【正文】 的 情 況 ， 變 分 問 題 8 ( , , , 39。 , 39。39。 設(shè) n 為單位向量，則 ? ??? co s,co s?n ，由梯度和方向?qū)?shù)的定義和定理知，f f n g r a d f nn? ? ? ? ? ?? (3) 散度：設(shè)空間區(qū)域 V 上的向量函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?yxQyxPyxF , ? ，對(duì) V 上每一點(diǎn)? ?yx, ，定義數(shù)量函數(shù) ? ? yQxPyxD ??????, ，稱它為向量函數(shù) F 在 ? ?yx, 的散度（ divergence），記作 ? ? ? ?yxFdivyxD , ? 。紋理和圖像的區(qū)別在于紋理出現(xiàn)在圖像上，但圖像不一定都會(huì)含有紋理，也就是說紋理圖像是一種 特殊的圖像。 對(duì)于隨機(jī)性紋理圖像，具有相同顏色 C的像素可以看作為同種紋理單位 cT ；當(dāng)整個(gè)紋理由不同顏色 12{ , ,..., }nC C C 構(gòu)成，則可區(qū)分多種紋理單位，表達(dá)為12{ , ,..., }nC C CT T T。但是在面對(duì)自然界形形色色的大量紋理時(shí)，就會(huì)可能無法得到有效的參數(shù)，導(dǎo)致不能有效的進(jìn)行紋理合 11 成。 (2)修復(fù)區(qū)域中的不同區(qū)域是由等照度線來劃分的，各區(qū)域的顏色和邊緣外的顏色一致。 L 為圖像修復(fù)的擴(kuò)散過程中傳輸?shù)男畔⒘浚?L LNN? ?? ??表示所傳輸信息 L 在方向 N 上的變化。由其旋轉(zhuǎn) 90 后得到的 ( , ) ( , ) ( , )nnI x y I x yyx? ??? ? ? ??表示邊界的方向即等照度線的切線向量，即有 ( , ) ( , )n nN x y I x y??? () 由公式 ()、 ()、 ()、 ()、 ()， BSCB 模型可表示為 13 ()I IIt ?? ? ? ? ??? （ ） ()II??? ?? 表示信息量 I? 在方向 I?? 上的變化量。 (1) 1?p 時(shí)，為 TV 模型。考慮到 I? 可能很小，有可能會(huì)接近于 0，所以 ()式中的??????????? II 為擴(kuò)散項(xiàng)，擴(kuò)散系數(shù)1I??? ，可用2 211II?? ???? ??代替，其中 ? 為一個(gè)很小的正數(shù)。 將 TV 模 型 的 擴(kuò) 散 系 數(shù) 1I???修改為 ? ?gvI???，其中00()0g???????? ? ? ??? ? ? ?? 大 于 零 的 有 限 數(shù)，為非遞減函數(shù)，一般可選? ? 1,0, ??? asssg a ，此處可選 1?a ，它可使擴(kuò)散在大曲率出變強(qiáng)，小曲率處變?nèi)?，相?yīng)的 CDD 模型為? ? ? ?? ???????????????????????????????????????IIgIII IgtI D???為增函數(shù)，0 ()。 模型 I（無噪聲模型） ?dIpIJ p?? ?? 1][1 () 模型 II （ 含 噪 聲 模 型 ) ?????????????????????????DyxDyxyxyxdIIdIpIJDDDp),(0\),(),(1),()(21][\02?????? 18 () 先 討 論 含 噪 聲 模 型 II, 該 模 型 的 能 量 泛 函 為dx dyyIxIIyxFdIIIyxFIJ yx ),(),(][ ?????? ??? ?? ? () 其中， 202222020)],(),([2),([]),([1)],(),([2),(1)(21yxIyxIyyxIxyxIpyxIyxIyxIpIIIpFDpDpDp????????????????????????? 該泛函屬于變分理論中的類型④，根據(jù)公式 ()，相應(yīng)的 Euler 方程為 0????????? ????????????? ?????yxI IFyFIFxFF ， 其中yIIIFxIIIFIIF pypxDI ?????????????? ?? 220 ,),(? () 將上式代入式 ()，化簡(jiǎn)得 ? ? ? ? 00 ???????? IIII Dp ? () 所對(duì)應(yīng)的最速下降方程為 ? ? ? ? ? ? ? ?IIIIIIIItIDpDp ???????????????? 00 ?? () 從而，修補(bǔ)后的圖像 I 是以下偏微分方程的解 ? ? ? ?????????????????上在內(nèi)在DIIDIIIItI Dp00? () 同理模型 I的的修復(fù)圖像 I ，為以下偏微分方程的解 ? ???????????????上在內(nèi)在DIIDIItI p0 () 其和 TV模型的修復(fù)結(jié)果見圖 ， ISNR是評(píng)價(jià)圖像復(fù)原質(zhì)量的改進(jìn)信噪比測(cè)度，值越大表示修復(fù)效果越好。含噪圖像中，邊緣處本身含有噪聲，在邊緣處若有個(gè)較弱的沿梯度方向擴(kuò)散，可以消弱階梯效應(yīng)的產(chǎn)生，從而，混合模型能夠得到更優(yōu)的濾波效果，如圖 所示，同樣 PNSR是評(píng)價(jià)圖像復(fù)原質(zhì)量的峰值信噪比測(cè)度，值越大表示修復(fù)效果越 好。搜索就是根據(jù)紋理的相似性在原始區(qū)域找到最為匹配塊；復(fù)制就是將所選擇的最優(yōu)匹配塊復(fù)制到目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的適當(dāng)位置。 p? 是以點(diǎn) ???p 為中心的待補(bǔ)全塊。設(shè) p? 為剛剛填充好的修補(bǔ)塊，則其像素點(diǎn)的置信度更新按公式? ? ? ? ????? ?pppCpC 39。 23 ⑤得到新的邊緣后，若邊緣上的像素點(diǎn)不為零，則重復(fù)步驟② ④ ,直到整個(gè)目標(biāo)區(qū)域填充 完畢。這種搜索方法不但容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的匹配，還很耗時(shí)，很少有人研究自然圖像中紋理的特性。 缺點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜度較高 TVEuler ? ? ?? dI???? 0 0 2\[ | , ] ( ) ( )2DE I I D I d I I d?? ? ? ???? ? ? ??? 優(yōu)點(diǎn)：含有 TV 模型的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)其缺陷 harmonic ?dI2??? ? ? ? ?? ? ?????IIIIIIItI??????????????? 0 缺點(diǎn)：各項(xiàng)同性擴(kuò)散，在去噪的同時(shí)使邊緣模糊化。這些算法都是在圖像紋理的基礎(chǔ)上考慮圖像修復(fù)，這樣可以保持圖像的紋理特征，對(duì)大面積的圖像破損區(qū)域的修復(fù)效果明顯優(yōu)于基于非紋理合成的圖像修復(fù)技術(shù)。 同 樣 繼 續(xù) 求 二 階 偏 導(dǎo) ，222222222222222200IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIyyIyyyIxyxIxxIxyxyIxxIyyIxxIIxyyyxxyyxxyyyyxyyxxyxxyyxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ，同理222 2IIIIIIIII yyyyxxyxxx??????，就有 yyxx IIII ??? ???? ，322 2IIIIIIIIIId i v xyyyxxyyxx???????????? ???? 。 Chan 等人又將彈性能量引入到 TV 模型當(dāng)中，提出了 TVEuler 模型 [5]： 0 0 2\[ | , ] ( ) ( )2DE I I D I d I I d?? ? ? ???? ? ? ??? () 其中， 2( ) , Id ivI? ? ? ? ? ? ???? ? ? ????? 。 (1)當(dāng) 1?d ，其它為 0 時(shí)，退化為 TV 模型，可稱為常量模型
。相反，由于在平滑區(qū)中梯度的絕對(duì)值較小，因此沿梯度方向的傳播強(qiáng)度可以較大。 圖 直角坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系 曲率 ? 描述了圖像等照度線局部彎曲程度 ,表述為等照度線切線轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)的微分dsd???,因梯度方向與等照度線切向的方向垂直 ,所以曲率也可以用梯度方向的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率表示 ,單位梯度II??反映了梯度的方向 ,因此曲率 27 可 以 表 示 為 單 位 梯 度 的 散 度 ???????? ????????????? ??? IIIId i v? 。但是對(duì)大面積的圖像破損的修復(fù)效果并不理想，修復(fù)結(jié)果常常出現(xiàn)模糊的現(xiàn)象。 缺點(diǎn)：破壞視覺連通原理，可能引起階梯效應(yīng)。在上 述的這些算法中，由于 Crimlnisi 算法及其改進(jìn)算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、快速、效果好，故得到了廣泛的應(yīng)用。 ③尋找和復(fù)制最優(yōu)匹配塊。 （ 3） 更新置信度 最高優(yōu)先權(quán)的目標(biāo)塊修補(bǔ)完成后，塊中原來的邊界點(diǎn)變成已知點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)中的點(diǎn)變?yōu)橐阎c(diǎn)或者邊界點(diǎn)， 這時(shí)需重新計(jì)算已知點(diǎn)的置信度，以及邊界點(diǎn)的優(yōu)先權(quán)。在填充過程中，邊緣輪廓線 ?? 會(huì)向待修補(bǔ)目標(biāo)區(qū)域不斷收縮，因此又稱填充邊緣。這種紋理合成主要由三部分組成 :優(yōu)先權(quán)計(jì)算、最優(yōu)塊搜索和復(fù)制。該混合模型的 Euler 方程為 ? ? ? ? 01 0 ???????????????? ????? IIIII ??? () 同樣在 ? ???, 坐標(biāo)下 ， 混 合 模 型 的 擴(kuò) 散 項(xiàng) ? ? III ????????????? ???? ?? 1變?yōu)? ? ? ? ???? ??? III I ??? ??? 11 。 模型為 ? ? ??? dIIdIIJD?? ??????\02 221][ ，用變分法可推導(dǎo)出相應(yīng)的 Euler 方程為 ? ? ? ? ? ? 000 ???????????? IIIIII ?? () (3) 21 ??p 時(shí)，稱為 pharmonic 模型 [19]。對(duì)于 a、 b、 c、 d 四個(gè)角點(diǎn)處曲率 ??? ,修復(fù)時(shí)應(yīng)使此處曲率減小 ,等照度線盡可能平滑拉伸。 因此求解泛函 ()的最小值，等價(jià)于求解偏微分方程式 ()。 圖 圖 14 pLaplace 圖像修補(bǔ)模型 文獻(xiàn) [15] 定義 了 plaplace 算 子為 ? ?IId ivI pp ???? ? 2, 相 應(yīng) 圖 像修 復(fù) 的plaplace 方程為定義如下： ??? ??? ???????? 上在 內(nèi)在0 ,1,0)( 0I pIIIp ? () 其中 NII ??0 ，為含加性噪聲的圖像模型。通過簡(jiǎn)單離散拉普拉斯算 子可得， ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nx x y yL x y I x y I x y I x y? ? ? ? () 等照度線與 N 平行， N 的最好選擇就是等照度線的方向。等照度線是指圖像中灰度在同一等級(jí)上的一系列點(diǎn)所組成的線。 BSCB 模型 圖像修復(fù)主要依賴于修復(fù)人員的主觀感覺