【正文】 損的圖像，使其接近或者達到原圖像的視覺效果。隨著美術(shù)博物館的數(shù)字化，作品被掃描到計算機里，通常只需要簡單的人際交互工作就可完成修復(fù)。 I 目 錄 第一章 緒論 ...................................... 1 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)的背景、目的和意義 ................ 1 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 ..................... 2 第二 章 數(shù)字圖像修復(fù)算法綜述 ...................... 4 圖像的數(shù)學(xué)描述 .................................... 4 圖像修復(fù)的相關(guān)理論 ................................ 6 變分法 ...................................... 6 梯度和散度 .................................. 8 卷積 ........................................ 9 紋理合成 .................................... 9 數(shù)字圖像修復(fù)算法 ................................. 11 BSCB 模型 .................................. 11 PLAPLACE 圖像修補模型 ...................... 14 基于樣本的紋理合 成算法 ..................... 20 各種修復(fù)模型算法比較 ............................. 24 本章小結(jié) ......................................... 25 第三章 TV模型改進及其實現(xiàn) ....................... 26 II 預(yù)備知識 ........................................ 26 連續(xù)型模型 ....................................... 27 離散型模型 ....................................... 29 模型的仿真 ....................................... 33 模型的評價 ........................................ 3 本章小結(jié) ........................................ 39 第四章 展望 ..................................... 40 參考文獻 ........................................ 41 致 謝 .......................................... 48 1 第一章 緒論 、目的和意義 一般情況下，一幅完整的圖像是沒有任何破損和雜質(zhì)的。 （ 2） 在之前的基礎(chǔ)上，結(jié)合 TV、 CDD 模型優(yōu)缺點 ,針對擴散系數(shù)進行改進，提出了一個基于偏微分方程的修復(fù)模型，它涵蓋了 TV、 CDD、指數(shù)曲率模型、對數(shù)曲率模型這些子模型，為了仿真實現(xiàn)方便，繼而給出了該修復(fù)模型及其子模型的離散型模型。I 摘 要 圖像復(fù)原領(lǐng)域中的數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)是近幾年來比較熱門的一個研究課題，它利用圖像中已知的有效信息，按照一定規(guī)則對破損的圖像進行信息填充，得到連續(xù)、完整、自然的圖像視覺效果。通過 MATLAB 實現(xiàn)該算法，證明該修復(fù)模型對于較小區(qū)域的圖像修復(fù)和去噪有很好的效果。但在經(jīng)歷了時間、等外在因素影響，就會導(dǎo)致圖像發(fā)生退化，圖像就會產(chǎn)生破損，對破損區(qū)域的修復(fù)就是需要進行修復(fù)和補全。數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)相應(yīng)地帶來了極大的自由，比如可避免直接在原作上進行修復(fù)，出現(xiàn)錯誤的時候或逐步增強修補效果的時候，不會破壞珍貴的原畫。由于沒有足夠的信息可以保證唯一正確地修復(fù)破損圖像，因此圖像修復(fù)是個病態(tài)問題。目前的一些圖像處理軟件雖有專業(yè)的特效處理和圖像修復(fù)處理，但這要求用戶掌握必要的圖像處理知識。 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 目前存在兩大類圖像修復(fù)技術(shù)：一類用于修復(fù)小尺度缺損的圖像修補技術(shù)（ image inpainting technique），也可稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting算法 。這種基于 PDE 方法的思想首先由Bertalmio, Sapiro, Caselles, Bellester[2]提出，他們利用帶修補區(qū)域的邊緣信息，采用一種由粗到精的方法來估計等照度線的方向，并采用傳播機制將信息傳播到待修補的區(qū)域內(nèi)，以便得到較好的修補效果。由于偏微分方程與變分法是可以通過變分原理相互等價推出的，因此，可把這一類方法統(tǒng)稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting 算法。再在待修補區(qū)域的周圍尋找與之最相配的紋理塊，來替代該紋理塊。 圖像修復(fù)算法的客觀評價 一幅 NM? 的原灰度圖像 ),(? yxI ， ),(0 yxI 為受損圖像，其復(fù)原后圖像 ),( yxI 質(zhì)量的評價測度有： (1) 均方差測度 (MSE) ? ?? ?21 1 ,),(?1 ? ?? ? ??MxNy yxIyxIMNMSE (2) 信噪比測度 (SNR) ? ?? ?? ? ?????????????????? ?? ?? ?? ?21 11 12,),(?),(?lg10MxNyMxNyyxIyxIyxIS N R (3) 峰值信噪比測度 (PSNR) ? ?? ? ?????????????????? ?? ?21 12,),(?1255lg10MxNyyxIyxIMNP S N R (4) 改進信噪比測度 (ISNR) ? ?? ?? ?? ? ??????????????????? ?? ?? ?? ?21 11 120,),(?,),(?lg10MxNyMxNyyxIyxIyxIyxII S N R 圖像修復(fù)較常用的客觀評價測度為峰值信噪比測度 (PSNR)和改進信噪比測度(ISNR)，它們的值越大時，表示修復(fù)效果越好。一般圖像復(fù)原的數(shù)學(xué)表達式如下： 0I K I N? ? ? () 式中， 0I 為最初觀察得到的圖像， I 為原圖像 ,K 為退化函數(shù)， N 為加性白噪聲，“ *”表示卷積。 5 圖 圖像退化 /復(fù)原過程模型 [10] 一幅數(shù)字圖像都是二維離散圖像用 ( , )I xy 表示，簡記為 I 。 圖 圖像修復(fù)示意圖 對于大多數(shù)圖像修補問題來說，數(shù)據(jù)模型可以描述為： 0 \\| [ * ]DDI K I N???? () 假設(shè)圖像只考慮噪聲，即 NIIyxNyxIyxI ???? 00 ),(),(),( 也可簡記為，其中 N 為 具有零均值，方差為 2? 的高斯白噪聲，即有 22 )(,0)( ??? NENE 。這就 是所謂的變分法。比如 Sobolev 范數(shù)：2[] ||EI Id??? ??； Rudin等的全變分模型 [4]: [] ||EI Id??? ??。變分法研究的是一個函數(shù)的極大值和極小值 問題，因此它可看成是一個變分問題。記為v=v[y(x)] 7 (2) 泛函的變分定義： 0xyF F Fu x u y u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?，其中 ()yx 為 ()yx 的近似值。xyy 都是二次連續(xù)可導(dǎo)， 39。 39。babaJ y y J y F x y y y y F x y y d xFFy y d xyy? ? ???? ? ? ? ? ??????????????? () 上式稱為泛函的變分，記為 [ ( ) ] 39。 039。39。ba F d F y y d xy d x y ?????????????。) 0baJ F x y z y z d x?? ????????? 的歐拉方程為 0,39。 , 39。 39。 39。 變 分 問 題( , , , , ) 0xyJ F x y u u u d x d y?? ???????? 的歐拉方程為 0xyF F Fu x u y u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ ） ○ 5 附加條件下的變分問題。 9 (2) 梯度：若 ? ?yxf , 存在對所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量 ? ? ? ?? ?00 , PfPf yx 為函數(shù) f 在點 0P 的梯度（ gradient），記作 ? ? ? ?? ?00 , PfPffg r a d yx? 。 拉普拉斯算符：數(shù)量函數(shù) ? ?yxf , ，2222y fx ff ?????????，算符 ? 的內(nèi)積 ??? 常記作 ? ，則有 ff??? ?? ， ? 稱為拉普拉斯算符。而紋元一般是由幾個像素構(gòu)成，紋元的位置多數(shù)是呈現(xiàn)出周期性的、類似周 10 期性的或隨機性的。指包含有機構(gòu)紋理局部特性的最小紋理塊，整個紋理圖像是由一系列的紋理塊及擺放規(guī)則決定。介于結(jié)構(gòu)性紋理和隨機紋理圖像之間，大多數(shù)圖像是屬于這一類。由于全局性是紋理的基本 特征，通過對圖像紋理的描述可以了解圖像上全部或局部區(qū)域所對應(yīng)景物的表面性質(zhì)。 過程紋理合成直接通過對物理過程的仿真在曲面上生成紋理，屬于物理模擬過程，如應(yīng)用在毛發(fā)、云霧、木紋等。該算法可以有效的克服了過程紋理的缺點，目前的基于紋理合成的算法多采用基于樣本的紋理合成方法。 BSCB 模型 圖像修復(fù)主要依賴于修復(fù)人員的主觀感覺，沒有一種標準的方法，一般存在以下幾種觀點 [2]。 (4)細節(jié)部分必需添加，也即添加紋理。等照度線是指圖像中灰度在同一等級上的一系列點所組成的線。 () 式中， n 表示修復(fù)迭代次數(shù)， (, )xy 表示像素坐標， t? 表示修復(fù)時間步長， ( , )ntI x y表示圖像在時間 t 下的 ( , )nI xy 的修復(fù)，方程只作用在修補區(qū)域 ? 內(nèi)。通過簡單離散拉普拉斯算 子可得， ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nx x y yL x y I x y I x y I x y? ? ? ? () 等照度線與 N 平行， N 的最好選擇就是等照度線的方向。 ( , )g xy? 是光滑函數(shù)，( , , )k xyt 表示等照度線的歐式曲率。 圖 圖 14 pLaplace 圖像修補模型 文獻 [15] 定義 了 plaplace 算 子為 ? ?IId ivI pp ???? ? 2, 相 應(yīng) 圖 像修 復(fù) 的plaplace 方程為定義如下： ??? ??? ???????? 上在 內(nèi)在0 ,1,0)( 0I pIIIp ? () 其中 NII ??0 ，為含加性噪聲的圖像模型?；谡w變分模型的圖像修復(fù)方法，即 TV 模型，其本質(zhì)是將圖像看成一個分段平滑函數(shù)，在有界空間上對圖像建立 模型。 因此求解泛函 ()的最小值，等價于求解偏微分方程式 ()。該模型修復(fù)時僅依賴于圖像的幾何特征 ,具有形態(tài)學(xué)不變性 ,可以在抑制噪聲的同時平滑圖像邊緣，即保持邊緣和數(shù)值 PDE 實現(xiàn)方便，具有很好的修復(fù)效果，如圖 去除目標物。對于 a、 b、 c、 d 四個角點處曲率 ??? ,修復(fù)時應(yīng)使此處曲率減小 ,等照度線盡可能平滑拉伸。 歐拉在研究外力的作用下 ,首先提出了曲線的能量概念 [ 17]，已知曲線的兩端點 A 和 B,曲線長度為 d ，則曲線量方程為 ? ? ? ?dsdEAB? ??2???， Chan 等人則將彈性能量引入到 TV 模型當中 ,提出了 TVEuler 模型 [6]： 17 0 0 2\[ | , ] ( ) ( )2DE I I D I d I I