【正文】 教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎了。這其中有兩個難點：（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數(shù)單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。關鍵點1。這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數(shù)學概念的構作，數(shù)學思維的建立，數(shù)學意識的形成，所以，教師應設計好每節(jié)課的內容與容量，本案例延長了概念的探究過程，重視學生的數(shù)學意識、思維品質的培養(yǎng)，使學生懂得數(shù)學的意義與價值。在過程中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中創(chuàng)新。問題5的提出起到前后呼應，加深印象、畫龍點睛的作用，既是對本節(jié)課的反饋，又是引發(fā)對本節(jié)課的思考。通過對問題3的討論，大部分學生對單調性概念的發(fā)生、發(fā)展有了較深刻的理解，探索到函數(shù)單調性規(guī)律并形成了概念。通過圖形的直觀感覺，給學生函數(shù)單調性的感性認識，為突破難點做好鋪墊。解：略師：易知函數(shù)f(x)=1/x在（∞,0）上也是單調遞減函數(shù)，請同學歸納一下要證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調性的方法和步驟？ 第八組：①設量；②作差；③判斷；④定論。（有的同學回答不準確）生1：我們認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語．（闡述了理由）。[0,24]師： “在哪些時間段內，水壓在逐漸上升?在哪能些時間段內，水壓在下降?”（很快得出正確答案。二、教學重點、難點教學重點：在圖象中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調性并形成概念。師：在數(shù)學上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。（小組合作探求）生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，二次函數(shù)y=x2是先下降后上升。函數(shù)的單調性是函數(shù)的一條基本性質，從知識結構上看，函數(shù)的單調性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內容的基礎。（五）運用概念通過兩例，教師要向學生說明：1．判斷函數(shù)單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數(shù)進行恰當?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數(shù)的組合。)上是減函數(shù)。單調增函數(shù)的定義：問題4：如何定義單調減函數(shù)呢？ 2可以通過類比的方法由學生給出。2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y=x時，我們知道，當x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。【教學過程設計】（一）問題情境1．海寧潮，又名錢江潮，自古稱之為“天下奇觀”。難點：函數(shù)單調性的判定及證明。掌握本節(jié)內容不僅為今后的函數(shù)學習打下理論基礎，還有利于培養(yǎng)學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力?！窘虒W目標】知識與技能：1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數(shù)、減函數(shù)及其幾何意義。關鍵：增函數(shù)與減函數(shù)的概念的理解?！鞍嗽率顺?，壯觀天下無”?；貞洺踔袑瘮?shù)單調性的解釋：圖象呈逐漸上升趨勢219。設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數(shù)學符號語言定義函數(shù)單調性的全過程，讓他們親身體驗數(shù)學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。x11在(0,+165。2．概括出證明函數(shù)單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。在這之前，學生已經學過函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學習過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調性是學生研究函數(shù)整體性質的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內容承前啟后，解決有關的函數(shù)問題，這一節(jié)學好了，學生獲得的知識就會對后面幾節(jié)的知識產生正遷移作用。師：這樣回答準確嗎？生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（∞，+∞）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（∞，0）上是“下降”的，（0，∞）上是“上升”的。五、鞏固概念，適當延展練習2：證明函數(shù)f(x)=x在[0,==)上是增函數(shù)． 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆．六、歸納小結，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結合，等價轉化，類比等． ：研究函數(shù)y=x=1(x=0)的單調性，并結合描點法畫出函數(shù)的草圖． x 在整個教學過程當中收獲了以下幾點心得：概念教學就是對知識發(fā)生過程的了解，數(shù)學概念是一系列常識不斷精細化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求。教學難點：將函數(shù)單調性的圖形語言或直觀語言轉化為數(shù)學 語言，用定義證明函數(shù)的單調性。）師：在某一時間段內水壓在上升，實際上是水壓Y的值隨時間X的增大在逐漸增大，于是我說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，3]上，是單調遞增函數(shù)。師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．還有沒有其他的關鍵詞語？生2：還有定義中的“任意”和“都有”也是關鍵詞語． 生3：“屬于” 也是關鍵詞。4．課堂小結（由學生回答）（略）5．布置作業(yè)（略）三、案例分析（一）本節(jié)課的設計思路 1．知識目標設計：（1）在探究中，尋求函數(shù)單調性規(guī)律并形成概念。從而自然導入主題。同時培養(yǎng)了學生用數(shù)學語言代替文字語言的表達能力，提高對數(shù)學美的鑒賞力。由于時間的關系，課上討論的并不透徹和完美，但給學生課后進一步的思考、探究留下了空間。因此，在數(shù)學教學中，教師要努力創(chuàng)造條件，給學生提供自主探索的機會，給學生充分的思考空間，讓學生在觀察、實驗、歸納、分析的過程中去理解數(shù)學概念的形成和發(fā)展過程，進行數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。雖然只有一個例題，但非常典型，同樣收到很好的效果。學生 學習函數(shù)單調性的認知基礎是什么？在這個內容之前，已經教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。其實，數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。也就是，從給定的區(qū)間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數(shù)a，只要證明就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。學生在初中已經接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。至于在多種函數(shù)性質中，選擇這個時機來討論函數(shù)的