【正文】 (3)如果 AD∶ DB=1∶ n,求 CE與 CF的比 . ? ? ? 圖 1 圖 2 (備用圖 ) 解析 (1)連接 CD.∵ D為 AB中點(diǎn) ,△ ABC為等邊三角形 ,∴ CD⊥ AB,∵ EF⊥ CD,∴ EF∥ AB, ∴ △ CEF∽ △ CAB, ∴ △ CEF為等邊三角形 , ∴ CE=CF,∴ CE∶ CF=1∶ 1. (2)① 證明 :∵ △ EFC與△ EFD關(guān)于直線 EF對稱 , ∴∠ EDF=∠ ECF=60176。+46176?！?B∠ C=100176。? h=? ? 1=? . 5DFAB CFAC5x2525x? 253DFAB 2535 23CDBC 23 13 5312 12 12 53 568.(2022杭州上城一模 ,23)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交 ,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線 段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形 ,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形 ,另一個(gè) 與原三角形相似 ,我們就把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線 . (1)在△ ABC中 ,AD為角平分線 ,∠ B=50176。CD=AB2=(2? )2=12. ADCD EDAD337.(2022金華二模 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=90176。, ∴∠ ADC=∠ BAD+∠ ABD=120176。④ 若 AF∶ BF=3∶ 4,則△ DEM的面積 ∶ △ BAD的面積 =9∶ 49,其中正確的是 ? ( ) ? A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.③④ B組 2022— 2022年模擬 ,AC=2? ,DE= ? ,BE=,則 tan∠ DPC=? ( ) A.? C.? D.? 222 322? 12考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 答案 B ∵ △ ABC∽ △ DBE,∴ ? =? , ∴∠ ACB=∠ DEB=45176。.? (8分 ) ADCD CDBD(2022杭州濱江二模 ,8)有兩個(gè)相似三角形 ,它們的周長分別是 36和 12,周長較大的三角形的最 大邊長為 15,周長較小的三角形的最小邊長為 3,則周長較大的三角形的面積是 ? ( ) 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 , 又 ∠ ACB=∠ DCH, ∴ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? . ∵ AC=3CD,BC=3,∴ CH=1. ∴ BH=BC+CH=4. 在 Rt△ BHD中 ,cos∠ HBD=? , ∴ BDcos∠ HBD=BH=4.? (4分 ) (2)解法一 :∵∠ A=∠ CBD,∠ ABC=∠ BHD, ∴ △ ABC∽ △ BHD.? (6分 ) ∴ ? =? . ∵ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? =? , ∴ AB=3DH. ∴ ? =? ,DH=2,∴ AB=6.? (10分 ) ACDC BCHCBHBDBCHD ABBHABDH ACDC313DH 3 4DH解法二 :∵∠ CBD=∠ A,∠ BDC=∠ ADB, ∴ △ CDB∽ △ BDA.∴ ? =? ,BD2=CDCF,CF=3CECEsin B=3t cm, ∴ BD=4t cm,CD=(84t)cm. ∵ AQ⊥ CP,∠ ACB=90176。39。的面積比為 ? ( ) ? ∶ 9 ∶ 5 ∶ 3 D.? ∶ ? 2 3B組 20222022年全國中考題組 考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) 答案 A 由位似圖形的性質(zhì)知 ? =? =? ,所以 ? =? =? .故選 A. 39。B39。,∴ AC=AB, ∵ ? =? ,HE=DC,∴ ? =? , 又 ∠ BHE=90176。BC=DB (2)如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC,對角線 BD平分 ∠ ABC,∠ BAC=∠ ADC. 求證 :△ ABC是比例三角形 。. ∴∠ HAO+∠ OAD=90176?！?EAF,∠ C=90176。AG=? EC (2)設(shè)點(diǎn) F在線段 EC上 ,點(diǎn) G在射線 CB上 ,以 F,C,G為頂點(diǎn)的三角形與△ EDC有一個(gè)銳角相等 ,FG 交 CD于點(diǎn) :線段 CP可能是△ CFG的高還是中線 ?或兩者都有可能 ?請說明理由 . ? ADDB13解析 (1)因?yàn)?∠ ACB=90176。第六章 空間與圖形 167。,DE⊥ AC, 所以 DE∥ BC, 所以 ? =? . 因?yàn)?? =? ,AE=2,所以 ? =? , 解得 EC=6. (2)① 如圖 ,若 ∠ CFG1=∠ ECD, 則線段 CP1為 Rt△ CFG1的 FG1邊上的中線 . 證明 :因?yàn)?∠ CFG1=∠ ECD, 所以 ∠ CFG1=∠ FCP1, 又因?yàn)?∠ CFG1+∠ CG1F=90176。DH, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∵ AB∥ DE,∴∠ B=∠ DEH, ∵ AG⊥ BC,DH⊥ BC,∴∠ AGB=∠ DHE=90176。∠ GAC, 又因?yàn)?∠ EAF=∠ GAC, 所以 ∠ AEF=∠ C, 又因?yàn)?∠ DAE=∠ BAC, 所以△ ADE∽ △ ABC. (2)因?yàn)椤?ADE∽ △ ABC, 所以 ∠ ADE=∠ B, 又因?yàn)?∠ AFD=∠ AGB=90176。. ∵ AE⊥ DH, ∴∠ ADO+∠ OAD=90176。 (3)如圖 2,在 (2)的條件下 ,當(dāng) ∠ ADC=90176。BH, ∴ AB,∴ BH=HE. BEBC HEACDCBE ACBCBEBC DCACHEAC DCACACBC 22DCBE 22 HEBE 22∵ HE=DC,∴ BH=CD,∴ AH=AD. ∵ DM⊥ AE,EH⊥ AB, ∴∠ EHA=∠ AMF=90176。C39。39。ABAB??????492.(2022山東聊城 ,7,3分 )下列命題中的真命題是 ? ( ) 答案 D A項(xiàng) ,在兩邊和一角中 ,當(dāng)角為兩邊中一邊的對角時(shí) ,這兩個(gè)三角形不一定全等 ,故本 選項(xiàng)錯(cuò)誤 。,∴ tan∠ CAQ=tan∠ DCP. ∴ ? =? .∴ ? =? ,∴ t=? . CQAC PDCD 46 t384t t? 78(3)證明 :如圖 ,過點(diǎn) P作 PD⊥ AC于 D,連接 DQ、 BD,BD交 PQ于 M,則 PD=APCF, ∴ 2CE3CF=CF3CE,∴ ? =? .故選 B. AEBD ADBF EDDF3 2CE? CECF13 CF? CECFCECF452.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,在方格紙中 ,△ ABC和△ EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 ,要使△ ABC∽ △ EPD,則點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為 ? ( ) ? 答案 C 設(shè)方格紙中各小正方形的邊長為 ,∠ E=∠ A=90176。AD, ∴ BD2=CD 基礎(chǔ)題組 答案 B ∵ 兩相似三角形的周長分別是 36和 12,∴ 相似 比為 3∶ 1.∵ 周長較大的三角形的最大邊長為 15,周長較小的三角形的最小邊長為 3,∴ 周長較 大的三角形的最小邊長為 9,周長較小的三角形的最大邊長為 5,∴ 周長較大的三角形的第三條 邊長為 12,∵ 92+122=152,∴ 兩個(gè)三角形均為直角三角形 ,∴ 周長較大的三角形的面積 =? 912= 54,故選 B. 121.(2022寧波北侖一模 ,16)在△ ABC中 ,D,E分別在邊 AB、 AC上 ,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要 使△ ADE與△ ABC相似 ,則線段 AE的長為 cm. 考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 4或 ? 94解析 分兩種情況討論 : ① 當(dāng)△ ADE∽ △ ABC時(shí) ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=? cm. ② 當(dāng)△ ADE∽ △ ACB時(shí) ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=4 cm. 綜上 ,AE=4 cm或 ? cm. ADAB AEAC94ADAC AEAB942.(2022杭州名校二模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 ∠ BAC的平分線 ,點(diǎn) E在邊 AC上 ,且 AD2=AE. 又 ∵ AC=2? ,DE=? ,BE=,∴ BC=3. 過點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H. ACDEBCBE2 2∵∠ ACH=45176。 提升題組 (時(shí)間 :55分鐘 分值 :80分 ) 一、選擇題（每小題 3分，共 12分） 答案 B ① ∵ DE∥ AB,BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ BDE=∠ DBE, ∴ △ BDE是等腰三角形 ,① 正確 . ② 四邊形 AFED是平行四邊形 ,不一定是菱形 ,② 錯(cuò)誤 . ③ BE=ED=AF,③ 正確 . ④△ ABD∽ △ EDM,? =? =? =? ,④ 正確 .故選 B. EDMABDSS 2DEBA??????237??????9492.(2022溫州七校聯(lián)考 ,9)如圖 ,△ ABC中 ,D、 E兩點(diǎn)分別在 BC、 AD上 ,且 AD平分 ∠ BAC,若 ∠ ABE=∠ C,AD∶ ED=3∶ 1,則△ BDE與△ ADC的面積比為 ? ( ) ? ∶ 45 ∶ 9 ∶ 9 ∶ 3 答案 B ∵ AD∶ ED=3∶ 1, ∴ AE∶ AD=2∶ 3, ∵∠ ABE=∠ C,∠ BAE=∠ CAD, ∴ △ ABE∽ △ ACD, ∴ S△ ABE∶ S△ ACD=4∶ 9, ∴ S△ ACD=? S△ ABE, ∵ AE∶ ED=2∶ 1, ∴ S△ ABE∶ S△ BED=2∶ 1, ∴ S△ ABE=2S△ BED, ∴ S△ ACD=? S△ ABE=? S△ BED, ∴ S△ BDE與 S△ ADC的比為 2∶ 9. 9494 923.(2022寧波慈溪一模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,且 ? =? ,則 S四邊形 DBCE∶ S△ ABC=? ( ) ? ∶ 4 ∶ 9 ∶ 4 ∶ 9 AEEC 12答案 D ∵ D、 E分別是△ ABC的 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC. ∵ AE∶ EC=1∶ 2,∴ AE∶ AC=1∶ 3, ∴ S△ ADE∶ S△ ABC=1∶ 9,∴ ? =? .故選 D. DBCEABCS S四 邊 形894.(2022杭州蕭山一模 ,1)下列判斷不正確的是 ? ( ) 答案 B 兩個(gè)直角三角形的銳角不一定對應(yīng)相等 ,所以兩個(gè)直角三角形不一定相似 ,故選項(xiàng) B不正確 ,故選 B. 5.(2022舟山二模 ,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D、 E、 F分別在邊 AB、 BC、 AC上 ,∠ DEF= ∠ B. (1)求證 :△ BDE∽ △ CEF。, ∵ DE∥