【正文】 ∶ 1, ∴ AE∶ AD=2∶ 3, ∵∠ ABE=∠ C,∠ BAE=∠ CAD, ∴ △ ABE∽ △ ACD, ∴ S△ ABE∶ S△ ACD=4∶ 9, ∴ S△ ACD=? S△ ABE, ∵ AE∶ ED=2∶ 1, ∴ S△ ABE∶ S△ BED=2∶ 1, ∴ S△ ABE=2S△ BED, ∴ S△ ACD=? S△ ABE=? S△ BED, ∴ S△ BDE與 S△ ADC的比為 2∶ 9. 9494 923.(2022寧波慈溪一模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,DE∥ BC,且 ? =? ,則 S四邊形 DBCE∶ S△ ABC=? ( ) ? ∶ 4 ∶ 9 ∶ 4 ∶ 9 AEEC 12答案 D ∵ D、 E分別是△ ABC的 AB、 AC邊上的點(diǎn) ,DE∥ BC,∴ △ ADE∽ △ ABC. ∵ AE∶ EC=1∶ 2,∴ AE∶ AC=1∶ 3, ∴ S△ ADE∶ S△ ABC=1∶ 9,∴ ? =? .故選 D. DBCEABCS S四 邊 形894.(2022杭州蕭山一模 ,1)下列判斷不正確的是 ? ( ) 答案 B 兩個直角三角形的銳角不一定對應(yīng)相等 ,所以兩個直角三角形不一定相似 ,故選項(xiàng) B不正確 ,故選 B. 5.(2022舟山二模 ,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D、 E、 F分別在邊 AB、 BC、 AC上 ,∠ DEF= ∠ B. (1)求證 :△ BDE∽ △ CEF。, ∵∠ B=∠ B, ∴ △ ABD∽ △ CBE. (2)由 (1)知△ ABD∽ △ CBE,∴ ? =? . ∵∠ B=∠ B, ∴ △ BED∽ △ BCA, ∴ ? =? . ∵ △ ABC和△ BDE的面積分別為 20和 5,DE=2? , ∴ AC=4? , ∴ 點(diǎn) B到直線 AC的距離為 ? =5? . DBEB ABCBBDEABCSS 2DEAC??????222 ABCSAC 21.(2022杭州西湖一模 ,8)如圖 ,BD是△ ABC的角平分線 ,點(diǎn) E,F分別在 BC,AB上 ,且 DE∥ AB,∠ DEF=∠ A,EF與 BD交于點(diǎn) M,以下結(jié)論 :①△ BDE是等腰三角形 。. 又 ∵ AC=2? ,DE=? ,BE=,∴ BC=3. 過點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H. ACDEBCBE2 2∵∠ ACH=45176。(∠ ADB+∠ ADE)=180176。 基礎(chǔ)題組 答案 B ∵ 兩相似三角形的周長分別是 36和 12,∴ 相似 比為 3∶ 1.∵ 周長較大的三角形的最大邊長為 15,周長較小的三角形的最小邊長為 3,∴ 周長較 大的三角形的最小邊長為 9,周長較小的三角形的最大邊長為 5,∴ 周長較大的三角形的第三條 邊長為 12,∵ 92+122=152,∴ 兩個三角形均為直角三角形 ,∴ 周長較大的三角形的面積 =? 912= 54,故選 B. 121.(2022寧波北侖一模 ,16)在△ ABC中 ,D,E分別在邊 AB、 AC上 ,AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,要 使△ ADE與△ ABC相似 ,則線段 AE的長為 cm. 考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 4或 ? 94解析 分兩種情況討論 : ① 當(dāng)△ ADE∽ △ ABC時 ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=? cm. ② 當(dāng)△ ADE∽ △ ACB時 ,如圖 ,有 ? =? . ? ∵ AB=8 cm,AC=6 cm,AD=3 cm,∴ AE=4 cm. 綜上 ,AE=4 cm或 ? cm. ADAB AEAC94ADAC AEAB942.(2022杭州名校二模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 ∠ BAC的平分線 ,點(diǎn) E在邊 AC上 ,且 AD2=AE, ∴∠ A+∠ ACD=90176。AD, ∴ BD2=CD,BC=3,D為 AC延長線上一點(diǎn) ,AC=3 D作 DH∥ AB,交 BC的延長線于點(diǎn) H. (1)求 BDCF, ∴ 2CE3CF=CF3CE,∴ ? =? .故選 B. AEBD ADBF EDDF3 2CE? CECF13 CF? CECFCECF452.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,在方格紙中 ,△ ABC和△ EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 ,要使△ ABC∽ △ EPD,則點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為 ? ( ) ? 答案 C 設(shè)方格紙中各小正方形的邊長為 ,∠ E=∠ A=90176。, 在△ AED中 ,∵∠ A=60176。,∴ tan∠ CAQ=tan∠ DCP. ∴ ? =? .∴ ? =? ,∴ t=? . CQAC PDCD 46 t384t t? 78(3)證明 :如圖 ,過點(diǎn) P作 PD⊥ AC于 D,連接 DQ、 BD,BD交 PQ于 M,則 PD=AP,AC=6 cm,BC=8 cm,動點(diǎn) P從點(diǎn) B出發(fā) ,在 BA邊上以每秒 5 cm的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動 ,同時動點(diǎn) Q從點(diǎn) C出發(fā) ,在 CB邊上以每秒 4 cm的速 度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動 ,運(yùn)動時間為 t秒 (0t2),連接 PQ. (1)若△ BPQ與△ ABC相似 ,求 t的值 。ABAB??????492.(2022山東聊城 ,7,3分 )下列命題中的真命題是 ? ( ) 答案 D A項(xiàng) ,在兩邊和一角中 ,當(dāng)角為兩邊中一邊的對角時 ,這兩個三角形不一定全等 ,故本 選項(xiàng)錯誤 。 39。39。B39。C39。, ∴∠ GEA+∠ EAG=∠ EAG+∠ AFM, ∴∠ AFM=∠ AEG, ∵∠ FAD=∠ EGA=90176。,∴ BH=HE. BEBC HEACDCBE ACBCBEBC DCACHEAC DCACACBC 22DCBE 22 HEBE 22∵ HE=DC,∴ BH=CD,∴ AH=AD. ∵ DM⊥ AE,EH⊥ AB, ∴∠ EHA=∠ AMF=90176。 ② 若 m=? ,求證 :AE=DF。BH, ∴ AB, ∴∠ BCD=90176。 (3)如圖 2,在 (2)的條件下 ,當(dāng) ∠ ADC=90176。CB,∴ CD=? ,∴ BD=? . ∵∠ ADO=∠ ADB,∠ 2=∠ ABD, ∴ △ ADO∽ △ BDA,∴ AD2=DO. ∵ AE⊥ DH, ∴∠ ADO+∠ OAD=90176。,∴ △ AMN∽ △ BCM. ∴ ? =? ,即 ? =? .∴ AN=? a,∴ ND=2a? a=? a. ∴ ? =? a∶ ? a=3. (3)解法一 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,AM=(2n1)a,BC=2a, 由△ AMN∽ △ BCM,得 AN=? (2n1)a,DN=? , EFBF CEMBABBCANMBAMBC ANa 32 aa 32 32 12ANND 32 12ABBC EFFB12(2 5)2na?∵ DH∥ AM,∴ ? =? ,∴ DH=(2n5)a,∴ HE=(5n)a. 當(dāng) MN∥ BE時 ,四邊形 MBEH是平行四邊形 , ∴ (5n)a=a,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時 ,MN∥ BE. ? 解法二 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,BC=2a, 當(dāng) MN∥ BE時 ,CM⊥ BE,可證△ MBC∽ △ BCE,∴ ? =? . ∴ ? =? ,∴ n=4. ∴ 當(dāng) n=4時 ,MN∥ BE. DNAN DHAMABBC EFFBMBBC BCCE2aa 2 ana思路分析 (1)所證結(jié)論是相等關(guān)系 ,考慮證三角形全等 . (2)設(shè) MB=a,利用相似三角形將 AN,ND用含 a的式子表示出來 ,進(jìn)而得比值 . (3)類比 (2)求解 . 評析 本題是探究型問題 ,考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定 和性質(zhì) . 6.(2022麗水、衢州 ,23,10分 ) 提出問題 : (1)如圖 1,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) E,H分別在 BC,AB上 ,若 AE⊥ DH于點(diǎn) O,求證 :AE=DH?！?GAC, 又因?yàn)?∠ EAF=∠ GAC, 所以 ∠ AEF=∠ C, 又因?yàn)?∠ DAE=∠ BAC, 所以△ ADE∽ △ ABC. (2)因?yàn)椤?ADE∽ △ ABC, 所以 ∠ ADE=∠ B, 又因?yàn)?∠ AFD=∠ AGB=90176。 (2)若 AD=3,AB=5,求 ? 的值 . ? AFAG解析 (1)證明 :因?yàn)?AF⊥ DE,AG⊥ BC, 所以 ∠ AFE=90176。DH, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∵ AB∥ DE,∴∠ B=∠ DEH, ∵ AG⊥ BC,DH⊥ BC,∴∠ AGB=∠ DHE=90176。, 因?yàn)?∠ CFG2=∠ EDC, 所以 ∠ ECD+∠ CFG2=∠ ECD+∠ EDC=90176。,DE⊥ AC, 所以 DE∥ BC, 所以 ? =? . 因?yàn)?? =? ,AE=2,所以 ? =? , 解得 EC=6. (2)① 如圖 ,若 ∠ CFG1=∠ ECD, 則線段 CP1為 Rt△ CFG1的 FG1邊上的中線 . 證明 :因?yàn)?∠ CFG1=∠ ECD, 所以 ∠ CFG1=∠ FCP1, 又因?yàn)?∠ CFG1+∠ CG1F=90176。,AB=2,DC=3,則△ ABC與△ DCA的面積比為 ? ( ) ? ∶ 3 ∶ 5 ∶ 9 D.? ∶ ? 2 3答案 C ∵ AD∥ BC,∴∠ ACB=∠ DAC. 又 ∵∠ B=∠ ACD=90176。第六章 空間與圖形 167。直線 DF分別交 l1,l 2,l3于點(diǎn) D,E, DF相交于點(diǎn) G,且 AG=2,GB=1,BC=5,則 ? 的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? DEEF12 25 35答案 D ? =? =? ,故選 D. DEEF ABBC 354.(2022寧波 ,8,4分 )如圖 ,梯形 ABCD中 ,AD∥ BC,∠ B=∠ ACD=90176。 (2)設(shè)點(diǎn) F在線段 EC上 ,點(diǎn) G在射線 CB上 ,以 F,C,G為頂點(diǎn)的三角形與△ EDC有一個銳角相等 ,FG 交 CD于點(diǎn) :線段 CP可能是△ CFG的高還是中線 ?或兩者都有可能 ?請說明理由 . ? ADDB13解析 (1)因?yàn)?∠ ACB=90176。, 所以 ∠ EDC+∠ ECD=90176。AG=? EC, ∴ △ BDE∽ △ CAD. (2)易知 BD=? BC=5, 在 Rt△ ADB中 ,AD=? =? =12, 由 (1)易得 ? =? ,∴ ? =? , ∴ DE=? . 1222AB BD? 2213 5?BDCA DEAD 51312DE6013思路分析 (1)由等腰三角形的性質(zhì) ,得 ∠ B=∠ C,AD⊥ BC,因?yàn)?DE⊥ AB,所以 ∠ DEB=∠ ADC, 根據(jù)相似三角形的判定定理 ,即可解決問題 . (2