【正文】 求解偏微分方程 這一部分引用了莫嘉琪的近期論文《一類非線性橢圓型方程非局部 ROBIN邊值問題》，這篇文章研究了一類非線性非局部橢圓型方程奇攝動 Robin 邊值問題 . 在適當?shù)臈l件下 , 首先建立了相應問題的比較定理。39。10nnny na x? ???? 39。39。 例 計算 20 ( 1 )1 2 c o sdI ? ? ?? ? ?????? 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 19 解：當 0?? 時， 2I ?? ； 當 0?? 時， ize?? ， ? ? ? ?11111122zzdzdzizIzz i z z?????????? ?????? 當 01z??時， 1z? 內(nèi)， ? ? ? ?? ?1 1fz zz??? ??有且僅有 z ?? 為一級極點，在 1z? 上無奇點，所以根據(jù)留數(shù)定理 ? ? 221 1 22 R e 2 |11zFzFI i s f zi ??? ????? ? ??? 當 1?? 時， 1z? 內(nèi)， ??fz有且僅有 1z ?? 為一級極點，在 1z? 上無奇點，所以可得 ? ?? ?1112112 R e 2 |( 1 )12 ( )|1( 1 ) ( ) ( )21zzz FFzFzI i s f zizzzz????????????????????????? 利用留數(shù)定理計算實積分的方法就是把實積分轉(zhuǎn)化為復變函數(shù)沿圍線的積分，再把積分利用留數(shù)定理進行計算，這種方法適用于某些原函數(shù)不適合直接求出的積分運算。 冪級數(shù)在積分運算中的應用 冪級數(shù)在收斂域上絕對收斂，并且在收斂區(qū)間上可以逐項求導，逐項積分的，同樣，還可以交換求和順序等特殊的性質(zhì)，我們便可以利用這些性質(zhì)，在計算積分中將函數(shù)展開為收斂的冪級數(shù)，利用逐項積分來計算積分的值或證明式子之間的等價關(guān)系。 在利用冪級數(shù)求解極限的問題中，一般都是無窮多項的函數(shù)或者數(shù)列的求和天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 17 形式，而根據(jù)冪級數(shù)的定義 20 1 20 nnn a x a a x a x a x?? ? ? ? ? ? ??，可以看出冪級數(shù)的定義本身就是無窮多項求和的極限，因此，此種形式求極限應率先考慮將極限轉(zhuǎn)化為無窮級數(shù)求和的問題。下面將舉出兩個例子來分析冪級數(shù)在求極限中的應用。 39。39。 冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應用 根據(jù)定理 的推論可知，對冪級數(shù)的每一項分別求導或者求和得出的新的冪級數(shù)的收斂半徑是是不變的，那么利用這個性質(zhì)，應用到級數(shù)求和中，可以使計算更加簡潔，方便。 當 1x? 時，上式就可以表示為 01 1 1 11! 1 ! 2 ! !ne nn??? ? ? ? ? ? ??。 e 的定義是這樣的，當 n 趨于無窮時， 11 nn???????的極限，即 1lim 1 nn n?????????，所以在求解 e 的近似值運用冪級數(shù)的級數(shù)展開形式可以求解一些無理數(shù)或者積分運算的近似值，將原函數(shù)展開成 為級數(shù)形式，取有限的項數(shù)，在誤差范圍內(nèi)得出相對精準的結(jié)果。0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , 0P x Q x Q x? ? ?，則 ? ? 00 39。 定理 已知函數(shù) ??fx在正向閉曲線 C 上解析，在 C 內(nèi)除了有限個孤立奇點01, , , nx x x 外處處解析，則 ? ? ? ?12 R e ,nkkc f x d x i s f x x? ?? ??????，這就是留數(shù)定理。 定理 若 0x 是函數(shù) ??fx的孤立奇點，那么下面三個條件式等價的： 1. 0x 是 ??fx的可去奇點，即 ??fx在 0x 的洛朗級數(shù)展開式?jīng)]有負冪項； 2. 0lim ( )n f x a?? ? ? ?； 3. ??fx在 0x 的某去心鄰域內(nèi)有界。 奇點的定義和性質(zhì) 已知函數(shù) ??fx在 0x?? 處不解析，但在 0x 的某個去心鄰域 00 xx ?? ? ? 里處處解析，那么則可以把 0x 稱為函數(shù) ??fx的孤立奇點。 泰勒級數(shù)： ? ?0()( ) ~ ( )!n nngag x x an?? ??. 麥克勞林級數(shù)： ? ?0(0 )( ) ~ !n nngg x xn???. 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 9 定理 若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,a r a r??存在任意階導數(shù)，且存在 0M? ，對于任意 ? ?,x a r a r? ? ? ，任意的 0,1,2n? ，有 ? ?? ?nf x M? ，則 ()0()( ) ( )!n nnfaf x x an?????， ? ?,x a r a r? ? ? (28) 證 明 ： 根 據(jù) 泰 勒 公 式 ， 對 于 任 意 的 ( , )x a r a r? ? ? ，都有? ? ? ?0 ()~ ( ) ( ) 0 ( )!nn k nk faf x x a R x nk? ? ? ? ? ?? ，即 0 ()( ) ( )!n nn faf x x an????? 定理 若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,a r a r??存在任意階導數(shù)，且對于任意的? ?,x a r a r? ? ? ， 泰 勒 公 式 的 余 項 ( ) 0( )nR x n? ? ?， 則 對 于 任 意 的? ?,x a r a r? ? ? 都有 ()0()( ) ( )!nnfaf x x an????? (29) 證明：根據(jù)拉格朗日余項的泰勒公式，有 ? ? ? ?? ? ? ?1()( ) ( ) ( 0 1 )!()!!nnnnnxaR x f x anxa rf x a Mnn? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? 因為 lim 0!nnrn?? ?，有1lim ( ) 0nn Rx??? ?，根據(jù)定理 10，可以得知 (29)式子成立。 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 8 6. 若冪級數(shù)在在收斂半徑 r 處（或 r? ）收斂，則其和函數(shù) ??Sx在 r 左連續(xù)（或在 r? 右連續(xù)）。 2. 在區(qū)間 ? ?,rr? 內(nèi)閉一致收斂。nnnnnnS x a x n a x?? ??????? 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 7 推論 若冪級數(shù)0nnn ax???的收斂半徑 0r? ，則它的和函數(shù) ??Sx在區(qū)間 ? ?,rr? 存在任意階導數(shù)，且對于任意 ? ?,x r r?? ，任意 kN?? ，有 ()0( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )kk n n knnn n kS x a x n n n k a x?? ???? ? ? ? ???， (26) 此冪級數(shù)的收斂半徑也是 r。 定理 若冪級數(shù)0nnn ax???的收斂半徑 0r? ，則它的和函數(shù) ??Sx在區(qū)間 ? ?,rr? 可導，且可逐項積分，即對于任意 ? ?,x r r?? ，有 ? ? ? ? 10139。 推論 ： 若冪級數(shù)0nnn ax???與 1000 1x nnnnnnaa t d t xn?? ???? ????的收斂半徑分別是 1r 與 2r ，則 12rr? 。nnnna x na x?? ??????的收斂半徑分別是正數(shù) 1r 與2r ，則 12rr? 。 3） l??? ，對于任意的 xR? 且 0x? 都有 lx??? ，即對于任意 xR? ， 0x? 冪級數(shù) (22)發(fā)散，故收斂半徑 0r? 。 天津科技大學 2021屆本科生畢業(yè)論文 3 2 冪級數(shù)相關(guān)的基本知識 冪級數(shù)的定義 在函數(shù)級數(shù)中有一類結(jié)構(gòu)簡單，應用廣泛的特殊的函數(shù)項級數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?20 1 20 nnnnn a y a a a y a a y a a y a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (21) 稱為冪級數(shù)，其中 01, na a a 都是常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，若 y a x?? ，則可將上述冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡形式的冪級數(shù) 20 1 20nnn a x a a x a x a x?? ? ? ? ? ? ?? (22) 冪級數(shù)相關(guān)定理及推論 冪級數(shù)的收斂域 對于冪級數(shù) 20 1 20nnn a x a a x a x a x?? ? ? ? ? ? ?? 在 0 都收斂，冪級數(shù) (22)的收斂有以下定理： 定理 若冪級數(shù) (22)在 0 0x? 收斂，則 x 滿足 0:x x x??，反之，若冪級數(shù) (22)在 0 0x? 發(fā)散，則 x 滿足 0:x x x??。 雖然關(guān)于冪級數(shù)的文章，期刊不勝枚舉，但是其中多為簡單，分散的內(nèi)容，不能全面立體的介紹冪級數(shù)的應用，本文寫作的意義就是要對其他的學者的期刊、著作進行 分析，利用現(xiàn)有的知識和理論對例子進行歸納，并分析總結(jié)例子中應用到的性質(zhì)和技巧，盡量把將冪級數(shù)的應用系統(tǒng)的展現(xiàn)出來。冪級數(shù)有許多方便的運算性質(zhì)，在 函數(shù)運算等方面是一個很有力的工具。歐拉發(fā)展了幾何級數(shù)和 q—級數(shù)理論。 17 世紀到 18 世紀，牛頓和萊布尼茲都在級數(shù)的研究中得到了相同的結(jié)果，后來這個結(jié)論被稱為牛頓 —萊布尼茲公式。亞里士多德早在公元前 4 世紀就知道公比小于 1 的幾何級數(shù)有和，而級數(shù)的發(fā)展可以追溯到幾千年前的中國，在當時生產(chǎn)力不發(fā)達的南北朝時代，偉大的數(shù)學家，天文學家，科學家祖沖之就發(fā)現(xiàn)了圓周率的計算方法，并且運用計算圓面積中，在這其中與魏晉時期數(shù)學家劉徽在求解圓面積中應用到的割圓法異曲同工，這種算法已經(jīng)形成了級數(shù)的初步思想和方法。進一步地，本文對于代數(shù)學中的形式冪級數(shù)進行了初步 說明。 畢業(yè)論文 例談冪級數(shù)的應用 DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES 摘 要 冪級數(shù)是一類形式簡單卻應用廣泛的函數(shù)項級數(shù)，由于其本身具有很多便于運算的性質(zhì)，因此是一個解決函數(shù)方面諸多問題的利器。本文還舉例介紹了如何應用復數(shù)范圍內(nèi)的雙邊冪級數(shù)求解復積分和某些實積分。 application 目 錄 1 前言 .................................................. 6 背景和意義 ...................................................................................... 6 本文研究的主要內(nèi)容 ....................................................................... 2 2 冪級數(shù)相關(guān)的基本知識 ................................... 3 冪級數(shù)的定義 .................................................................................. 3 冪級數(shù)相關(guān)定理及推論 ................................................................... 3 留數(shù)的基礎(chǔ)知識 ............................................................................. 10 3 冪級數(shù)在近似計算與級數(shù)求和中的應用 .................... 13 計算常數(shù) e 的問題 ......................................................................... 13 冪級數(shù)在計算級數(shù)和中的應用 ..................................................... 14 4 冪級數(shù)在求極限、求導 、積分運算中的應用 ................ 16 冪級數(shù)在求極限中的應用 ............................................................. 16 冪級數(shù)在求導中的應用 ..............................................................