【正文】 +α. 過點 B作 BF⊥ BE,交 AE于點 F, ? 則有 ∠ FBE=90176。, ∴∠ ADB=∠ 1+∠ C=∠ 1+60176。,線段 AB的垂直平分線交 AC于點 D,交 AB于點 E. (1)求證 :△ ADE∽ △ ABC。. 又 ∵∠ CEO+∠ DEO=90176。, ∵∠ ACB=∠ DCH,∴ △ ABC∽ △ DHC,∴ ? =? . ∵ AC=3CD,BC=3, ∴ CH=1.∴ BH=BC+CH=4. 在 Rt△ BHD中 ,cos∠ HBD=? , ∴ BDcos∠ HBD=BH=4.? (4分 ) (2)解法一 :∵∠ A=∠ CBD,∠ ABC=∠ BHD, ∴ △ ABC∽ △ BHD.? (6分 ) ∴ ? =? . ∵ △ ABC∽ △ DHC, ∴ ? =? =? ,∴ AB=3DH. ∴ ? =? ,DH=2,∴ AB=6.? (10分 ) 解法二 :∵∠ CBD=∠ A,∠ BDC=∠ ADB, ACDC BCHCBHBDBCHD ABBHABDH ACDC313DH 3 4DH∴ △ CDB∽ △ BDA. ∴ ? =? ,BD2=CD. 又 ? =? , ∴ △ ACD∽ △ CBD.? (4分 ) (2)∵ △ ACD∽ △ CBD, ∴∠ A=∠ BCD. 在△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,∠ A=∠ BMP=60176。,∠ AGC=90176。CE. ∵ AB=BC,BE2=BC. 又 ∠ AGB=90176。,∴ △ ABC∽ △ CED,∴ ? =? =? ,即 ? =? = ? ,∴ CE=6,DE= Rt△ BED中 ,BD=? =? =2? . ? 5ACCD ABCEBCDE 5103CE4DE22BE DE? 22(4 6) 8?? 4118.(2022山東臨沂 ,18,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,BD,CE分別是邊 AC,AB上的中線 ,BD與 CE相交于點 O,則 ? = . ? OBOD答案 2 解析 連接 DE,∵ BD,CE是 AC,AB邊上的中線 , ∴ DE為△ ABC的中位線 , ∴ DE=? BC,DE∥ BC, ∴ △ OBC∽ △ ODE, ∴ ? =? =2. 12OBOD BCDE19.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,8,2分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E為 AD的中點 ,BE、 CD的延長線相交于點 △ DEF的面積為 1,則 ?ABCD的面積等于 . ? 答案 4 解析 在 ?ABCD中 ,AB∥ DC,AE=DE,AD∥ BC,易證△ AEB≌ △ DEF,△ FED∽ △ FBC,所以 S△ AEB= S△ DEF=1,FD=? FC,? =? =? ,所以 S△ CBF=4,所以 S?ABCD=4. 12 DEFCBFSS 212??????1420.(2022黑龍江哈爾濱 ,20,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,4AB=5AC,AD為△ ABC的角平分線 ,點 E在 BC 的延長線上 ,EF⊥ AD于點 F,點 G在 AF上 ,FG=FD,連接 EG交 AC于點 H,若點 H是 AC的中點 ,則 ? 的值為 . ? AGFD答案 ? 43解析 ∵ EF⊥ AD,FG=FD, ∴ EF垂直平分 GD,∴ EG=ED, ∴∠ EGD=∠ EDG,∴∠ AGH=∠ ADB, 又 ∵∠ BAD=∠ HAG, ∴ △ ABD∽ △ AHG,∴ ? =? . ∵ 4AB=5AC,AH=? AC, ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ ? =? .∴ ? =? . ABAH ADAG12ABAH 52ADAG 52AGGD23AGFD 4321.(2022江西 ,14,6分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥ AB,BD是 ∠ ABC的平分線 ,BD交 AC于點 AE的長 . ? 解析 ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=∠ CBD. ∵ AB∥ CD,∴∠ ABD=∠ D,△ ABE∽ △ CDE. ∴∠ CBD=∠ D,? =? . ∴ BC=CD. ∵ AB=8,CA=6,CD=BC=4, ∴ ? =? ,∴ AE=4. ABCD AEEC84 6AEAE?思路分析 根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 ∠ D=∠ CBD,進而可得 BC=CD=4,通過 △ ABE∽ △ CDE,得出含 AE的比例式 ,求出 AE的值 . 方法總結(jié) 證明三角形相似的常見方法 :平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線 相交 ,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 ,相似的基本圖形可分別記為“ A”型和“ X”型 ,如圖 所示 .在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 . ? 22.(2022陜西 ,20,7分 )周末 ,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬 .測量時 ,他們 選擇了河對岸岸邊的一棵大樹 ,將其底部作為點 A,在他們所在的岸邊選擇了點 B,使得 AB與河 岸垂直 ,并在 B點豎起標(biāo)桿 BC,再在 AB的延長線上選擇點 D,豎起標(biāo)桿 DE,使得點 E與點 C、 A共 線 . 已知 :CB⊥ AD,ED⊥ AD,測得 BC=1 m,DE= m,BD= . 請根據(jù)相關(guān)測量信息 ,求河寬 AB. ? 解析 ∵ CB⊥ AD,ED⊥ AD, ∴∠ ABC=∠ ADE=90176。,要使△ ABC∽ △ EPD,則 ? =? =2,所以 EP=2AB=6,點 P 所在的格點為 P3,故選 C. EPAB DEAC13.(2022云南 ,5,3分 )如圖 ,已知 AB∥ CD,若 ? =? ,則 ? = . ? ABCD14OAOC答案 ? 14解析 ∵ AB∥ CD,∴∠ A=∠ C,∠ B=∠ D, ∴ △ AOB∽ △ COD.∴ ? =? =? . OAOCABCD1414.(2022安徽 ,14,5分 )矩形 ABCD中 ,AB=6,BC= P在矩形 ABCD的內(nèi)部 ,點 E在邊 BC上 ,滿足 △ PBE∽ △ △ APD是等腰三角形 ,則 PE的長為 . 答案 3或 ? 65解析 在矩形 ABCD中 ,AD=BC=8,在△ ABD中 ,由勾股定理可得 BD=? =10,∵ ABAD, ∴ 根據(jù)△ PBE∽ △ DBC可知 P點在線段 BD上 ,當(dāng) AD=PD=8時 ,由相似可得 ? =? =? ?PE=? 。根據(jù)“相似三角形的周長比等于相似比 ,面積比等于相似比的平方”可知 選項 C正確 ,選項 D錯誤 .故選 C. ADDB12ADAB 13AEAC DEBC ADAB 1310.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,有一塊矩形紙片 ABCD,AB=8,AD=6,將紙片折疊 ,使得 AD 邊落在 AB邊上 ,折痕為 AE,再將△ AED沿 DE向右翻折 ,AE與 BC的交點為 F,則△ CEF的面積為 ? ( ) ? A.? B.? 12 98答案 C 在題中的第三個圖中 ,AD=6,AB=4,DE=6, 因為 BF∥ DE,所以△ ABF∽ △ ADE,所以 ? =? ,即 ? =? ,解得 BF=4,所以 CF=2,∴ S△ CEF=? CE C39。B39。cos 30176。 (3)以 A,A1,B1,A2為頂點的四邊形 AA1B1A2的面積是 個平方單位 . ? 解析 (1)線段 A1B1如圖所示 .? (3分 ) ? (2)線段 A2B1如圖所示 .? (6分 ) (3)20.? (8分 ) 提示 :根據(jù) (1)(2)可知四邊形 AA1B1A2是正方形 ,邊長為 ? =2? ,∴ 以 A,A1,B1,A2為頂點的四 邊形 AA1B1A2的面積為 (2? )2=20(個平方單位 ). 2242? 5510.(2022寧夏 ,20,6分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,△ ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為 A(2,4),B(3,2),C(6, 3). (1)畫出△ ABC關(guān)于 x軸對稱的△ A1B1C1。 39。B39。D,∴ ? = ? ,即 ? =? ,∴ AB=15 m. ? ABCD39。 167。39。C39。 39。 (2)以 M點為位似中心 ,在網(wǎng)格中畫出△ A1B1C1的位似圖形△ A2B2C2,使△ A2B2C2與△ A1B1C1的相 似比為 2∶ 1. ? 解析 (1)如圖所示 .? (3分 ) (2)如圖所示 .? (6分 ) ? 考點二 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022湖北黃岡 ,5,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。=2? . 在 Rt△ ABD中 ,AB=BDC39。,所以 ∠ B39。CF=2. ABAD BFDE 46 6BF 1211.(2022四川綿陽 ,12,3分 )如圖 ,D是等邊△ ABC邊 AB上的一點 ,且 AD∶ DB=1∶ 2,現(xiàn)將△ ABC折 疊 ,使點 C與 D重合 ,折痕為 EF,點 E、 F分別在 AC和 BC上 ,則 CE∶ CF=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 34 45 56 67答案 B 設(shè)等邊△ ABC的邊長為 3,則 AD=1,BD=2,由折疊的性質(zhì)可知 ∠ C=∠ EDF=60176。 當(dāng) AP=PD時 ,P點為 BD的中點 ,∴ PE=? CD=3,故答案為 3或 ? . 2268?PECD BPBD 210 6512 65思路分析 根據(jù) ABAD及已知條件先判斷 P點在線段 BD上 ,再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩 種情況 :① AD=PD=8。. ∵∠ BAC=∠ DAE, ∴ △ ABC∽ △ ADE,? (3分 ) ∴ ? =? .? (5分 ) ∵ BC=1 m,DE= m,BD= m. ∴ ? =? , ∴ AB=17 m. ∴ 河寬 AB為 17 m.? (7分 ) ABAD BCDE? 11 . 5思路分析 首先根據(jù) ∠ ABC=∠ ADE,∠ BAC=∠ DAE判定△ ABC∽ △ ADE,再根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)得出 ? =? ,進而可求得 AB的值 . ABAD BCDE方法指導(dǎo) 解與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意的事項 .