【正文】 19 概率度量空間的背景知識 概率度量空間（簡記為 PM? 空間） ,是度量空間把兩點間距離用一個統(tǒng)計量來進行，描述的一種空間。 ??3 ,x y yxFF? 。 ??3 ? ? ? ?,a b c d? ?? ，其中 ,c a d b??。 ? ? ? ?6 , m in ,1a b a b? ? ?。 ? ?? 已知 0 , 0 , , ,t N n N?? ? ? ? ? ?有 ? ?, 1nxxFt ???成立，即 ? ?, 1nxxFt ???，亦即 ? ?,lim 1nxxn Ft?? ?，對于 0t?? 成立 。 對這種問題的證明思路就是否定其中一個然后去證明另一個 。映射 T :XX? 滿 足的 壓 縮條 件為 對 于, , 0x y X t? ? ? ?，有 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?, , 1 , 2 , 3m in , ,T x T y x T x y T y x yF F t F t F t? ? ?? ， 則壓縮映射 T 存在唯一不動點。 概率度量空間上 非線性的壓縮映射原理 與一般度量空間中的討論一樣，研究了基本的壓縮映射原理之后，就要繼續(xù)研究應(yīng)用更加廣泛的非線性的情況，在不同的條件下會得到不同的壓縮映射原理，從之前探究的證明方法入手，證明下面這個非線性的壓縮映射原理 ，該定理取自參考文獻 [11]。 任取 0xE? ，記 ? ?1nnx f x? ? ， ? ? ? ?? ?00 ,in f , 0 , 1 , 2 ,mx x xG t F t m? ? ???，設(shè)? ?,EF? 是一個完備的 M? 概率度量空間，其中 ? 滿足 ? ?, 1,tt??對于 1t?? ， :f E E? 為壓縮映射，那么下面兩個結(jié)論必定會成立其中一個： ??1 f 存在唯一的不動點。實際上可以證明這兩個概念是等價的。 ? ? ? ?4 , m ax ,a b a b?? 。 ： t? 范數(shù)的概念及其性質(zhì) ? ? ? ? ? ?: 0,1 0,1 0,1? ? ?稱為 t? 范數(shù)，如果對于 ? ? ?, , , 0,1 ,a b c d? 滿足 ??1 ? ?,1aa??。 ??2 我們把有序?qū)?? ?,EF 稱為 PM? 空間，其中 ,:E F E E D? ? ? ?(記 20 ? ? , xyF x y F? )而且對于 ,x y E??滿足以下條件： ??1 ? ?, 1,xyFt? 對于 0t?? 當(dāng)且僅當(dāng) xy? 時成立 。 由于 ,xy在不斷的變化，所以 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?, , , , ,xyE d f x f y k d x y? ? ? ?? ? ? ?， 也可能會隨之發(fā)生變化，這也是該定理與引理的區(qū)別所在，所以證明的思路就是構(gòu)造出和引理類似的 0? ，則此定理就證明出來了。 ??4 稱 ? ???為隨機算子 :T X X?? ? 的隨機不動點，如果 ? ???是 X 隨機元， 而且 ? ?? ? ? ?.., aeT ? ? ? ? ?? 。 ? ?2,pq? 使得 ? ?, 0,t s a?? 且對于 ? ? ? ? ? ?? ?, 0 , , ,x s y s C a E? 滿足 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?111 1 2 2 1 2, , , , m a x : 0 , 0p q r uk t s T x s k t s T y s L T x s T y s r p u q?? ? ? ? ? ? ? ?0L? 。 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?: 0 , 0 ,k a a R R? ? ?上面連續(xù)， 0a? ，且滿足 Lipschitz 條件 ? ? ? ?, , , ,k t s x k t s y L x y? ? ?， 那么對于 ? ? ? ?0,v t C a?? ， ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0, , , 0 ,tu t v t k t s u s d s t a? ? ?? ， 在 ? ?0,Ca中有唯一的解，并且對于 ? ?0 0,u C a?? ， 有 ? ? ? ? ? ?? ?10 ,tnnu t v t k t s u s d s??? ?在 ? ?0,a 上一致收斂于那個存在的唯一解 。 因為 V 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?00l i m l i miiiinnnnV T x V T x V r?? ? ? ?? ? ?。理解了證明，在此基礎(chǔ) 9 上構(gòu)造出新的壓縮映射原理也會變得容易。 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 3 4 5,1 1 2 3 4 5 12 n n n n n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a bq d q b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 4 523452 12a p a p a p a p a pqp a p a p a p a p? ? ? ???? ? ? ?， 所以 ， 8 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 01 , 0nn n n n n n n n n nq d q p d q d d q q p d q p d x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這與 ,1nndp? ? 矛盾，所以 0p? 。 注釋 :之所以把這個定理證明一遍是因為定理的證明方法同樣適用于其他類型的壓縮映射原理下面的例子就要說明這個問題。 ? ?14 1977年， ..BERhoades ，存在 1ia?? ，其中 ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1 ,iat ??單調(diào)減少，對于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12, , , ,a d x y d x y a d x y d x T x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 4 5, , , , , ,a d x y d y T y a d x y d x T y a d x y d y T x? ? ?。 ??6 1971年 ， Reich ， , , 0 , 1 , ,a b c a b c x y X? ? ? ? ? ? ?有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ?, , ,a d x T x b d y T y c d x y???。 1910 年，布勞威爾對于任意的證明了這個猜想 ： 維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕谧C明過程中， . . .LE J Brouwer構(gòu)造 了連續(xù)拓?fù)溆成?下的 單純 逼近 的概念， 主要是 一系列線性映射的逼近 的概念， 他還 構(gòu) 造了映射的拓?fù)涠鹊母拍?，即 一個取決于拓?fù)溆成溥B續(xù)變換的同倫類的數(shù) 。 . . .LE J Brouwer不動點定理說明： 在 一個拓?fù)淇臻g中 ， 滿足一定條件的連續(xù)函數(shù) f ，存在一個點 0x ，使得 ? ?00f x x? ， . . .LE J Brouwer不動點定理 的一個簡單 的 函數(shù) 形式是對一個從某個圓盤 D 映 射到它自身的函數(shù) f 。 傳統(tǒng)的研究方向是將壓縮映射原理應(yīng)用在求數(shù)列極限，微分方程，積分方程，或者方程組解的存在唯一性等問題上，數(shù)列，微分方程，積分方程也是千變?nèi)f化，但只要可以根據(jù)具體條件構(gòu)造出壓縮映射，就可以應(yīng)用壓縮映射原理說明問題。另外我在考研究生參加復(fù)試的時候，當(dāng)時一位老師問我一個問題，問題是這樣的：在旅游景點甚至在學(xué)校內(nèi)的大門口經(jīng)常會見到有平面的小地圖，由此請問說明在小地圖上的一點適合大地圖上的一點 是重合的。 第二章， 介紹壓縮映射原理的最基本的形式 ， 即 Banach 壓縮映射原理 ，通過 對其定理內(nèi)容和證明方法的分析，深刻認(rèn)識了 Picard 迭代方法 在證明中起到的重要作用，總結(jié)出了一套通用的方法證明這類定理，還找了一個例子 ， 用總結(jié)出的方法進行了證明。雖然只有兩個例子，但是獲得方法和思想可以用到許多其他的例子上。 事實上，這個證明方法中涉及到的迭代法在數(shù)值分析課程中也有提到，可以構(gòu)造一系列迭代關(guān)系， 從而去求得方程的近似解等數(shù)值分析的問題，這也算是由壓縮映射原理得到的一個非常重要的應(yīng)用吧。 法國數(shù)學(xué)家 .HPoincare 在 1895 年至 1900 年，在“龐加萊的最后定理”中，把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動點的存在問題，首先使用了不動點的概念。這一 結(jié)果 推廣到高維球面 就是 在 n 維球內(nèi)任意映到自身的連續(xù)映射至少 存在 一個不動點 。 壓縮映射原理的簡介 根據(jù)參考文獻 [1]， [4]， [7]中記載， 按照壓縮條件的不同，壓縮映射原理可以進行如下分類： 設(shè) ? ?,Xd 為度量空間，映射 :T X X? ，稱為滿足下列第 ??i 個條件的映射為第 ??i 類壓縮映射，記為 ??Ti? ??1 1922 年， Banach ，對于任意的 ,xy X? 有 ? ? ? ? ? ?, , , 0 ,1d T x T y kd x y k??。 ??9 1972 年， ..V MSehgal ，對于任意的 ,xy X? ， xy? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , ,d x T x d y T y d x y。 在這些壓縮映射中，若改為存在某個自然數(shù) p ，使 pT 滿足相應(yīng)條件，則又可得到 16個壓縮映射定理，如果改為存在某兩個自然數(shù) ,pq，使得 ? ?,ppd T x T y 滿足不等式條件，又可得到 16個壓縮映射定理，如果存在某個函數(shù) ??px，使得? ? ? ?? ?,p x q xd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個壓縮映射定理，若存在函數(shù) 5 ? ? ? ?, , ,p x y q x y，使得 ? ? ? ?? ?,p x y q x yd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個壓縮映射定理，現(xiàn)在已經(jīng)有 80 種壓縮映射定理了，如果將映射改為映射對，又可得到 80 個壓縮映射定理，若改為映射序列，又有無數(shù)個壓縮映射定理了，度量空間 X 滿足什么性質(zhì)，映射 T 滿足什么條件，這些壓縮映射定理會成立呢？它們又會有哪些應(yīng)用呢？這些都是在論文中我要討論的問題。 （ 2） 通過證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?，進一步證明 ??nx 為 Cauchy 列 。 所以,lim 0mnmn d?? ?，即 ??nx 為 Cauchy 列 。 定 理：若 T 為第九類壓縮映射時，即滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , , , , , ,d T x T y d x y d y T y d x T x x y T? ? ? 連續(xù)，若存在 X?? 是 ? ?0 0n nTx??的聚點，則 ? 是 T 的唯一不動點，且 0nTx?? 。 情況一， 如果 001nnT x T x?? ，那么當(dāng) 0nn? ， 000nnT x T x? ，所以 000lim nnn T x T x ??? ?? 情況二， 否則對于 ,k ???? 有 ? ?100, 0,kkd T x T x? ?因為0lim nn Tx ??? ?， 所以 ? ? ? ?000 100l im , , 0nnn d T x T x d T????? ??，所以 對于 0, ,J i J?? ? ? ?時，有 ? ? ? ?0 0 010 0 0, , ,n n nd T x T x d T x? ? ?? ??。 由于 11Lae???， 所以也 滿足壓縮映射原理 。 注釋： 當(dāng) in? 時，有許多科學(xué)家做過研究，由于微分方程組的形式多樣，因此也得到了許多形式的壓縮映射原理，這些神奇的理論我都收集在了參考文獻中， 16 由于時間問題我很難在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新，所以就不把那些別人的結(jié)果寫在正文里了。 在 中 這些概念下可以構(gòu)造出隨機壓縮映射原理：幾乎處處的連續(xù)的隨機壓縮算子存在唯一的隨機不動點 。自從 1942 年， .KMenger 首次提出 PM? 空間以來， 首創(chuàng)序貫分析的世界著名科學(xué)家 .AWald ，前蘇聯(lián)著名科學(xué)家 ..ANSerstnov 以及布拉格學(xué)派的杰出科學(xué)家 Spacek ，在這一領(lǐng)域做了大量的奠基性工作， 科學(xué)家們對其進行的研究進展一直很慢，直到 20 世紀(jì) 60 年代的時候， 美國科學(xué)家.BSchwweizer， .ASklar ， .HSherwood 等研究了 PM? 空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才是這一理論得到了擴充以及較大的發(fā)展。 ??4 如果 ? ? ? ?, 1 , 21, 1x y y zF t F t??，那么 ? ?, 1 2 1xzF t t??。 ??4 ? ?? ? ? ?? ?, , , ,a b c b c c? ? ? ? ?。 下面將研究概率度量空間上的壓縮映射原理， 一般的度量空間，只要具有完 22 備性，就可以找到對應(yīng)