拋物線標準方程及性質(zhì)-免費閱讀
【正文】 2.∴|AB|＝4，∴S△OAB＝斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于點A、B，求線段A、B的長．分析：這是靈活運用拋物線定義的題目．基本思路是：把求弦長AB轉(zhuǎn)化為求A、B兩點到準線距離的和．解：如圖8－3－1，y2=4x的焦點為F (1，0)，則l的方程為y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6．又A、B兩點到準線的距離為，則如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、△APB的重心G的軌跡方程為 .解析：設(shè)切點A、B坐標分別為，∵y/=2x，∴兩切線斜率分別為：2x0和2x1,于是：切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以△APB的重心G的坐標為 ，∴，結(jié)合=代入點P所在在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：注：上述求軌跡的方法稱為“參數(shù)法”，一般先設(shè)法將動點坐標用“參數(shù)”表示，再消參數(shù)。求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切。（4）離心率：拋物線上的點與焦點的距離和它的準線的距離的比叫做拋物線的離心率，其值為1.（5）在拋物線y2＝2px（p＞0）中，通過焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，連結(jié)這兩點的線段叫做拋物線的通徑，它的長為2p.（6）平行于拋物線軸的直線與拋物線只有一個交點. 但它不是雙曲線的切線.（7）焦點弦長公式：過焦點弦長四、例題講解(1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0解：（1）因為2p=6，p=3，所以焦點坐標是（，0） 準線方程是x=（2）因為2p=，p=，所以焦點坐標是（0，）， 準線方程是Y=（3）拋物線方程是2x2+5y=0, 即x2=y, 2p=，則焦點坐標是F（0，）, 準線方程是y=： (1)焦點坐標是F（0，2） (2)焦點在直線3x4y12=0上 (3) 拋物線過點A（3，2）。解：(1)因為焦點在y軸的負半軸上，并且p/2=2，p=4， 所以拋物線的方程是x2=8y(2)由題意，焦點應(yīng)是直線3x4y12=0與x軸或y軸的交點， 即A（4，0）或 B（0，3）當(dāng)焦點為A點時，拋物線的方程是y2=16x當(dāng)焦點為B點時，拋物線的方程是x2=12y(3) 當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上時，把A（3，2）代入x2 =2py，當(dāng)焦點在x軸的負半軸上時 得 p= 把A（3，2）代入y2 = 2px，得 p=∴拋物線的標準方程為x2 =y或y2 = x例3. 設(shè)P是拋物線上的一個動點。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準線為，過A、B兩點分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線，分別交準線于P、Q兩點，又
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