【正文】 tj j ljx t e e tet????? ? ? ? ?? ? ??????? ? ? ?????? 可見 ， 一般高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應是由若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)疊加組成的 。 臨界阻尼，1?? 22() nnnntto tx t t e e??????????2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ?? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 二階臨界阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 ζ≈ 時調(diào)節(jié)時間最短，稱為 最佳阻尼比 。 ?ξ≥1時 ， 無振蕩 、 無超調(diào) ，過渡過程長 。 ωn— 無阻尼固有頻率 21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 （ 5） ξ0（負阻尼）兩根實部為正 0 2 0( ) 1 ( c o s s i n ) 1n tddx t e t t?? ?????? ?? ? ??（ 1 ）22( 1 )22( 1 )2211( ) 12 ( 1 1 )1 2 ( 1 1 ) nntotx t ee? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?（ ）正 正 正 1ξ 0， 振蕩發(fā)散 ξ 1， 單調(diào)發(fā)散 上述五種情況分別稱為二階 零阻尼 、 欠阻尼 、臨界阻尼 、 過阻尼系統(tǒng)和負阻尼 。 （ 5） ξ 0（負阻尼）兩根實部為正 21n???n???1p2p1p 2p例 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?（ 1） 0ξ1（欠阻尼）一對實部為負的共軛復根 2222 2 2 2 2 21( ) ( ) ( )21 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )noinnnnn n n nX s s X ss s sss ss?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ?)s i n1( c os1)(20ttetx ddtn ?????????? ?將二階系統(tǒng)的單位階躍響應分為下列五種情況分別計算： 欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼、零阻尼、負阻尼 22 1s i n 1 c o s a r c t a n ?? ? ? ? ???? ? ? ?令 0 2( ) 1 s in ( )1n tdex t t??????? ? ??21 ??? ?? nd — 阻尼自振角頻率 特點： （ 1） 無穩(wěn)態(tài)誤差； （ 2） 呈現(xiàn)出以 ωd為角頻率的衰減振蕩 ，衰減的快慢由 ξ和 ωn決定； （ 3） 振幅隨 ξ減小而加大 。 （ 1） 0 ξ 1（欠阻尼）一對實部為負的共軛復根 21 ?? ?nn??1p2p1, 2 np ???特征根相等 ， 且位于 s平面的負實軸上 。 二階系統(tǒng)包含兩個貯能元件 ， 能量在兩個元件之間相互轉(zhuǎn)換 ， 引起系統(tǒng)具有往復振蕩的趨勢 。 圖 溫度測量裝置的結(jié)構圖 例 已知溫度測量裝置的結(jié)構圖如圖 ， 其中 T為 時間常數(shù)。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 502468101214時間 t時間響應 xo(t)?一階慣性環(huán)節(jié)的單位加速度響應?單位加速度輸入信號T T T T T T T T T T? T2? ? ? ? ? ? ???????? ??????????? ??????? ?? tTtToi TTtTTTttttxtxte1212222 e1e2121? ? ???? tetlim輸 入 輸 出 1111( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 11( ) ( ) ( )tTittTitTix t t x t t T T ex t t x t ex t t x t eT?????? ? ? ?? ? ???三種響應關系 三種輸入關系 11()1 ( ) [ ] ( )()( ) [ 1 ( ) ] ( )tdx tdt t x tdt dtdx tdt t x tdt dt??????一階系統(tǒng)三種典型輸入信號及響應關系： 積分時間常數(shù)由零初始條件確定。 （ 4）在 t＝ 0處，響應曲線的切線斜率為 1/T。 t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0 … 1 表 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應 ??txo)0(1)(10 ???? tetx tT1/T xo(t)=1et/T x0(t) 0 1 t T 2T 3T 4T 63.2% 86.5% 95.0% 98.2% （ 1） 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 ， 無振蕩 。 ?系統(tǒng)的輸入隨時間往復變化時 ， 采用正弦信號 。 如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng) 。由于 δ(t)函數(shù)的拉氏變換等于 1，因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為脈沖響應函數(shù)的象函數(shù)。 t)(tr0a1（ 3）加速度函數(shù) (Parabolic function) 2300() 02()trta t taRss??? ???? 表示在 t=0時刻開始 ， 以恒定加速度隨時間變化的函數(shù) ， 也稱為 拋物線函數(shù) 。 幅值 a=1的階躍函數(shù) ， 稱為 單位階躍函數(shù) ， 用1(t)來表示 。 （ 2）在典型信號作用下的瞬態(tài)響應，往往可以作為分析系統(tǒng)在復雜信號作用下的基礎和依據(jù)。 瞬態(tài)響應： 系統(tǒng)在某一典型信號輸入作用下 ， 其系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的變化過程 。《 控制工程基礎 》 第 5章 控制系統(tǒng)的時間響應 本章主要內(nèi)容： （ 1）研究控制系統(tǒng)在輸入信號的作用下，輸出信號隨時間變化的規(guī)律，即研究系統(tǒng)的時間響應。 控制系統(tǒng)的輸出響應是由 瞬態(tài)響應 和 穩(wěn)態(tài)響應 兩部分組成 。 分析瞬態(tài)響應，選擇典型輸入信號，有如下優(yōu)點： （ 1）數(shù)學處理簡單，在給定典型信號作用下，易確定系統(tǒng)的性能指標，便于系統(tǒng)分析和設計。 典型輸入信號的選擇： （ 1）階躍函數(shù) (Step function) 00()0()trtataRss??? ????at)(tr0 這意味著 t=0時突然加到系統(tǒng)上的一個幅值不變的外作用 。 當 a=1的斜坡函數(shù) ， 稱為 單位斜坡函數(shù) 。 當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，其輸出響應稱為脈沖響應函數(shù)。 ?系統(tǒng)的輸入量是突變的 ， 采用階躍信號 。 ?系統(tǒng)為沖擊輸入量 ， 則采用脈沖信號 。 0 () 1()( ) 1iXsGsX s T s?? ?閉環(huán)極點 (特征根 )： 1/T 一階系統(tǒng) 的數(shù)學模型 1( ) 1 ( ) ( )iix t t X s s??11Ts?()ixt ()oxt單位階躍輸入為 輸出為 011( ) ( ) ( )11 1 1 11iX s G s X sT s sTs T s ssT? ? ??? ? ? ???單位階躍響應為 )0(1)( 10 ???? tetx tT 一階系統(tǒng)的單位階躍響應 根據(jù)上式，當 t取 T的不同倍數(shù)時，可得出下表 。 （ 3） 經(jīng)過時間 3T～ 4T， 響應曲線達穩(wěn)定值的 95％ ～98％ ， 可以認為其調(diào)整過程已經(jīng)完成 ， 故一般取調(diào)整時間 (3～ 4)T。 一階系統(tǒng)的 單位加速度響應 單位加速度輸入 為 單位加速度響應 為 輸出為 ? ? 221 ttx i ? ? ?31ssX i ?? ? ? ? ? ?TsTsTsTssTssXsGsX io11111 22233?????????? ? ? ?? ? ? ?0e21 12221 ?????? ?? tTTTttsXLtx tToo誤差計算： 這就是說 ， 一階慣性環(huán)節(jié)在單位加速度信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大 ， 表示一階慣性環(huán)節(jié)不能實現(xiàn)對單位加速度信號的跟蹤 。 注意： 該性質(zhì)只適用于線性定常系統(tǒng) ， 不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 。 ? ?sX o? ?sX i? ?sB Ts1解： 《 控制工程基礎 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時間響應 二階系統(tǒng)的 時間響應 凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為 二階系統(tǒng) 。 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?特征根位于 s平面的左半部。 （ 4） ξ = 0（零阻尼 /無阻尼）一對共軛純虛根 n?1p2p n??21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 特征根位于 s平面的右半部。 1 , 2 npj ???（ 4） ξ=0（零阻尼）一對共軛純虛根 2 22 2 2 2()()( ) 2oni n nXssX s s s s? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?20 2 2 2 211( ) ( ) ( ) ninnsX s s X ss s s s???? ? ? ? ? ???0 ( ) 1 c o s nx t t???0 ( ) 1 c o s nx t t???特點：零阻尼的等幅振蕩， 振蕩頻率為 ωn。 ?0ξ1時 ， 有振蕩 ， ξ愈小 ， 振蕩愈嚴重 ， 但響應愈快 。以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。 欠阻尼,1?? ?o2( ) s i n1n tno dx t e t??? ?????臨界阻尼，1?? 2() nn to tx t e ?? ??過阻尼，1?? 22))( 1 ( 12()21() nnttnox t e e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????例 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應 阻尼系數(shù) 時 間 響 應 函 數(shù)（ t ≥0） 無阻尼,0??欠阻尼,1?? ?o臨界阻尼，1??過阻尼，1??01( ) s i nnnx t t t????22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?22() nnnntto tx t t e e??????????2222)222)2(1(12 2 1 12212 2 1 1 21() nnn nntotx t t ee? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????欠阻尼,1?? ?o 22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ??? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 二階欠阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 其瞬態(tài)