用這個芯片就行了。使用硬件描述語言設(shè)計高速執(zhí)行的芯片，這種設(shè)計是富有挑戰(zhàn)性和花費時間的，需要一定的硬件工程技巧，并且需要用到的芯片資源比較多 (上萬門 )。很多國際標(biāo)準(zhǔn)采用了 RS 碼例如空間數(shù)據(jù)系統(tǒng)咨詢委員會在遙測信道編碼的建議書中將 RS（ 255， 223）系統(tǒng)碼作為標(biāo)準(zhǔn)使用。當(dāng)碼元經(jīng)信道傳輸產(chǎn)生錯誤時，譯碼器可以檢出或糾正錯誤。利用 C語言實現(xiàn)了 RS(7,3)碼的編碼器和伽羅華域 GF(32 )內(nèi)的乘法器的設(shè)計，并通過 Matlab仿真對編碼器結(jié)果進(jìn)行驗證，程序輸出結(jié)果與驗證結(jié)果一致，表明所設(shè) 計的編碼器和乘法器算法能夠滿足設(shè)計要求。 參考資料： ，肖國鎮(zhèn) .糾錯碼 —— 原理與方法 .西安電子科技大學(xué)出版社 .2021. ，鄒世開 .編碼理論 .北京航空航天大學(xué)出版社 .1990. ，張宗橙 .信息論與編碼 .清華大學(xué)出版社 .2021. ,李式巨 .RS 編譯碼的 c 語言實現(xiàn) .無線電工程第 33 卷第 8期 . ，李妍 .MATLAB 通信仿真開發(fā)手冊 .北京：國防工業(yè)出版， 2021 進(jìn)度安排： 202120211 學(xué)期 第 8周 — 第 16 周，選定畢業(yè)論文題目、進(jìn)行開題。 基本要求： 應(yīng)用 C語言進(jìn)行有限域乘法器、 RS編碼器的仿真設(shè)計，并利用 TLAB 對編碼結(jié)果進(jìn)行驗證，實現(xiàn)編碼功 能。 本論文重點介紹了糾錯碼基本理論，有限域乘法器、 RS碼編碼原理。信道編碼器對信息序列進(jìn)行編碼，增加冗余度。 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 2 RS 碼的國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r RS(ReedSolomon)碼是差錯控制領(lǐng)域中一類重要的線性分組碼，由于具有很強(qiáng)的糾錯能力，具有同時糾正突發(fā)錯誤和隨機(jī)錯誤的能力，因而被廣泛地應(yīng)用于各種現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，以滿足對信道可靠性 的要求。究其原因，是因為 RS 碼編碼器比較簡單，而譯碼器的算法比較復(fù)雜，而 c語言對于算法的描述比用 HDL(硬件描述語言 )要方便的多。 目前實現(xiàn) RS 編譯碼的方法有如下 幾種： 1．采用一些廠家提供的功能特定的 RS編譯碼芯片。 采用這種方案，即通過配置 FPGA 來完成 RS編譯碼的方法，是目前看來最好的一種方法。上述五個部分的具體關(guān)系如圖 12： 計 算 校 驗 子求 解 關(guān) 鍵 方程求 取 錯 誤 位置求 取 錯 誤 值 糾 正 錯 誤圖 12 RS譯碼原理 某某 大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計） 4 2 糾錯碼的基本理論 糾錯碼 簡