132-函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-免費(fèi)閱讀
【正文】 選修 2－ 2 3 ． 若函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ 2 bx ＋ 3 a 在區(qū)間 ( 0, 1) 內(nèi)有極小值 ， 則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 ( ) A ． b 1 B ． b 1 C ． 0 b 1 D ． b 12 解析： f ′ ( x ) ＝ 2 x － 2 b ＝ 2( x － b ) ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 解得 x ＝ b ， 由于函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 (0, 1)內(nèi)有極小值 ， 則有 0 b 1. 當(dāng) 0 x b 時(shí) ， f ′ ( x ) 0 ； 當(dāng) b x 1 時(shí) ， f ′ ( x ) 0 ， 符合題意．所以實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 0 b 1. 答案： C 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 解得 b ＝ 1 ， c ＝－ 5. 經(jīng)驗(yàn)證 ， b ＝ 1 ， c ＝－ 5 符合題意． (2) 由 (1) 知 f ( x ) ＝ x3＋ x2－ 5 x ＋ 2 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 x － 5. 由 f ′ ( x ) ＝ 0 得 x1＝－53， x2＝ 1. 當(dāng) x 變化時(shí) ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－53) －53 ( －53， 1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 2 ． 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x3－ 3( a ＋ 1) x2＋ 6 ax ＋ 8 其中 a ∈ R ， (1) 若 f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 求常數(shù) a 的值． (2) 若 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上為增函數(shù) ， 求 a 的取值范圍． 解析： (1) 由題意 f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a . 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 所以 f ′ (3) ＝ 0 ， 解得 a ＝ 3. 經(jīng)檢驗(yàn)知 a ＝ 3 時(shí) ， x ＝ 3 為 f ( x ) 的極值點(diǎn)． (2) f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a ＝ 6( x － a )( x － 1) ． 當(dāng) a 1 時(shí) ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) ， ( a ，＋ ∞ ) 上遞增 ， 符合條件． 當(dāng) a ＝ 1 時(shí) ， f ( x ) ＝ 6( x － 1)2≥ 0 恒成立 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上遞增． 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 從表中可以看出 ， 當(dāng) x ＝－ 2 時(shí) ， 函數(shù)有極大值 ， 且 f ( － 2) ＝ ( － 2)3－ 12 ( － 2) ＝ 16. 當(dāng) x ＝ 2 時(shí) ， 函數(shù)有極小值 ， 且 f (2) ＝ 23－ 12 2 ＝－ 16 (2) f ′ ( x ) ＝ cos x (1 ＋ cos x ) ＋ sin x ( － si n x ) ＝ cos x ＋ cos2x － sin2x ＝ cos x ＋ cos2x － (1 － cos2x ) ＝ 2 cos2x ＋ cos x － 1 ＝ (2cos x － 1)(cos x ＋ 1) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 cos x ＝12或 cos x ＝－ 1. 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 二 、 極大值 如果函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) x ＝ b 的函數(shù)值 f ( b ) 比它在點(diǎn) x ＝ b 附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大 ，f ′ ( b ) ＝ 0 ； 而且在點(diǎn) x ＝ b 附近的左側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 右側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 則把點(diǎn) b 叫作函數(shù) y ＝ f ( x ) 的極大值點(diǎn) ， f ( b ) 叫作函數(shù) y ＝ f ( x ) 的極大值．極大值和極小值統(tǒng)稱為_(kāi)____ ． 三 、 求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的極值的方法 解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 當(dāng) f ′ ( x0) ＝ 0 時(shí)： 1 ． 如果在 x0附近的左側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 右側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 那么 f ( x0) 是極大值； 2 ． 如果在 x0附近的左側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 右側(cè) f ′ ( x ) 0 ， 那么 f ( x0) 是極小值． 極值 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 考 綱 定 位 重 難 突 破 1. 了解函數(shù)極值的概念 ， 會(huì)從幾何直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ， 并會(huì)靈活應(yīng)用 . 2. 掌握函數(shù)極值的判定及求法 . 3. 掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件 . 重點(diǎn)： 函數(shù)極值的判定與求法 . 難點(diǎn)： 1. 極大值 ， 極小值的概念 .
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