【正文】 教師應(yīng)適時(shí)指出這種驗(yàn)證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)了。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：（1）“x增大”如何用符號(hào)表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號(hào)表示。這個(gè)觀念對(duì)他們而言是易于接受的，很形象，他們會(huì)覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號(hào)化呢？如果教師能通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號(hào)化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會(huì)大大提高，主動(dòng)性也會(huì)更強(qiáng)。就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長(zhǎng)，我的個(gè)子越來(lái)越高”，“我認(rèn)識(shí)的字越多，我的知識(shí)就越多”等。關(guān)鍵點(diǎn)1。這就要求我們要以學(xué)生體驗(yàn)、理解、掌握知識(shí)為中心，重視數(shù)學(xué)概念的構(gòu)作，數(shù)學(xué)思維的建立，數(shù)學(xué)意識(shí)的形成，所以，教師應(yīng)設(shè)計(jì)好每節(jié)課的內(nèi)容與容量，本案例延長(zhǎng)了概念的探究過(guò)程，重視學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的意義與價(jià)值。在過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。問(wèn)題5的提出起到前后呼應(yīng)，加深印象、畫龍點(diǎn)睛的作用，既是對(duì)本節(jié)課的反饋，又是引發(fā)對(duì)本節(jié)課的思考。通過(guò)對(duì)問(wèn)題3的討論，大部分學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解，探索到函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成了概念。通過(guò)圖形的直觀感覺，給學(xué)生函數(shù)單調(diào)性的感性認(rèn)識(shí)，為突破難點(diǎn)做好鋪墊。解：略師：易知函數(shù)f(x)=1/x在（∞,0）上也是單調(diào)遞減函數(shù)，請(qǐng)同學(xué)歸納一下要證明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)性的方法和步驟？ 第八組：①設(shè)量；②作差；③判斷；④定論。（有的同學(xué)回答不準(zhǔn)確）生1：我們認(rèn)為在定義中，有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)．（闡述了理由）。[0,24]師： “在哪些時(shí)間段內(nèi)，水壓在逐漸上升?在哪能些時(shí)間段內(nèi)，水壓在下降?”（很快得出正確答案。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性并形成概念。師：在數(shù)學(xué)上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。（小組合作探求）生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，二次函數(shù)y=x2是先下降后上升。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條基本性質(zhì)，從知識(shí)結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。（五）運(yùn)用概念通過(guò)兩例，教師要向?qū)W生說(shuō)明：1．判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：①觀察法：畫出函數(shù)圖象來(lái)觀察；②定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行驗(yàn)證；③分解法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡(jiǎn)單函數(shù)的組合。)上是減函數(shù)。單調(diào)增函數(shù)的定義：?jiǎn)栴}4：如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？ 2可以通過(guò)類比的方法由學(xué)生給出。2．問(wèn)題2：對(duì)“圖象呈逐漸上升趨勢(shì)”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y=x時(shí)，我們知道，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大。【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】（一）問(wèn)題情境1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定及證明。掌握本節(jié)內(nèi)容不僅為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)打下理論基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能：1．通過(guò)生活中的例子幫助學(xué)生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。關(guān)鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?！鞍嗽率顺?，壯觀天下無(wú)”?；貞洺踔袑?duì)函數(shù)單調(diào)性的解釋：圖象呈逐漸上升趨勢(shì)219。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)師生雙邊活動(dòng)及學(xué)生討論，可以讓學(xué)生充分參與用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)單調(diào)性的全過(guò)程，讓他們親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象，從文字到符號(hào)，從粗疏到嚴(yán)密。x11在(0,+165。2．概括出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：取值→作差→變形→定號(hào)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生研究函數(shù)整體性質(zhì)的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內(nèi)容承前啟后，解決有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，這一節(jié)學(xué)好了，學(xué)生獲得的知識(shí)就會(huì)對(duì)后面幾節(jié)的知識(shí)產(chǎn)生正遷移作用。師：這樣回答準(zhǔn)確嗎？生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（∞，+∞）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（∞，0）上是“下降”的，（0，∞）上是“上升”的。五、鞏固概念，適當(dāng)延展練習(xí)2：證明函數(shù)f(x)=x在[0,==)上是增函數(shù)． 〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié)(1)概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等． ：研究函數(shù)y=x=1(x=0)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖． x 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中收獲了以下幾點(diǎn)心得：概念教學(xué)就是對(duì)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的了解，數(shù)學(xué)概念是一系列常識(shí)不斷精細(xì)化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求。教學(xué)難點(diǎn)：將函數(shù)單調(diào)性的圖形語(yǔ)言或直觀語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 語(yǔ)言，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。）師：在某一時(shí)間段內(nèi)水壓在上升，實(shí)際上是水壓Y的值隨時(shí)間X的增大在逐漸增大，于是我說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，3]上，是單調(diào)遞增函數(shù)。師：很好，我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)．增函數(shù)和減函數(shù)都是對(duì)相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關(guān)鍵詞語(yǔ)？生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關(guān)鍵詞語(yǔ)． 生3：“屬于” 也是關(guān)鍵詞。4．課堂小結(jié)（由學(xué)生回答）（略）5．布置作業(yè)（略）三、案例分析（一）本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路 1．知識(shí)目標(biāo)設(shè)計(jì)：（1）在探究中，尋求函數(shù)單調(diào)性規(guī)律并形成概念。從而自然導(dǎo)入主題。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言代替文字語(yǔ)言的表達(dá)能力，提高對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力。由于時(shí)間的關(guān)系，課上討論的并不透徹和完美，但給學(xué)生課后進(jìn)一步的思考、探究留下了空間。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，給學(xué)生充分的思考空間，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、分析的過(guò)程中去理解數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展過(guò)程，進(jìn)行數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。雖然只有一個(gè)例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？在這個(gè)內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語(yǔ)言描述一個(gè)量隨另一個(gè)量變化的趨勢(shì)，如“y隨著x的增大而減少”。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識(shí)不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號(hào)化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號(hào)表示。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來(lái)驗(yàn)證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對(duì)有限幾個(gè)自然數(shù)驗(yàn)證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時(shí)，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明就可以了，這就把驗(yàn)證的范圍由有限擴(kuò)大到了無(wú)限。后一過(guò)程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過(guò)學(xué)生自己的思維活動(dòng)來(lái)完成。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識(shí)：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來(lái)討論函數(shù)的