高三數(shù)學(xué)數(shù)列求和-免費(fèi)閱讀
【正文】 (2)由 (1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù) n 的一個(gè)結(jié)論 , 并加以證明 。1 =1+(1+2)+(1+2+3)+… +(1+2+3+… +n) 而 an=1+2+3+… +n= n(n+1). 1 2 (5)Sn=3n1+3n2 法 1 Sn=1n. 三、裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的每一項(xiàng)拆 (裂開 )成兩項(xiàng)之差 , 使得正負(fù)項(xiàng)能相互抵消 , 剩下首尾若干項(xiàng) . n 2 Sn= , n 為偶數(shù)時(shí) , , n 為奇數(shù)時(shí) . n+1 2 n(n+1)(n+2) 3 n+1 n 例 求和 Sn= + +… + . 1 2 1 2 3 1 n(n+1) 1 四、錯(cuò)位求和 將數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換 , 然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減 . 例 等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo) . 五、倒序求和 將數(shù)列的倒數(shù)第 k 項(xiàng) (k=1, 2, 3, … )變?yōu)檎龜?shù)第 k 項(xiàng) , 然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進(jìn)行變換 (相加、相減等 ). 例 等差數(shù)列求和 公式的推導(dǎo) . 典型例題 (1)已知 an= , 求 Sn。(n1)+3n+2 綜上所述 , Sn= n(n+1), x=1 時(shí) , 2x(1xn) (1x)2 2nxn+1 1x , x?1 時(shí) . : Sn=1+(1+ )+(1+ + )+… +(1+ + +… + ). 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 2n1 1 2 1 4 1 2n1 解 : ∵ an=1+ + +… + = =2 . 1 1 2 1 ? 1 2 1 2n1 1 2n1 ∴ Sn=2n(1+ + +… + ) 1 2 1 4 1 2n1 =2n2+ . 1 2n1 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 解 : ∵ 通項(xiàng) ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k, ∴ Sn=2(13+23+… +n3)+3(12+22+… +n2)+(1+2+… +n) n2(n+1)2 = + + 2 n(n+1) 2 n(n+1)(2n+1) 2 = . n(n+1)2(n+2) 2 {an} 中 , an= + +… + , 又 bn= , 求數(shù)列 {bn} 的前 n 項(xiàng)的和 . n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+1 2 解 : ∵ an= (1+2+… +n)= , n+1 1 2 n ∴ bn= =8( ). 2 n 2 n+1 2 ? n+1 1 n 1 ∴ Sn=8[(1 )+(
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