【正文】 I ?? ； 當(dāng) 0?? 時(shí)， ize?? ， ? ? ? ?11111122zzdzdzizIzz i z z?????????? ?????? 當(dāng) 01z??時(shí)， 1z? 內(nèi)， ? ? ? ?? ?1 1fz zz??? ??有且僅有 z ?? 為一級(jí)極點(diǎn)，在 1z? 上無奇點(diǎn)，所以根據(jù)留數(shù)定理 ? ? 221 1 22 R e 2 |11zFzFI i s f zi ??? ????? ? ??? 當(dāng) 1?? 時(shí)， 1z? 內(nèi)， ??fz有且僅有 1z ?? 為一級(jí)極點(diǎn)，在 1z? 上無奇點(diǎn)，所以可得 ? ?? ?1112112 R e 2 |( 1 )12 ( )|1( 1 ) ( ) ( )21zzz FFzFzI i s f zizzzz????????????????????????? 利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的方法就是把實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿圍線的積分，再把積分利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，這種方法適用于某些原函數(shù)不適合直接求出的積分運(yùn)算。 例 計(jì)算積分3sin(1 )xc zzdze??， C 為正向圓周： 1z? 解：根據(jù) sinz 和 xe 的泰勒展開式可以看出 333223()sin 3!(1 )2!(1 )1 3!(1 )2!1( ).xzzzzze zzzzzzz????? ??? ? ?????????? ? ??? 其中 ()z? 在 0z? 處解析，且 (0) 1? ? ，將 ()z? 在 0z? 處展開成泰勒級(jí)數(shù)，可以得到 39。 冪級(jí)數(shù)在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 冪級(jí)數(shù)在收斂域上絕對(duì)收斂，并且在收斂區(qū)間上可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分的，同樣，還可以交換求和順序等特殊的性質(zhì)，我們便可以利用這些性質(zhì)，在計(jì)算積分中將函數(shù)展開為收斂的冪級(jí)數(shù)，利用逐項(xiàng)積分來計(jì)算積分的值或證明式子之間的等價(jià)關(guān)系。所以在下面的例子中，將在函數(shù)的求導(dǎo)中利用到函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開。 在利用冪級(jí)數(shù)求解極限的問題中，一般都是無窮多項(xiàng)的函數(shù)或者數(shù)列的求和天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 17 形式，而根據(jù)冪級(jí)數(shù)的定義 20 1 20 nnn a x a a x a x a x?? ? ? ? ? ? ??，可以看出冪級(jí)數(shù)的定義本身就是無窮多項(xiàng)求和的極限，因此，此種形式求極限應(yīng)率先考慮將極限轉(zhuǎn)化為無窮級(jí)數(shù)求和的問題。 解：因?yàn)? 3 3 3 31 1 1( ) 1 1 2 1 2 3 1 2fx n? ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以 ()fx可以表示為3311() 12nifx n?? ? ? ?? 又因?yàn)?? ? 23 3 2 21 2 1 2nn? ? ? ? ? ? ? 所以111 1 1 1( ) 2 2 1 2111( 1 )2nniifx i i nii??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? 所以 lim ( ) 2n fx?? ?。下面將舉出兩個(gè)例子來分析冪級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用。() xf x xe? 因此可以得到 ? ? 39。 39。 11 !nnfx n xxn? ???? 因此根據(jù)冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)可得： 39。39。 解：設(shè) 11() ( 1) !nnnf x xn? ??? ??，其中 x??? ?? 。 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算級(jí)數(shù)和中的應(yīng)用 根據(jù)定理 的推論可知，對(duì)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)分別求導(dǎo)或者求和得出的新的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是是不變的，那么利用這個(gè)性質(zhì)，應(yīng)用到級(jí)數(shù)求和中，可以使計(jì)算更加簡(jiǎn)潔，方便。 因?yàn)?1 1 11 1 ! 2 ! !e n? ? ? ? ? ?所以 ? 。 當(dāng) 1x? 時(shí)，上式就可以表示為 01 1 1 11! 1 ! 2 ! !ne nn??? ? ? ? ? ? ??。 若利用反證法來解決這個(gè)問題，那么可以假設(shè) e 是有理數(shù) pq（ ,pq N?? ）， 因?yàn)?e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么用麥克勞林級(jí)數(shù)表示函數(shù) xe 。 e 的定義是這樣的，當(dāng) n 趨于無窮時(shí)， 11 nn???????的極限，即 1lim 1 nn n?????????，所以在求解 e 的近似值運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)展開形式可以求解一些無理數(shù)或者積分運(yùn)算的近似值，將原函數(shù)展開成 為級(jí)數(shù)形式，取有限的項(xiàng)數(shù)，在誤差范圍內(nèi)得出相對(duì)精準(zhǔn)的結(jié)果。 天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 13 3 冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算與級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用 計(jì)算常數(shù) e 的問題 常數(shù) e 是非常重要的無理數(shù)，它不僅僅在數(shù)學(xué)中能涉及到，在自然科學(xué)中也能見到，比如向日葵花子的排列、鸚鵡螺的花紋呈現(xiàn)的螺線方程，這些方程都需要用到 e，而它最早出現(xiàn)的地方卻是計(jì)算利息有關(guān)。0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , 0P x Q x Q x? ? ?，則 ? ? 00 39。 定理 已 知 有 限 點(diǎn) 0x 是 ??fx 的 m 級(jí) 極 點(diǎn) ， 則? ? ? ? ? ?0 100 11R e , l im ( )1! mmmxx ds f x x x x f xm d x ??? ???????? ???， 其 中 當(dāng) 1m? 時(shí)，? ? ? ? ? ?000Re , l imxxs f x x x x f x??????? 。 定理 已知函數(shù) ??fx在正向閉曲線 C 上解析，在 C 內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)01, , , nx x x 外處處解析，則 ? ? ? ?12 R e ,nkkc f x d x i s f x x? ?? ??????，這就是留數(shù)定理。 推論 ??fx的孤立奇點(diǎn) 0x 為極點(diǎn)的充分必要條件是 ? ?0limxxfx? ?? 定理 0x 是 ??fx的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是不存在有限或著無限的極限天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 12 ? ?0limxxfx? 。 定理 若 0x 是函數(shù) ??fx的孤立奇點(diǎn)，那么下面三個(gè)條件式等價(jià)的： 1. 0x 是 ??fx的可去奇點(diǎn)，即 ??fx在 0x 的洛朗級(jí)數(shù)展開式?jīng)]有負(fù)冪項(xiàng)； 2. 0lim ( )n f x a?? ? ? ?； 3. ??fx在 0x 的某去心鄰域內(nèi)有界。 如果 ??fx在 0x 的洛朗展開式 ? ?0001( ) ( )nnnnnnf x a x x a x x?? ????? ? ? ???中只有有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，那么可以設(shè) ( 1 ) 110 0 0( ) ( )mm mmaa ax x x x x x??? ??? ? ?? ? ?，則把 0x 稱為 ??fx的 m級(jí)極點(diǎn)，其一級(jí)極點(diǎn)也叫做簡(jiǎn)單極點(diǎn)。 奇點(diǎn)的定義和性質(zhì) 已知函數(shù) ??fx在 0x?? 處不解析，但在 0x 的某個(gè)去心鄰域 00 xx ?? ? ? 里處處解析，那么則可以把 0x 稱為函數(shù) ??fx的孤立奇點(diǎn)。 雙邊冪級(jí)數(shù)與孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開 定義： 1 01( ) ( ) ( )()nnnnnnnc cc z a c c z a c z az a z a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? (210) 稱為雙邊冪級(jí)數(shù)，其中 ( 0, 1, 2, )n? ? ? 為復(fù)常數(shù)為 (210)的系數(shù)。 泰勒級(jí)數(shù)： ? ?0()( ) ~ ( )!n nngag x x an?? ??. 麥克勞林級(jí)數(shù)： ? ?0(0 )( ) ~ !n nngg x xn???. 天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 9 定理 若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,a r a r??存在任意階導(dǎo)數(shù)，且存在 0M? ，對(duì)于任意 ? ?,x a r a r? ? ? ，任意的 0,1,2n? ，有 ? ?? ?nf x M? ，則 ()0()( ) ( )!n nnfaf x x an?????， ? ?,x a r a r? ? ? (28) 證 明 ： 根 據(jù) 泰 勒 公 式 ， 對(duì) 于 任 意 的 ( , )x a r a r? ? ? ，都有? ? ? ?0 ()~ ( ) ( ) 0 ( )!nn k nk faf x x a R x nk? ? ? ? ? ?? ，即 0 ()( ) ( )!n nn faf x x an????? 定理 若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,a r a r??存在任意階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)于任意的? ?,x a r a r? ? ? ， 泰 勒 公 式 的 余 項(xiàng) ( ) 0( )nR x n? ? ?， 則 對(duì) 于 任 意 的? ?,x a r a r? ? ? 都有 ()0()( ) ( )!nnfaf x x an????? (29) 證明：根據(jù)拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，有 ? ? ? ?? ? ? ?1()( ) ( ) ( 0 1 )!()!!nnnnnxaR x f x anxa rf x a Mnn? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? 因?yàn)?lim 0!nnrn?? ?，有1lim ( ) 0nn Rx??? ?，根據(jù)定理 10，可以得知 (29)式子成立。 推論 若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,a r a r??能展開冪級(jí)數(shù) ??7 ，則期冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的，即若對(duì)于任意 ? ?,x a r a r? ? ? ，有 0( ) ( )nnnf x a x a?????與0( ) ( )nnnf x b x b?????， 則 , 0,1, 2nna b n?? . 證明：根據(jù)定理 9，可知 ()()!nn faa n?， ()()!nn fbb n?，有 nnab? ， 0,1,2,n? 。 天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 8 6. 若冪級(jí)數(shù)在在收斂半徑 r 處（或 r? ）收斂，則其和函數(shù) ??Sx在 r 左連續(xù)（或在 r? 右連續(xù)）。 4. 和函數(shù)在任意閉區(qū)間 ? ? ? ?,a b r r?? 可積，且可逐項(xiàng)積分，特別地，對(duì)于任意 ? ?,x r r?? ，由 0 到 x 可逐項(xiàng)積分，逐項(xiàng)積分得到的冪級(jí)數(shù)收斂半徑也是 r。 2. 在區(qū)間 ? ?,rr? 內(nèi)閉一致收斂。 證明：因?yàn)?0nnnnnnn xa x a r r??????? ?????? ，對(duì)于任意的 ? ?0,xr? ，函數(shù)列 nxr????????????????單調(diào)遞減，且一致有界， 21 0 .nx x xr r r? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?且級(jí)數(shù)0nnn ar???收斂，根據(jù)阿貝爾判別法，冪級(jí)數(shù)0nnn ax???在 ? ?0,r 一致收斂，其和函數(shù) ? ?0nnnS x a x????在 r 左連續(xù)，在 r 右連續(xù)。nnnnnnS x a x n a x?? ??????? 天津科技大學(xué) 2021屆本科生畢業(yè)論文 7 推論 若冪級(jí)數(shù)0nnn ax???的收斂半徑 0r? ，則它的和函數(shù) ??Sx在區(qū)間 ? ?,rr? 存在任意階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)于任意 ? ?,x r r?? ，任意 kN?? ，有 ()0( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )kk n n knnn n kS x a x n n n k a x?? ???? ? ? ? ???， (26) 此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也是 r。nnnnnnS x a x n a x?? ??????? (25) 證明：由定理 4 可知冪級(jí)數(shù) 10nnn nax? ???的收斂半徑是 r，令存在任意的 ( , )x r r?? 且0?? ，滿足 ? ? ? ?,x r r??? ? ? ?，已知冪級(jí)數(shù)內(nèi)關(guān)一致收斂，根據(jù)逐項(xiàng)微分定理，和函數(shù) ??Sx在區(qū)間 ? ?,rr? 上可導(dǎo)，且可以逐項(xiàng)微分，即對(duì)于任意的 ( , )x r r?? ，都有 ? ? ? ? 10139。 定理 若冪級(jí)數(shù)0nnn ax???的收斂半徑 0r? ，則它的和函數(shù) ??Sx在區(qū)間 ? ?,rr? 可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)積分，即對(duì)于任意 ? ?,x r r?? ，有 ? ? ? ? 10139。 證明： 設(shè)任意 ( , )x r r?? 且存在 0?