【正文】 11 4 511m n m m n nd a a a d a a a da a a ????? ? ? ? ? ???? ? ?。 交換 1nx? 與 nx 的位置可得另一不等式為 , 1 , 1 , 1 2 , 1 3 1 , 4 , 5 1 , 1n n n n n n n n n n n nd a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 兩個不等式相加得 , ? ? ? ?, 1 1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5 , 122n n n n n nd a a a a a d a a a a d? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 , ? ?1 2 3 4 5, 1 , 1 , 1234522n n n n n na a a a ad d da a a a? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 即 ,1nnd? 單調(diào)遞減 。 分析：根據(jù) Banach 壓縮映射原理的證明可以得到如下證明思路 : （ 1） 令 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點 。 因為 X 為完備的度量空間， 所以 存在 x? 滿足 limnn xx??? ?， 所以 1nnTx x Tx x???? ? ?。 ? ?16 1977年， ..BERhoades ，對于任意的 ,xy X? ， xy? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , , , , , ,d x y d x T x d y T y d x T y d y T x。 ? ?12 1973 年， .SMassa ， Zamflrescu ， ? ?0,1,h?? 對于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11m a x , , , , , , ,22h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x????? ? ? ???? ? ? ???。 ??8 1972 年， Roux ， Socrdi ，對于任意 ,xy X? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , ,h d x T x d y T y d x y， 01h??。 ??4 1969 年， .RKannan ， 10 , , ,2h x y X??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ?, , ,d T x T y h d x T x d y T y??。 例如， . . .LE J Brouwer就借助它界定了 n 維區(qū)域 ，科學家 ..JW Alexander則用它證明了 Betty 數(shù)的不變性 ，而壓縮映射原理則是不動點理論中非常重要的一類定理 。 隨后， Cantor 揭示了不同的 n 與空間 nR 的一一對應(yīng)關(guān)系 。 建立 . . .LE J Brouwer不動點定理是 一項 突出 的 貢獻．這個定理表明：在二維球面上，任意 一個 映到自身的一一連續(xù)映射， 存在 至少有一個點是 固定 不變的 。特別是近幾十年來，隨著計算機的發(fā)展，人們使用各種各樣的迭代方法去逼近非線性映射 3 的不動點并應(yīng)用其解決了某些是問題。 ，歷史淵源 隨著對壓縮映射原理的深入了解，我知道了泛函書中的壓縮映射原理只是 在1922 年提出的第一個代數(shù)型的壓 縮映射原理，壓縮映射原理還有其他各種各樣條件下的各種各樣的形式。 根據(jù)我的深入了解壓縮映射原理在概率方向也有著非常大的應(yīng)用，例如利用概率的知識模仿度量空間定義概率度量空間，定義概率中的范數(shù) t? 范數(shù)，由此得 到概率空間上的不動點原理。 要討論這個定理首先要從它的證明說起，第一次見到壓縮映射原理的證明也是在泛函分析的書上，但是書上并沒有嚴格的證明，至少我是接受不了，其中有一個關(guān)鍵步驟是極限要和映射交換順序，在數(shù)學分析中，極限和函數(shù)交換順序是要有條件限制的，比如函數(shù)是連續(xù)的，當然現(xiàn)在我已經(jīng)用其他的方法證明出極限與壓縮映射是可以交換的了，由此得到了一個完善的證明壓縮映射原理的方法。 The fixed point. Probabilistic metric space。 第四章，把前幾章得到的結(jié)論和方法應(yīng)用到了微分方程和微分方程組的解的存在唯一性上。I 壓縮映射原理的性質(zhì) 和 應(yīng)用 摘 要 本文較有系統(tǒng) 的研究了壓縮映射原理及其一些應(yīng)用，由于壓縮映射原理是屬于不動點理論中的一類原理，所以有許多不同的形式，本文主要利用在常規(guī)度量空間中討論壓縮映射原理的方法，在概率度量空間中討論壓縮映射原理。 第三章，用第一章總結(jié)出的方法研究了壓縮映射原理更復(fù)雜的形式，隨著研究問題的復(fù)雜，也 使 第一章總結(jié)出的方法變得更加完善 。 關(guān)鍵詞 ： 壓縮映射 ；不動點； 概率度量空間；非線性微分方程 II ABSTRACT In this paper, a systematic study of the pression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space pression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of pression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of pression mapping principle is studied in the form of more plex, as the research problem of plex, also made the first chapter summarizes the methods bee more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, bined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, pression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the pression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic pression mapping principle, the principle and application of the pression of nonlinear mapping, etc. Key words: pression mapping。由此我覺得我和壓縮映射原理十分有緣，也對這個定理產(chǎn)生了濃厚的興趣。 后來進行深入的了解我發(fā)現(xiàn)之前的壓縮映射原理另一個名稱是 Banach 不動點原理，也就是說不動點定理有很多很多，應(yīng)用也更是千變?nèi)f化，壓縮映射原理只是其中的一種類型，也就是壓縮型的不動點原理，即使是壓縮型的不動點原 2 理也有很多很多中，形式由線性的可以推廣到非線性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的壓縮映射原理的基礎(chǔ)上，將一些定義在新的形式下重新定義，同樣的大思路進行新的壓縮映射原理的證明。 我的論文這次就是要寫這些問題，首先將 Banach 壓縮映射原理完整的證明一下，之后利用這個證明方法去推廣壓縮映射定 理，從而可以得到一些其他條件下的壓縮映射原理，接下來如常微分方程中所要做的一樣，將方程推廣到方程組，從而可以解決更多的實際問題，再之后，我將用我所學到的實變函數(shù)與概率論知識，在概率空間中討論壓縮映射原理及其應(yīng)用，由于時間緊迫，加上我本人現(xiàn)階段知識也是十分貧乏，暫時決定就先做出這些方面的研究，隨著不斷的學習我相信今后我會得出更多的成果。特別是波蘭數(shù)學家 Banach 在 1922 年使用 Picard 迭代方法證實了Banach 壓縮映射原理之后，由于其結(jié)果的優(yōu)美性和成功的解決了像隱函數(shù)存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大的應(yīng)用問題，使得不動點理論成為數(shù)學寶庫中的一朵奇葩，促使數(shù)學家們對其進行了深入和廣泛的研究。 推廣的 . . .LE J Brouwer定理則對 任意 從某個Euclid 空間的凸緊子集 映 射到它自身的函數(shù)都 能 成立。 有了這些概念， 我們 就 可以解決 一個流形上的向量場的奇點 等問題 。 這些概念在解決 一些有關(guān) 不變性 的 問題時 變得 非常有用 。 ??3 1961年， .MEdelstein ，對于任意的 ,xy X? ， xy? ，有 4 ? ?,d TxTy ? ?,dxy 。 ??7 1971年， Reich ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , : 0 , 0 ,1a t b t c t? ? ?單調(diào)減少，? ? ? ? ? ? 1 , ,a t b t c t x y X? ? ? ? ?有 ? ?,d TxTy ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, , , , , ,a d x y d x T x b d x y d y T y c d x y d x y? ? ?。 ??11 1973 ， ..GEHardy ， ..TDRogers ，存在 1ia?? ，對于任意的 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? 1a ? ?,dxy + 2a ? ?,d xTx + 3a ? ?,d yTy + 4a ? ?,d xTy + 5a ? ?,d yTx 。 ? ?15 1974 年， ..LBCiric ， ? ?0,1,h?? 對于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , , , , , ,h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x。 證明 定義 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點，則根據(jù) 壓縮映射條件得 ? ? ? ?1 0 0,nnnd x x k d x Tx? ? ， 所以得 , ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, 1 , ,1 nnpn p n kd