【正文】 擴(kuò)散，最終達(dá)到圖像信息補(bǔ)全的效果。 該模型為了使修復(fù)過程更加清晰，并且能夠保持修復(fù)邊界的光滑性和噪聲魯棒，使用各向異性擴(kuò)散，該方程表示為： ( , ) ( , , ) ( , , ) , ( , )I g x y k x y t I x y t x yt ??? ? ? ? ? ?? () 其中， ?? 是修補(bǔ)區(qū)域 ? 內(nèi)的以 ? 為半徑的圓域擴(kuò)展。It?? 表示圖像在單位時(shí)間的變化量，則 BSCB 模型的信息傳輸過程表達(dá)式為： IL LNt N??? ? ? ?? ? () 0( , )I xy 用來表示待修復(fù)的離散的二維圖像， ( , )I xy 表示修復(fù)過程中的離散圖像，同時(shí)也表示圖像灰度函數(shù)，從手工修復(fù)技術(shù)描述，采用迭代算法，則算法可描述為： 1 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )n n ntI x y I x y t I x y x y? ? ? ? ? ? ?。 (3)通過延伸邊緣處的等照度線進(jìn)入修復(fù)區(qū)域，實(shí)現(xiàn)修復(fù)區(qū) 域和完好區(qū)域邊緣處的連續(xù)。 基于樣本的紋理合成算法是一給定小塊紋理的基礎(chǔ)上，生成大量相似的紋理塊。紋理合成目標(biāo)是：生成的圖片要以一個(gè)給定樣本紋理為基礎(chǔ)，形成新的且滿足視覺要求的紋理圖像。 如圖 所示，紋理圖像大致可分為三種 [13][14]： （ 1）結(jié)構(gòu)性紋理圖像。由散度和梯度的定義可知，divF F??? 。F d F d F d Fy d x y d x y d x y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? () ○ 4 泛 函 取 決 于 多 元 函 數(shù) ( , )uxy 的 情 況 。 39。, 39。 ( )39。39。)baJ y x F x y y d x? ?，函數(shù) F 對(duì)于 , , 39。 圖像修復(fù)的相關(guān)理論 圖像修復(fù)問題就是根據(jù)數(shù)據(jù)模型和圖像先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，建立和求解能量泛函問題，其修補(bǔ)后的圖像就是該能量泛函的極值。幸運(yùn)的是，在很多文獻(xiàn)中，由幾何信息激發(fā)的“能量”形式的確存在，如 Rudin， Osher 和Fatermi 模型 [4]副以及 Mumford— Shah 模型 [6,7]。圖像退化復(fù)原整個(gè)過程模型的示意圖見圖 2。 由于數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)是近幾年發(fā)展起來的一個(gè)課題，國外的研究正處于初步發(fā)展階段，國內(nèi)也隨后進(jìn)行相關(guān)的研究，逐漸成為國際的熱點(diǎn)研究課題。這類算法主要包括全變分（ total variation, TV）模型 [4]、 Euler’ s elastica 模型 [5]、MumfordShah 模型 [6],[7]、 MumfordShahEuler 模型 [8 ]等?，F(xiàn)在，數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)正被廣泛研究，基于不同原理提出了各種不同修復(fù)算法，這些算法致力于簡單實(shí)用，只要求用戶簡單選擇要修復(fù)的區(qū)域，剩下的工作則由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成。 所謂圖像修復(fù)是對(duì)根據(jù)圖像已有信息對(duì)圖像上信息缺損區(qū)域按照一定規(guī)則進(jìn)行填充的過程，其目的是為了恢復(fù)有缺損的圖像，使其接近或者達(dá)到原圖像的視覺效果。 I 目 錄 第一章 緒論 ...................................... 1 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)的背景、目的和意義 ................ 1 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 ..................... 2 第二 章 數(shù)字圖像修復(fù)算法綜述 ...................... 4 圖像的數(shù)學(xué)描述 .................................... 4 圖像修復(fù)的相關(guān)理論 ................................ 6 變分法 ...................................... 6 梯度和散度 .................................. 8 卷積 ........................................ 9 紋理合成 .................................... 9 數(shù)字圖像修復(fù)算法 ................................. 11 BSCB 模型 .................................. 11 PLAPLACE 圖像修補(bǔ)模型 ...................... 14 基于樣本的紋理合 成算法 ..................... 20 各種修復(fù)模型算法比較 ............................. 24 本章小結(jié) ......................................... 25 第三章 TV模型改進(jìn)及其實(shí)現(xiàn) ....................... 26 II 預(yù)備知識(shí) ........................................ 26 連續(xù)型模型 ....................................... 27 離散型模型 ....................................... 29 模型的仿真 ....................................... 33 模型的評(píng)價(jià) ........................................ 3 本章小結(jié) ........................................ 39 第四章 展望 ..................................... 40 參考文獻(xiàn) ........................................ 41 致 謝 .......................................... 48 1 第一章 緒論 、目的和意義 一般情況下，一幅完整的圖像是沒有任何破損和雜質(zhì)的。I 摘 要 圖像復(fù)原領(lǐng)域中的數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)是近幾年來比較熱門的一個(gè)研究課題，它利用圖像中已知的有效信息，按照一定規(guī)則對(duì)破損的圖像進(jìn)行信息填充，得到連續(xù)、完整、自然的圖像視覺效果。但在經(jīng)歷了時(shí)間、等外在因素影響，就會(huì)導(dǎo)致圖像發(fā)生退化，圖像就會(huì)產(chǎn)生破損，對(duì)破損區(qū)域的修復(fù)就是需要進(jìn)行修復(fù)和補(bǔ)全。由于沒有足夠的信息可以保證唯一正確地修復(fù)破損圖像，因此圖像修復(fù)是個(gè)病態(tài)問題。 數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 目前存在兩大類圖像修復(fù)技術(shù)：一類用于修復(fù)小尺度缺損的圖像修補(bǔ)技術(shù)（ image inpainting technique），也可稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting算法 。由于偏微分方程與變分法是可以通過變分原理相互等價(jià)推出的，因此，可把這一類方法統(tǒng)稱為基于變分 PDE 的圖像 inpainting 算法。 圖像修復(fù)算法的客觀評(píng)價(jià) 一幅 NM? 的原灰度圖像 ),(? yxI ， ),(0 yxI 為受損圖像，其復(fù)原后圖像 ),( yxI 質(zhì)量的評(píng)價(jià)測度有： (1) 均方差測度 (MSE) ? ?? ?21 1 ,),(?1 ? ?? ? ??MxNy yxIyxIMNMSE (2) 信噪比測度 (SNR) ? ?? ?? ? ?????????????????? ?? ?? ?? ?21 11 12,),(?),(?lg10MxNyMxNyyxIyxIyxIS N R (3) 峰值信噪比測度 (PSNR) ? ?? ? ?????????????????? ?? ?21 12,),(?1255lg10MxNyyxIyxIMNP S N R (4) 改進(jìn)信噪比測度 (ISNR) ? ?? ?? ?? ? ??????????????????? ?? ?? ?? ?21 11 120,),(?,),(?lg10MxNyMxNyyxIyxIyxIyxII S N R 圖像修復(fù)較常用的客觀評(píng)價(jià)測度為峰值信噪比測度 (PSNR)和改進(jìn)信噪比測度(ISNR)，它們的值越大時(shí)，表示修復(fù)效果越好。 5 圖 圖像退化 /復(fù)原過程模型 [10] 一幅數(shù)字圖像都是二維離散圖像用 ( , )I xy 表示，簡記為 I 。這就 是所謂的變分法。變分法研究的是一個(gè)函數(shù)的極大值和極小值 問題，因此它可看成是一個(gè)變分問題。xyy 都是二次連續(xù)可導(dǎo)， 39。babaJ y y J y F x y y y y F x y y d xFFy y d xyy? ? ???? ? ? ? ? ??????????????? () 上式稱為泛函的變分，記為 [ ( ) ] 39。39。) 0baJ F x y z y z d x?? ????????? 的歐拉方程為 0,39。 39。 變 分 問 題( , , , , ) 0xyJ F x y u u u d x d y?? ???????? 的歐拉方程為 0xyF F Fu x u y u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ ） ○ 5 附加條件下的變分問題。 拉普拉斯算符：數(shù)量函數(shù) ? ?yxf , ，2222y fx ff ?????????，算符 ? 的內(nèi)積 ??? 常記作 ? ，則有 ff??? ?? ， ? 稱為拉普拉斯算符。指包含有機(jī)構(gòu)紋理局部特性的最小紋理塊，整個(gè)紋理圖像是由一系列的紋理塊及擺放規(guī)則決定。由于全局性是紋理的基本 特征，通過對(duì)圖像紋理的描述可以了解圖像上全部或局部區(qū)域所對(duì)應(yīng)景物的表面性質(zhì)。該算法可以有效的克服了過程紋理的缺點(diǎn)，目前的基于紋理合成的算法多采用基于樣本的紋理合成方法。 (4)細(xì)節(jié)部分必需添加，也即添加紋理。 () 式中， n 表示修復(fù)迭代次數(shù)， (, )xy 表示像素坐標(biāo)， t? 表示修復(fù)時(shí)間步長， ( , )ntI x y表示圖像在時(shí)間 t 下的 ( , )nI xy 的修復(fù)，方程只作用在修補(bǔ)區(qū)域 ? 內(nèi)。 ( , )g xy? 是光滑函數(shù)，( , , )k xyt 表示等照度線的歐式曲率。基于整體變分模型的圖像修復(fù)方法，即 TV 模型，其本質(zhì)是將圖像看成一個(gè)分段平滑函數(shù)，在有界空間上對(duì)圖像建立 模型。該模型修復(fù)時(shí)僅依賴于圖像的幾何特征 ,具有形態(tài)學(xué)不變性 ,可以在抑制噪聲的同時(shí)平滑圖像邊緣，即保持邊緣和數(shù)值 PDE 實(shí)現(xiàn)方便，具有很好的修復(fù)效果，如圖 去除目標(biāo)物。 歐拉在研究外力的作用下 ,首先提出了曲線的能量概念 [ 17]，已知曲線的兩端點(diǎn) A 和 B,曲線長度為 d ，則曲線量方程為 ? ? ? ?dsdEAB? ??2???， Chan 等人則將彈性能量引入到 TV 模型當(dāng)中 ,提出了 TVEuler 模型 [6]： 17 0 0 2\[ | , ] ( ) ( )2DE I I D I d I I d?? ? ? ???? ? ? ??? () 其中， 2( ) , Id ivI? ? ? ? ? ? ???? ? ? ????? 。 上述討論的調(diào)和模型 ? ? ??? dIIdIIJD?? ??????\02 221][ ，用變分法可推導(dǎo)出其 Euler 方程為 ? ? ? ? 00 ??????? III ? 。目前使用最廣泛的紋理合成算法為基于樣本的紋理合成圖像修復(fù)技術(shù)，它不但可以填充任意大小的丟失塊，還可以修復(fù)破損部分的細(xì)節(jié)。修補(bǔ)區(qū)域的優(yōu)先權(quán)決定了以后的修補(bǔ)優(yōu)先順序，優(yōu)先權(quán)越高，越先處理修補(bǔ)區(qū)域。 計(jì)算待補(bǔ)全塊 p? 的優(yōu)先權(quán) ? ? ? ? ? ?pDpCpP ? ， ??pC 為置信度，表示 p? 中包含的已知信息量， ??pD 為數(shù)據(jù)項(xiàng)，表示 p? 中包含的結(jié)構(gòu)信息量。 , 。接著，就有大量的研究者開始研究 Criminisi 等的算法 [21,22,23]:國內(nèi)，浙江大學(xué)的唐峰等 [21]分析了 criminisi 算法的不足，提出了一種新穎的基于紋理合成的圖像修復(fù)算法。若能對(duì)規(guī)則紋理的方向特性進(jìn)行研究，找到圖像中紋理的大致走向，然后沿這一走向?qū)ふ移ヅ鋲K，不但會(huì)減少搜索空間，還會(huì)提高修補(bǔ) 的視覺效果。 25 本章小結(jié) 本章分別對(duì)圖像修復(fù)中的幾個(gè)典型算法模型的優(yōu)缺點(diǎn)以及相應(yīng)的算法做了詳細(xì)