20xx江蘇高考數(shù)學題庫部分題有答案(存儲版)
【正文】 ，當點 A在圓 O上運動時，C點的軌跡為 E． （ ⅰ ）求軌跡 E的方程； （ ⅱ ）過軌跡 E上一定點 00( , )Px y 作相互垂直的兩條直線 12,ll，并且使它們分別與圓 O、軌跡 E 相交，設 1l 被圓 O截得的弦長為 a ，設 2l 被軌跡 E截得的弦長為 b ，求 ab? 的最大值． （ 2）正方形 ABCD的一邊 AB為 圓 O的一條弦，求線段 OC長度的最值． O D C B A y x 1 1 1? 1? 學大教研中心 數(shù)學題庫（數(shù)學 Ⅰ 試題 ） 續(xù) 第 3 頁 (共 16 頁 ) 解： （ 1）（ ⅰ ）連結 OB， OA，因為 OA=OB=1， AB= 2 ，所以 222 ABOBOA ?? ， 所以 4OBA ???，所以 34OBC ???，在 OBC? 中， 52222 ????? BCOBBCOBOC ， 所以軌跡 E是以 O為圓心， 5 為半徑的圓， 所以軌跡 E的方程為 522 ??yx ； （ ⅱ ）設點 O到直線 12ll， 的距離分別為 12dd， ， 因為 21 ll ? ，所以 2 2 2 2 21 2 0 0 5d d O P x y? ? ? ? ?， 則 2221 5212 ddba ????? ， 則 ? ?)5)(1(2)(64)( 222122212 ddddba ??????? ≤4???????? ?????? 262)(6 22212221 dddd = 22124[12 2( )]dd?? =4(12 10) 8??， 當且僅當 22125,1 5 ,dd? ??? ? ? ??， 即22219,21,2dd? ????? ???時取 “=”， 所以 ba? 的最大值為 22； （ 2）設正方形邊長為 a， OBA???，則 cos 2a?? ， 0,2? ???? ????． 當 A、 B、 C、 D按順時針方向時，如圖所示，在 OBC? 中， 221 2 c o s 2a a O C????? ? ? ?????， 即 2( 2 c o s ) 1 2 2 c o s s i nOC ? ? ?? ? ? ? ?24 c o s 1 2 s in 2??? ? ? 2 c o s 2 2 s i n 2 3 2 2 s i n 2 34? ? ? ???? ? ? ? ? ?????， 由 2,4 4 4? ? ? ?????? ????，此時 (1, 2 1]OC ??； 當 A、 B、 C、 D按逆時針方向時，在 OBC? 中， 221 2 c o s 2a a O C????? ? ? ?????， 即 2( 2 c o s ) 1 2 2 c o s s i nOC ? ? ?? ? ? ? ?24 c o s 1 2 s in 2??? ? ? 2 c o s 2 2 s i n 2 3 2 2 s i n 2 34? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????， 由 2,4 4 4? ? ? ????? ? ? ????，此時 [ 2 1, 5)OC ?? ， 綜上所述，線段 OC長度的最小值為 21? ，最大值為 21? ． x O D B A 1 1 1? 1? ? C y x O D B A 1 1 1? 1? ? C y 學大教研中心 數(shù)學題庫（數(shù)學 Ⅰ 試題 ） 續(xù) 第 4 頁 (共 16 頁 ) 7. 已知函數(shù) ( ) 1 ln ( )f x x a x a R? ? ? ?. （ 1）若曲線 ()y f x? 在 1x? 處的切線的方程為 3 3 0xy? ? ? ，求實數(shù) a 的值； （ 2）求證： 0)( ?xf 恒成立的充要條件是 1a? ； （ 3）若 0a? ，且對任意 ? ?1,0, 21 ?xx ，都有12 1211| ( ) ( ) | 4 | |f x f x xx? ? ?，求實數(shù) a 的取值范圍 . 學大教研中心 數(shù)學題庫（數(shù)學 Ⅰ 試題 ） 續(xù) 第 5 頁 (共 16 頁 ) 另解： 042 ???axx 在 ? ?1,0?x 上恒成立，設 4)( 2 ??? axxxg ，只需 ? ?0,30041)1(04)0(??????
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