【正文】 tj j ljx t e e tet????? ? ? ? ?? ? ??????? ? ? ?????? 可見(jiàn) ， 一般高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)是由若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成的 。 臨界阻尼，1?? 22() nnnntto tx t t e e??????????2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ?? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計(jì)算： 輸入為斜坡函數(shù)時(shí) , 二階臨界阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 ζ≈ 時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間最短，稱為 最佳阻尼比 。 ?ξ≥1時(shí) ， 無(wú)振蕩 、 無(wú)超調(diào) ，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng) 。 ωn— 無(wú)阻尼固有頻率 21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 （ 5） ξ0（負(fù)阻尼）兩根實(shí)部為正 0 2 0( ) 1 ( c o s s i n ) 1n tddx t e t t?? ?????? ?? ? ??（ 1 ）22( 1 )22( 1 )2211( ) 12 ( 1 1 )1 2 ( 1 1 ) nntotx t ee? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?（ ）正 正 正 1ξ 0， 振蕩發(fā)散 ξ 1， 單調(diào)發(fā)散 上述五種情況分別稱為二階 零阻尼 、 欠阻尼 、臨界阻尼 、 過(guò)阻尼系統(tǒng)和負(fù)阻尼 。 （ 5） ξ 0（負(fù)阻尼）兩根實(shí)部為正 21n???n???1p2p1p 2p例 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?（ 1） 0ξ1（欠阻尼）一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根 2222 2 2 2 2 21( ) ( ) ( )21 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )noinnnnn n n nX s s X ss s sss ss?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ?)s i n1( c os1)(20ttetx ddtn ?????????? ?將二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分為下列五種情況分別計(jì)算： 欠阻尼、臨界阻尼、過(guò)阻尼、零阻尼、負(fù)阻尼 22 1s i n 1 c o s a r c t a n ?? ? ? ? ???? ? ? ?令 0 2( ) 1 s in ( )1n tdex t t??????? ? ??21 ??? ?? nd — 阻尼自振角頻率 特點(diǎn)： （ 1） 無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差； （ 2） 呈現(xiàn)出以 ωd為角頻率的衰減振蕩 ，衰減的快慢由 ξ和 ωn決定； （ 3） 振幅隨 ξ減小而加大 。 （ 1） 0 ξ 1（欠阻尼）一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根 21 ?? ?nn??1p2p1, 2 np ???特征根相等 ， 且位于 s平面的負(fù)實(shí)軸上 。 二階系統(tǒng)包含兩個(gè)貯能元件 ， 能量在兩個(gè)元件之間相互轉(zhuǎn)換 ， 引起系統(tǒng)具有往復(fù)振蕩的趨勢(shì) 。 圖 溫度測(cè)量裝置的結(jié)構(gòu)圖 例 已知溫度測(cè)量裝置的結(jié)構(gòu)圖如圖 ， 其中 T為 時(shí)間常數(shù)。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 502468101214時(shí)間 t時(shí)間響應(yīng) xo(t)?一階慣性環(huán)節(jié)的單位加速度響應(yīng)?單位加速度輸入信號(hào)T T T T T T T T T T? T2? ? ? ? ? ? ???????? ??????????? ??????? ?? tTtToi TTtTTTttttxtxte1212222 e1e2121? ? ???? tetlim輸 入 輸 出 1111( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 11( ) ( ) ( )tTittTitTix t t x t t T T ex t t x t ex t t x t eT?????? ? ? ?? ? ???三種響應(yīng)關(guān)系 三種輸入關(guān)系 11()1 ( ) [ ] ( )()( ) [ 1 ( ) ] ( )tdx tdt t x tdt dtdx tdt t x tdt dt??????一階系統(tǒng)三種典型輸入信號(hào)及響應(yīng)關(guān)系： 積分時(shí)間常數(shù)由零初始條件確定。 （ 4）在 t＝ 0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為 1/T。 t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞ 0 … 1 表 一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng) ??txo)0(1)(10 ???? tetx tT1/T xo(t)=1et/T x0(t) 0 1 t T 2T 3T 4T 63.2% 86.5% 95.0% 98.2% （ 1） 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 ， 無(wú)振蕩 。 ?系統(tǒng)的輸入隨時(shí)間往復(fù)變化時(shí) ， 采用正弦信號(hào) 。 如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng) 。由于 δ(t)函數(shù)的拉氏變換等于 1，因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的象函數(shù)。 t)(tr0a1（ 3）加速度函數(shù) (Parabolic function) 2300() 02()trta t taRss??? ???? 表示在 t=0時(shí)刻開(kāi)始 ， 以恒定加速度隨時(shí)間變化的函數(shù) ， 也稱為 拋物線函數(shù) 。 幅值 a=1的階躍函數(shù) ， 稱為 單位階躍函數(shù) ， 用1(t)來(lái)表示 。 （ 2）在典型信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，往往可以作為分析系統(tǒng)在復(fù)雜信號(hào)作用下的基礎(chǔ)和依據(jù)。 瞬態(tài)響應(yīng)： 系統(tǒng)在某一典型信號(hào)輸入作用下 ， 其系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的變化過(guò)程 ?！?控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 本章主要內(nèi)容： （ 1）研究控制系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下，輸出信號(hào)隨時(shí)間變化的規(guī)律，即研究系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是由 瞬態(tài)響應(yīng) 和 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 兩部分組成 。 分析瞬態(tài)響應(yīng)，選擇典型輸入信號(hào)，有如下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，在給定典型信號(hào)作用下，易確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)，便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)。 典型輸入信號(hào)的選擇： （ 1）階躍函數(shù) (Step function) 00()0()trtataRss??? ????at)(tr0 這意味著 t=0時(shí)突然加到系統(tǒng)上的一個(gè)幅值不變的外作用 。 當(dāng) a=1的斜坡函數(shù) ， 稱為 單位斜坡函數(shù) 。 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時(shí)，其輸出響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 ?系統(tǒng)的輸入量是突變的 ， 采用階躍信號(hào) 。 ?系統(tǒng)為沖擊輸入量 ， 則采用脈沖信號(hào) 。 0 () 1()( ) 1iXsGsX s T s?? ?閉環(huán)極點(diǎn) (特征根 )： 1/T 一階系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型 1( ) 1 ( ) ( )iix t t X s s??11Ts?()ixt ()oxt單位階躍輸入為 輸出為 011( ) ( ) ( )11 1 1 11iX s G s X sT s sTs T s ssT? ? ??? ? ? ???單位階躍響應(yīng)為 )0(1)( 10 ???? tetx tT 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 根據(jù)上式，當(dāng) t取 T的不同倍數(shù)時(shí)，可得出下表 。 （ 3） 經(jīng)過(guò)時(shí)間 3T～ 4T， 響應(yīng)曲線達(dá)穩(wěn)定值的 95％ ～98％ ， 可以認(rèn)為其調(diào)整過(guò)程已經(jīng)完成 ， 故一般取調(diào)整時(shí)間 (3～ 4)T。 一階系統(tǒng)的 單位加速度響應(yīng) 單位加速度輸入 為 單位加速度響應(yīng) 為 輸出為 ? ? 221 ttx i ? ? ?31ssX i ?? ? ? ? ? ?TsTsTsTssTssXsGsX io11111 22233?????????? ? ? ?? ? ? ?0e21 12221 ?????? ?? tTTTttsXLtx tToo誤差計(jì)算： 這就是說(shuō) ， 一階慣性環(huán)節(jié)在單位加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮大 ， 表示一階慣性環(huán)節(jié)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)單位加速度信號(hào)的跟蹤 。 注意： 該性質(zhì)只適用于線性定常系統(tǒng) ， 不適用于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 。 ? ?sX o? ?sX i? ?sB Ts1解： 《 控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時(shí)間響應(yīng) 二階系統(tǒng)的 時(shí)間響應(yīng) 凡是能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為 二階系統(tǒng) 。 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?特征根位于 s平面的左半部。 （ 4） ξ = 0（零阻尼 /無(wú)阻尼）一對(duì)共軛純虛根 n?1p2p n??21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 特征根位于 s平面的右半部。 1 , 2 npj ???（ 4） ξ=0（零阻尼）一對(duì)共軛純虛根 2 22 2 2 2()()( ) 2oni n nXssX s s s s? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?20 2 2 2 211( ) ( ) ( ) ninnsX s s X ss s s s???? ? ? ? ? ???0 ( ) 1 c o s nx t t???0 ( ) 1 c o s nx t t???特點(diǎn)：零阻尼的等幅振蕩， 振蕩頻率為 ωn。 ?0ξ1時(shí) ， 有振蕩 ， ξ愈小 ， 振蕩愈嚴(yán)重 ， 但響應(yīng)愈快 。以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過(guò)大的振蕩。 欠阻尼,1?? ?o2( ) s i n1n tno dx t e t??? ?????臨界阻尼，1?? 2() nn to tx t e ?? ??過(guò)阻尼，1?? 22))( 1 ( 12()21() nnttnox t e e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????例 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 阻尼系數(shù) 時(shí) 間 響 應(yīng) 函 數(shù)（ t ≥0） 無(wú)阻尼,0??欠阻尼,1?? ?o臨界阻尼，1??過(guò)阻尼，1??01( ) s i nnnx t t t????22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?22() nnnntto tx t t e e??????????2222)222)2(1(12 2 1 12212 2 1 1 21() nnn nntotx t t ee? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????欠阻尼,1?? ?o 22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ??? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計(jì)算： 輸入為斜坡函數(shù)時(shí) , 二階欠阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 其瞬態(tài)