【正文】 實(shí)際上，單位反饋系統(tǒng)與非單位反饋系統(tǒng)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如下所示。即 )()()( txtxte oor ??)(txor )(txo系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 ：當(dāng) t→∞時(shí)的系統(tǒng)誤差，用 表示。 穩(wěn)態(tài)的定義：時(shí)間趨于無窮大（足夠長）時(shí)的固定響應(yīng)稱為控制系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。 221a r c t a n 1dn???? ? ??? ??，例題 例 1 如圖所示系統(tǒng)，要使系統(tǒng)的最大超調(diào)量等于 20%，峰值時(shí)間等于 1秒，試確定增益 K和 Kh的數(shù)值，并確定在此 K和 Kh數(shù)值下，系統(tǒng)的上升時(shí)間 tr和調(diào)整時(shí)間 ts。 幾點(diǎn)結(jié)論： ① 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由固有頻率 ωn和阻尼比 ζ決定。 即當(dāng) t = ts 時(shí)， )()()( ??????ooo xxtx通常由響應(yīng)曲線的一對包絡(luò)線近似計(jì)算 。 令 )s i n (11)(2??????????tetx dton得 0|)( ??pttodttdx，當(dāng) 0)(0 ?dttdx 時(shí)， 0)co s (1)s i n (1 22???????? ????????? ????pdtdpdtn tetepnpn?????? t an)t an ( ????ndpd t?? nt pd ?j d?n???0 s2 s1 ?n?極點(diǎn)位置與阻尼角 21pd nt ??? ??????? ?pd tdpt ???21 ??? ?? nd21 ?????nptddT ??2?峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期的一半。 （ 3）評價(jià)系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo) ① 最大超調(diào)量 Mp 響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。 ① 上升時(shí)間 tr 響應(yīng)曲線從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。 《 控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時(shí)間響應(yīng) 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析 時(shí)域性能指標(biāo)的概念 （ 1）動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 在輸入信號(hào)的作用下，控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)由動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 經(jīng)驗(yàn)指出，如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級時(shí)，則這一對零點(diǎn)和極點(diǎn)就構(gòu)成了偶極子。 ③在工程上，一般將高階系統(tǒng)中距離虛軸最近、其實(shí)部的絕對值為其它極點(diǎn)絕對值的 1/5或更小的閉環(huán)極點(diǎn)作為主導(dǎo)極點(diǎn)。 低階系統(tǒng) G1的單位階躍響應(yīng)（用紅色表示）： 將高階系統(tǒng) G （用藍(lán)色表示）和低階系統(tǒng) G1 （用紅色表示）的單位階躍響應(yīng)畫在同一張圖上進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)二者非常近似： 主導(dǎo)極點(diǎn) 當(dāng)部分極點(diǎn)與虛軸的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他極點(diǎn)與虛軸的距離時(shí) ， 稱該部分極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn) 。 denominator=[1 15 84 223 309 240 100]。 類似于低階系統(tǒng) ， 高階系統(tǒng)的極點(diǎn)的位置決定系統(tǒng)響應(yīng)的基本形態(tài)： ● 極點(diǎn)位于除原點(diǎn)外的虛軸上 ? 等幅振蕩 ● 極點(diǎn)位于右半復(fù)平面 ? 發(fā)散 ● 極點(diǎn)位于左半復(fù)平面 ? 收斂 ● 在收斂的情況下 ， 收斂速度取決于極點(diǎn)與虛軸的距離：極點(diǎn)與虛軸的距離越大 ， 收斂速度越快 。 欠阻尼,1?? ?o2( ) s i n1n tno dx t e t??? ?????臨界阻尼，1?? 2() nn to tx t e ?? ??過阻尼，1?? 22))( 1 ( 12()21() nnttnox t e e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????例 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 阻尼系數(shù) 時(shí) 間 響 應(yīng) 函 數(shù)（ t ≥0） 無阻尼,0??欠阻尼,1?? ?o臨界阻尼，1??過阻尼，1??01( ) s i nnnx t t t????22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?22() nnnntto tx t t e e??????????2222)222)2(1(12 2 1 12212 2 1 1 21() nnn nntotx t t ee? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????欠阻尼,1?? ?o 22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ??? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計(jì)算： 輸入為斜坡函數(shù)時(shí) , 二階欠阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 ?0ξ1時(shí) ， 有振蕩 ， ξ愈小 ， 振蕩愈嚴(yán)重 ， 但響應(yīng)愈快 。 （ 4） ξ = 0（零阻尼 /無阻尼）一對共軛純虛根 n?1p2p n??21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 特征根位于 s平面的右半部。 ? ?sX o? ?sX i? ?sB Ts1解： 《 控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時(shí)間響應(yīng) 二階系統(tǒng)的 時(shí)間響應(yīng) 凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為 二階系統(tǒng) 。 一階系統(tǒng)的 單位加速度響應(yīng) 單位加速度輸入 為 單位加速度響應(yīng) 為 輸出為 ? ? 221 ttx i ? ? ?31ssX i ?? ? ? ? ? ?TsTsTsTssTssXsGsX io11111 22233?????????? ? ? ?? ? ? ?0e21 12221 ?????? ?? tTTTttsXLtx tToo誤差計(jì)算： 這就是說 ， 一階慣性環(huán)節(jié)在單位加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大 ， 表示一階慣性環(huán)節(jié)不能實(shí)現(xiàn)對單位加速度信號(hào)的跟蹤 。 0 () 1()( ) 1iXsGsX s T s?? ?閉環(huán)極點(diǎn) (特征根 )： 1/T 一階系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型 1( ) 1 ( ) ( )iix t t X s s??11Ts?()ixt ()oxt單位階躍輸入為 輸出為 011( ) ( ) ( )11 1 1 11iX s G s X sT s sTs T s ssT? ? ??? ? ? ???單位階躍響應(yīng)為 )0(1)( 10 ???? tetx tT 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 根據(jù)上式，當(dāng) t取 T的不同倍數(shù)時(shí)，可得出下表 。 ?系統(tǒng)的輸入量是突變的 ， 采用階躍信號(hào) 。 當(dāng) a=1的斜坡函數(shù) ， 稱為 單位斜坡函數(shù) 。 分析瞬態(tài)響應(yīng)，選擇典型輸入信號(hào)，有如下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）數(shù)學(xué)處理簡單，在給定典型信號(hào)作用下，易確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)，便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)?！?控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 本章主要內(nèi)容： （ 1）研究控制系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下，輸出信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律，即研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 （ 2）在典型信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，往往可以作為分析系統(tǒng)在復(fù)雜信號(hào)作用下的基礎(chǔ)和依據(jù)。 t)(tr0a1（ 3）加速度函數(shù) (Parabolic function) 2300() 02()trta t taRss??? ???? 表示在 t=0時(shí)刻開始 ， 以恒定加速度隨時(shí)間變化的函數(shù) ， 也稱為 拋物線函數(shù) 。 如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng) 。 t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0 … 1 表 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng) ??txo)0(1)(10 ???? tetx tT1/T xo(t)=1et/T x0(t) 0 1 t T 2T 3T 4T 63.2% 86.5% 95.0% 98.2% （ 1） 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 ， 無振蕩 。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 502468101214時(shí)間 t時(shí)間響應(yīng) xo(t)?一階慣性環(huán)節(jié)的單位加速度響應(yīng)?單位加速度輸入信號(hào)T T T T T T T T T T? T2? ? ? ? ? ? ???????? ??????????? ??????? ?? tTtToi TTtTTTttttxtxte1212222 e1e2121? ? ???? tetlim輸 入 輸 出 1111( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 11( ) ( ) ( )tTittTitTix t t x t t T T ex t t x t ex t t x t eT?????? ? ? ?? ? ???三種響應(yīng)關(guān)系 三種輸入關(guān)系 11()1 ( ) [ ] ( )()( ) [ 1 ( ) ] ( )tdx tdt t x tdt dtdx tdt t x tdt dt??????一階系統(tǒng)三種典型輸入信號(hào)及響應(yīng)關(guān)系： 積分時(shí)間常數(shù)由零初始條件確定。 二階系統(tǒng)包含兩個(gè)貯能元件 ， 能量在兩個(gè)元件之間相互轉(zhuǎn)換 ， 引起系統(tǒng)具有往復(fù)振蕩的趨勢 。 （ 5） ξ 0（負(fù)阻尼）兩根實(shí)部為正 21n???n???1p2p1p 2p例 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?（ 1） 0ξ1（欠阻尼）一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根 2222 2 2 2 2 21( ) ( ) ( )21 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )noinnnnn n n nX s s X ss s sss ss?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ?)s i n1( c os1)(20ttetx ddtn ?????????? ?將二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分為下列五種情況分別計(jì)算： 欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼、零阻尼、負(fù)阻尼 22 1s i n 1 c o s a r c t a n ?? ? ? ? ???? ? ? ?令 0 2( ) 1 s in ( )1n tdex t t??????? ? ??21 ??? ?? nd — 阻尼自振角頻率 特點(diǎn)： （ 1） 無穩(wěn)態(tài)誤差； （ 2） 呈現(xiàn)出以 ωd為角頻率的衰減振蕩 ，衰減的快慢由 ξ和 ωn決定； （ 3） 振幅隨 ξ減小而加大 。 ?ξ≥1時(shí) ， 無振蕩 、 無超調(diào) ，過渡過程長 。 臨界阻尼，1?? 22() nnnntto tx t t e e??????????2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ?? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計(jì)算： 輸入為斜坡函數(shù)時(shí) , 二階臨界阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 ● 在收斂的情況下 ， 收斂的平穩(wěn)性 （ 波動(dòng)性 ） 基本取決于極點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的夾角 （ 阻尼 ） ， 零點(diǎn)也有影響 。 zpk(tf(numerator,denominator)) 計(jì)算結(jié)果顯示： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?125 101002403092238415 10020 222 223456 2 ???? ???????? ??? ssss sssssss sssGZero/pol