【正文】 y xyxy???? ??? ? ?也不存在，故 ( , )f xy 在原點(diǎn)不可微 ． 以上例子說明，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，不一定在這點(diǎn)可微，偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)也不一定連續(xù) ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 28 致 謝 大學(xué)四年生活一晃而過，當(dāng)我寫完這篇畢業(yè)論文的時候有一種如釋重負(fù)的感覺，感慨良多．首先誠摯的感謝我的論文指 導(dǎo)老師，她在忙碌的教學(xué)工作中擠出時間來審查、修改我的論文 ． 本論文從選題到完成，每一步都是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下完成的，傾注了老師大量的心血 ． 在此，謹(jǐn)向孔老師表示崇高的敬意和衷心的感謝！孔老師扎實(shí)的專業(yè)知識，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，樸實(shí)無華、平易近人的人格魅力對我影響深遠(yuǎn) ． 還有教過我的所有老師們，你們嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；感謝大學(xué)四年來陪伴和支持我的朋友們，有了你們的支持、鼓勵和幫助，我才能充實(shí)并快樂的度過大學(xué)四年 ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 29 參考文獻(xiàn) [1] 王萼芳 ， 石生明 ． 高等代數(shù) (第三版 )[M]． 北京 :高等教育出版社 ． 2020． [2] 胡崇慧 ． 代數(shù)中的反例 [M]． 陜西：科學(xué)技術(shù)出版社 ． 1983． [3] 鄧東皋 ， 尹小玲 ． 數(shù)學(xué)分析簡明教程 (第 二 版 )[M]． 北京 :高等教育出版社 ． ． [4] 馬昌秀 ． 反例在數(shù)學(xué)分析 教學(xué) 中的應(yīng)用 ． 新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)學(xué)報(bào)）[J]． ． 29(4):111113． [5] 翟勇，宋新業(yè) ． 無窮級數(shù)中的若干典型反例 ． 高等數(shù)學(xué)研究 [J]． ． 10(3):34 39． [6] 王德?。?例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用與應(yīng)用 ．電大理工 [J]． ． 2:4748． [7] 張弛 ． 不定積分中的問題和反例 ． 職大學(xué)報(bào) [J] ． 2020． 2:9697． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 30 北方民族大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）誠信承諾書 學(xué)生姓名 年級 所學(xué)專業(yè) 學(xué)號 所在學(xué)院 學(xué)生承諾 本人慎重承諾和聲明： 我承諾在 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）過程中嚴(yán)格遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，在指導(dǎo)教師的安排與指導(dǎo)下獨(dú)立完成所規(guī)定的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）工作，決不弄虛作假，不請別人代做畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）或抄襲別人的成 果。s very important to the formation of mathematical thoughts of students and learning of the following courses． The counterexample is an important thought in Mathematical, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, and nature． The proper use of counterexamples, for a correct understanding of the concept, and develop their logical thinking ability, will play a very important role． This paper mainly through the learning of Higher Algebra and Mathematical Analysis, lists the counterexamples in textbooks, and strengthen the understanding of basic concepts and geometrical theorems． Key Words: counterexample ,Higher Algebra, Mathematical Analysis． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 V 目 錄 前 言 ..................................................................................................................................... 1 第一章 高等代數(shù)中的反例 ................................................................................................. 2 矩陣中的反例 ......................................................................................................... 2 多項(xiàng)式中的反例 ..................................................................................................... 9 線性空間中的反例 ............................................................................................... 11 線性變換中的反例 ............................................................................................... 12 第二章 數(shù)學(xué)分析中 的反例 ............................................................................................... 14 數(shù)列中的反例 ....................................................................................................... 14 函數(shù)中的反例 ....................................................................................................... 16 微商與微分中的反例 ........................................................................................... 19 微積分中的反例 ................................................................................................... 21 級數(shù)中的反例 ....................................................................................................... 22 偏導(dǎo)數(shù)與全微分中的反例 ................................................................................... 25 致 謝 ................................................................................................................................... 28 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................. 29 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 1 前 言 “ 全等的三角形是相似的 ” 這一命題 是正確 的 ，我們 需 要加以嚴(yán)格的證明； 然而對于不正確的命題 “ 相似的三角形一定是全等的 ” ，那么我們就要找 到 兩個相似 但并不是全等的 三角形， 即 舉 出 一個反例 ． 由此看來，對于命題來說 ，給出證明和構(gòu)造反例是同等重要的 ． 數(shù)學(xué)分析 中 包含 了 一套抽象且形式化 的 理論體系，概念難以理解 ， 學(xué)習(xí)中容易犯一些 表象 的錯誤， 比如， 我們 會 將一些函數(shù)的 特定 性質(zhì)通過四則運(yùn)算 用到另一個函數(shù)上 ． 反例是解決此類問題最有效 的 方法 ． 由于 數(shù)學(xué)分析 思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性，定理 性質(zhì) 的給出一般都帶有一些限制條件， 這些條件是不可忽視的 ． 恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，對于 深入 理解定理的條件，準(zhǔn)確 掌 握概念的 本質(zhì) ，可以起到無 可 比擬的作用 ． 此外，反例對于數(shù)學(xué)學(xué)科的理論發(fā)展和完善也起著 非常 重要 的 作用 ． 構(gòu)造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本質(zhì)，可以有 效糾正錯誤的命題或定理； 通過構(gòu)造反例，從反面消除一些易出錯的條件，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本質(zhì) ． 定理證明中，反例具有同等重要的作用，通過嚴(yán)密的證明才可以肯定一個命題的正確性，而反例即可否定一個命題的正確性 ． 這篇論文的主要內(nèi)容是舉出關(guān)于數(shù)學(xué)中的反例，包括高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析兩部分．在舉反例的過程中，所涉及到的定理和命題均參照高等代數(shù)第三版和數(shù)學(xué)分析第二版的教材，為了加強(qiáng)對問題的理解，我們舉出了一些具有說明性的反例． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2 第一章 高等代數(shù) 中的反例 高等代數(shù) 是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課 程 之一 , 為 進(jìn)一步學(xué)習(xí) 其他后續(xù)知識奠定了基礎(chǔ)，它包括了對多項(xiàng)式、矩陣、線性空間、線性變換的學(xué)習(xí) ． 下面列出在學(xué)習(xí)過程中遇到的需要用反例來判斷命題或定理的正確性的例子 ． 矩陣 中的反例 矩陣是數(shù)學(xué)中 應(yīng)用廣泛的 極其重要的概念， 在高等代數(shù)中， 它 占著十分重要的地位，它貫穿了整個高等代數(shù)的學(xué)習(xí) ． 下面就 列出 矩陣的運(yùn)算以及不同性質(zhì)矩陣 的 之間的 關(guān)系 所 運(yùn)用 的反例 ． 矩陣 乘 積中的反例 定義 [1] 設(shè) ()ik snAa? ， ()kj nmBb? ，那么矩陣 ()ij smCc? ，其中 1 1 2 2 1ni j i j i j i n n j i k k jkc a b a b a b a b?? ? ? ? ? ?， 稱為 A 與 B 的乘積，記為 C AB? ． 1. 我們知矩陣的加法滿足交換律 ，而矩陣的乘法不適合交換律 ． (1) mn nsAB有意義，當(dāng) ms? 時， nm snBA沒有意義； (2) mn nmAB和 nm mnBA都有意義，當(dāng) mn? 時，它們 乘積是 階數(shù)不等 的矩陣 ； (3) AB 和 BA 都是 n 階的 ． 例 取 1121A ???????， 1112B ??????? 則 1 1 1 1 2 32 1 1 2 3 4AB ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 3 21 2 2 1 5 3BA ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 故 AB BA? ，即矩陣 不適合 乘法交換律 ． 2. 矩陣的乘法不滿足消去律： 0A? ， AB AC? 未必有 BC? ． 反例在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3 例 取 1111A ?????????， 1111B ?????????， 1111C ????????? 顯然 0A? ， 0AB AC?? 而 BC? ． 3. 一般情況下， ()k k kAB A B? ． 例 取 2112A ???????， 1111B ???????? 則 3131AB ????????， 2 3 1 3 1 6 4() 3 1 3 1 1 2 2AB ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?， 2 5445A ???????， 2 0220B ????????， 22 8 10= 10 8AB ????????， 所以 2 2 2()AB A B? 故 ()k k kAB A B? 并不是恒成立的 ． 只要 AB BA? ，就有 ()k k kAB A B? ． 4. 定理 設(shè) A 和 B 是 數(shù)域 P 上的兩個 nn? 矩陣，那么 | | | || |AB A B? ． 那么， | | | | | |A B A B? ? ? 是否 也成立？ 答案是不成立，存在反例 ． 例 n階矩陣 011A????? ????，1