【正文】 ) (i =1, 2,? , n)。 ? 零事件 A?P 叫做 零事件 ， 是指 (??,??X)(? p|A ?)，即在事件 A 發(fā)生的情況下，任何兩種無常行為都無差異。即在事件 A 發(fā)生的條件下對行為 ? 和 ? 的評價，獨(dú)立于 事件 A 不發(fā)生的情況下所采取的行動。 要看出這一點(diǎn)，只須注意這樣一個事實(shí)：在事件發(fā)生的概率存在情況下，以較大的概率選擇較差的結(jié)果之行為，當(dāng)然要比以較小的概率選擇較差的結(jié)果之行為要差。 ? 條件單調(diào)性公理 ： 對任何 ?,??X 及 A?P ， 如果 (???A)(? p?(?))或者 (???A)(?(?) p?)， 則 ? p|A ?。證明：對任何 f, g?D， f p g，都有 (1) f p (1?p) f + p g p g 對一切 實(shí)數(shù) p?[0, 1]成立 ； (2) 對任何 p,q?[0, 1]，若 p ? q，則 (1?p) f + pg p (1?q) f + q g。為此，假定不確定環(huán)境為 (?,F,P )，確定性選擇集合 X 為商品空間 的凸閉子集，風(fēng)險選擇集合 X = {? | ? : ? ? X 是隨機(jī)向量 }，可用 D = { f : f 是 X 中的隨機(jī)向量的分布函數(shù) }來代替 X。 第二種辦法 ：計(jì)算方差。 x U b a E? c = c(? ) c u(? ) u(c) ? = pa?(1? p)b RP(? )=E?? c u(c)= u(? ) )(?RP c(? ) 作為與風(fēng)險行動 ? 無差異的確定性行動，可以看成是風(fēng)險行動 ?的實(shí)際結(jié)果 (實(shí)際效果 )。 ?對于風(fēng)險厭惡者來說 ， 對任何 ??X、 x, y?C[? ], x ? y 及 ??(0,1)， 都有 ? x+(1??)y ? x。要是讓他采取風(fēng)險行動，他首先會這樣想：如果不冒險而采取等效用的確定性行動，那么至少可得到多少收入。 如換一個角度看，則可以看出， 風(fēng)險愛好者的確定性等體 c(? ) 是所有那些與 ? 無差異的確定性行為中，與預(yù)期結(jié)果 E[? ]的價值差異最大者： pE[? ]? pc(? ) = max{ pE[? ]? px : x?C[? ]} c(? ) C[? ] p E[? ] 總結(jié)以上選擇 c(? )的辦法，我們便可以對風(fēng)險行動的確定性等體給出下面的一般性定義。 對于風(fēng)險愛好者來講，風(fēng)險加價為負(fù)。 風(fēng)險加價除了衡量風(fēng)險活動的風(fēng)險大小外，還具有 風(fēng)險回報 和 保險費(fèi) 的含義。消費(fèi)者購買產(chǎn)品，目的是要達(dá)到某種結(jié)果 ——可叫做 收益 ，而產(chǎn)品質(zhì)量嚴(yán)重影響著這種收益。 例 1. 產(chǎn)品名牌對消費(fèi)選擇的影響 用 p 表示消費(fèi)者要選擇購買的那一類產(chǎn)品的價格。 (1) 品牌的確定性等體 ?確定性等體 c(? )的價值 pc(? ) 代表消費(fèi)者愿意為這類產(chǎn)品支付的價值 ， 而預(yù)期結(jié)果的價值 pE[? ] 代表消費(fèi)者實(shí)際支付的價值。 (2) 名牌效應(yīng) ? 定義 風(fēng)險活動 ??X 的 方差 Var(x) 是指 E(? E?)178。 方差度量著風(fēng)險活動的各種可能結(jié)果偏離均值的程度大小，這正是風(fēng)險的含義所指。 (1) 職業(yè)風(fēng)險特點(diǎn)分析 這兩種職業(yè)都帶有風(fēng)險。 = 1 (2) 特點(diǎn)比較及結(jié)論 再要職業(yè) B的風(fēng)險特點(diǎn)。 在資產(chǎn)管理中，按照方差測定風(fēng)險，那么不論資產(chǎn)實(shí)際價值高于還是低于預(yù)期價值，都被視為發(fā)生了風(fēng)險。 即方差越大，風(fēng)險加價越大，預(yù)期效用越小 。 = Var(A) = ?(32)178。 能干好 與 干不好 的可能性也各為 50%。我們希望能夠客觀地測定風(fēng)險活動的風(fēng)險大小，而不要帶有個人評價方面的主觀因素。因此， 購買非名牌產(chǎn)品之行為的風(fēng)險加價較高 ： RP(? ) RP(? )，即 pE[?] pc(?) = RP(? ) RP(? ) = pE[? ] p c(?) 既然 E[? ] = E[? ]，因此 p c(? ) p c(? )，即 購買名牌產(chǎn)品之行為的確定性等價的價值 高于 購買非名牌產(chǎn)品之行為的確定性等價的價值 。但若一種產(chǎn)品能作為消費(fèi)者購買的那種品牌產(chǎn)品的確定性等體，那么該產(chǎn)品的質(zhì)量必須有 100%的保證，即根本不會出現(xiàn)質(zhì)量問題。 由此可見，購買某一品牌的產(chǎn)品之行為 ? 的預(yù)期收益 E[? ] 受到該品牌在市場上的聲譽(yù)的影響。 同類產(chǎn)品具有各種不同品牌，而品牌對于消費(fèi)者的選擇行為有著較大的影響。 3. 風(fēng)險加價的意義 面對風(fēng)險行動 ?，若采取確定性等體 c(? )，則收入為 pc(?)，這是不冒險的收益；如果采取 ?，則預(yù)期收入為 pE[? ]，這是冒險的收益。對于風(fēng)險中立者來講，風(fēng)險加價為零。因此， 風(fēng)險愛好者的確定性等體 c(? ) 是 C[? ] 中價值最大的行動： pc(x) = max{ ps: s?C[x]}。 要選擇 ? 的確定性等體，這不但 涉 及行為的價值 (因而需要假定商品價格體系 p = ( p1, p2,? , p?)既定 )，而且與 C[? ]的形狀有關(guān)。用 C[? ] 表示 與 ? 無差異的確定性行為的全體，稱為的 確定性等價類 ： C[? ] ={x?X : x ~ ? }。注意，這個 c(? ) 是唯一確定的。用一個確定性行動 c?X 來代表風(fēng)險行動 ??X： ? ~ c。又如 “ 事后諸葛 ” 常有人在，許多在不確定條件下做出的選擇，事后看起來并不一定是最優(yōu)的。這樣一來，對于無常選擇行為，可以使用預(yù)期效用理論進(jìn)行研究，即把無常性納入到了預(yù)期效用理論的應(yīng)用范圍之內(nèi) 。),( niAAAA iciici ??????? 公理的意義 ：這條公理是說，只要行為 ? 比行為 ? 好，那么不論行為 ? 有多好，都能找出 “ 很小 ” 的事件 Ai (即把狀態(tài)空間 ?分劃得更細(xì)些 )， 使得行為 ? 影響不了對 ? 與 ? 的評價： (1) 只要僅在事件 Ai 發(fā)生時才采取行為 ?， Ai不發(fā)生時采取比 ? 差的行為 ? ，那么其結(jié)果依然比 ? 差； (2) 只要僅在事件 Ai 發(fā)生時才采取行為 ?， Ai不發(fā)生時采取比 ? 優(yōu)的行為 ? ，那么其結(jié)果依然比 ? 優(yōu)。這條公理是說，對于復(fù)合行為 ?(x, y)與 ?(x, y)的評價在所有這樣的確定性結(jié)果對子 (x, y)之間一致： x, y?X 且 x p y。 有限可加概率測度 P: P ?[0,1]叫做 無原子 是指 P 滿足如下條件 ： 對任何實(shí)數(shù) p?[0,1]及集合 A, B?P, A?B, 存在集合 C?P使得 A ?C ? B 且 P(C ) = pP(A) + (1? p)P(B)。這就是說 ， ? p|A ? 是指在條件 A 發(fā)生的情況下 ， 采取行動 ? 不比采取行動 ? 更好 。 像風(fēng)險行為的復(fù)合一樣，也可以把兩種或多種無常行為通過一個或多個事件復(fù)合起來，形成另一種無常行為。進(jìn)一步，我們假定： X 是 實(shí)數(shù)集合 R 的子集 ， 即 X ? R(這是薩維奇定理的需要 )。 無常環(huán)境區(qū)別于風(fēng)險環(huán)境的地方，在于無常環(huán)境中沒有客觀存在的不確定事件發(fā)生概率，而風(fēng)險環(huán)境中有。這樣，人們的 風(fēng)險行為準(zhǔn)則 必然是 預(yù)期效用最大化 。 ? 定義 (VNM效用函數(shù) ) 函數(shù) U : X?R 叫做風(fēng)險偏好 p 的 VNM效用函數(shù)，是指從 U 出發(fā)給出的函數(shù) EU : D ? R 是 p 的效用函數(shù)，其中 EU 的定義為 ： 對任何 f ?D， 。 當(dāng) p 具有預(yù)期效用表示時， p 的預(yù)期效用函數(shù)在仿射變換下是唯一的：若 u 和 v 都是 p 的預(yù)期效用表示，則存在實(shí)數(shù) a 和 b 使得對一切 f ?D 都有 v( f ) = a + b u( f ) 成立。這樣一來，這兩種復(fù)合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph 究竟哪一個更優(yōu)，便完全取決于 f 與 g 哪一個更優(yōu) , 而與第三種行為 h的優(yōu)劣性無關(guān) (即獨(dú)立于第三種行為 )。 f h g 阿基米德公理 本公理的合理性解釋 ：設(shè) f, g, h?D且 f p h p g。現(xiàn)在的問題是： 風(fēng)險偏好的效用函數(shù)能否用通常的預(yù)期效用函數(shù)來給出 ？ Xp2. 預(yù)期效用性質(zhì) 為了能夠用通常的預(yù)期效用函數(shù)來表示風(fēng)險偏好，我們先來對通常的預(yù)期效用函數(shù)的性質(zhì)作一些研究。如果 EU( f ) 能夠成為偏好關(guān)系 p 的效用函數(shù)，那么問題就得到了圓滿解決。如 放在 彩票抽彩的情形去看， D是彩票集合，本已為凸集。我們來計(jì)算 p? ? (1 p)? 的分布函數(shù)。 ? 復(fù)合行為 p? ? (1 p)? 的實(shí)際意義 ： 2. 風(fēng)險行為的復(fù)合 象復(fù)合彩票一樣，任何兩種風(fēng)險行為 ?,??X也都可以通過一定的概率來復(fù)合在一起，具體辦法如下。這里，也就把幾乎處處相同的風(fēng)險行動視為相同的風(fēng)險行動。 消費(fèi)者最終的選擇結(jié)果雖然必然在 X 中，但因現(xiàn)在身處風(fēng)險環(huán)境 (?,F, P)之中，究竟會具體選擇到 X 中的哪種方案卻不能確定，要取決于影響選擇的那些隨機(jī)因素。不過這種環(huán)境中，任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都是客觀確定的，不會因人而異。 + ?(5101500)178。 2. 風(fēng)險態(tài)度決定職業(yè)選擇 在這種預(yù)期收入相同，但風(fēng)險不同的兩種作面前，一個人究竟選擇哪一種工作，取決于他對待風(fēng)險的態(tài)度。 + ?(5101500)178。 ? 抉擇 ： 該人究竟是選擇在私企 ， 還是選擇在國企工作 ？ 1. 預(yù)期收入與風(fēng)險 風(fēng)險用收入的方差來衡量。 ? 風(fēng)險中立者 ： 在公平賭博面前，認(rèn)為賭與不賭都一樣，即參加公平賭博的預(yù)期效用等于不賭的效用 。 不公平賭博 有兩種：盈性賭博、虧性賭博。 ? 結(jié)論 ： 只有當(dāng) EU u(50) 且 EV v(50) 時 ， 這場賭博才能開展起來 。假定甲認(rèn)為巴西隊(duì)贏的概率為 p，乙認(rèn)為巴西隊(duì)贏的概率為 q。然而現(xiàn)實(shí)中，誰也不會設(shè)計(jì)這樣的彩票去賣。因此，彩票 t 的中獎概率分布為 a p + (1 a) q： a p + (1 a) q = (a p1+ (1 a) q1, a p2 + (1 a) q2,? , a pn + (1 a) qn) p p1 p2 ? pn q q1 q2 ? qn a p + (1 a) q a p1+ (1 a) q1 a p2 + (1 a) q2 ? a pn + (1 a) qn 這樣，復(fù)合彩票 t 可用它的概率分布向量 a p + (1 a)q 來表示 ： t = a p + (1 a)q 假定把所有的彩票進(jìn)行合類后，共有 n 個等級獎勵。 價格 a元、獎勵 A元的彩票 (可假定 A/a為整數(shù) )，其發(fā)行張數(shù) k應(yīng)不少于 A/a +1(要求 ka A，即 k ? A/a +1。 ? 獎品不同的彩票的統(tǒng)一表示 ： 獎勵合類 ， 概率分布向量齊維 。 1. 彩票的表示 假定某種彩票有 n 個獎勵等級： 1, 2,? , n。因此，擇業(yè)也是一種不確定選擇問題。 無常性 (uncertainty)是指人們既不能確定某種經(jīng)濟(jì)行為一定會產(chǎn)生某種結(jié)果，又不能客觀地確定產(chǎn)生某種結(jié)果的可能性大小。然而經(jīng)濟(jì)活動并非總是確定性的，帶有不確定性的消費(fèi)選擇活動可能更為常見，有必要對其進(jìn)行一番研究。 例 1 彩票 (lottery) 發(fā)行彩票是一種常見的低成本籌資手段。 福利彩票：中獎概率為 p，不中獎的概率為 1p。該彩票可用 中獎概率分布 p = ( p1, p2,? , pn) 來表示，購買彩票 p 的 預(yù)期效用 為 EU( p) = p1U1 + p2U2 +? + pnUn。 2. 彩票的設(shè)計(jì) 消費(fèi)者面對一種彩票時，是否購買它取決于購買它可獲得的預(yù)期效用與不購買的預(yù)期效用的比較情況。 可見，設(shè)計(jì)出一種彩票，既不讓發(fā)行者吃虧，又能讓所有消費(fèi)者都滿意的條件是： A/a ? min{Ui /ui : i = 1,2,? , m}(m個消費(fèi)者 )。 4. 彩票集合 X 是凸集，是說 X 中的任何兩種彩票 p和 q的加權(quán)平均 a p+(1a)q 依然是 X 中的彩票：它就是 p和 q 的復(fù)合彩票。如果不接受這個賭博，誰都不會贏 50元，也不會輸 50元。彩票中獎的概率是客觀存在的，叫做 客觀概率 ；而這里的概率是由賭博的雙方各自主觀確定的，叫做 主觀概率 。這個賭博可表示為 : G = (W1, p。尤其是通過觀察人們在公平賭博面前究竟是選擇賭還是不賭，即可得知人們對待風(fēng)險的態(tài)度。 ? 第二種工作 ：在國企做售貨，收入較低，但收入較穩(wěn)定。： ?1178。 ? 兩種工作的預(yù)期月收入 ER1 和 ER2： ER1 = ?2020 + ?1000 = 1500（元） ER2 = ?1510 + ?510 = 1500（元） ?