【正文】 1 隨機(jī)過(guò)程的概念 隨機(jī)過(guò)程 被認(rèn)為是概率論的“動(dòng)力學(xué)”部分，即它的研究對(duì)象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，它是從多維隨機(jī)變量向一族 (無(wú)限多個(gè) )隨機(jī)變量的推廣。59 正態(tài)總體均值方差的區(qū)間估計(jì) ? ? ? ?2 , N ??一 單個(gè)正態(tài)總體 的情形? ?2212, , , , , , 1nX X X N X S? ? ??來(lái)自 和 分別為樣本均值和方差 置信度為1. ?均值 的置信區(qū)間? ? 21 ? 已知時(shí)? ?, 0 , 1XXN n?? ? ?是 的無(wú)偏估計(jì) 由 2 1XPZn ?? ????? ? ?? ? ???????有22 1P X Z X Znn???? ????? ? ? ? ? ?????即22,X Z X Znn????????????置信區(qū)間為： 60 ? ? 22 ? 未知時(shí)? ?1X tnSn?? ?由 ? ? ? ?221 1 1XP t n t nSn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???????有? ? ? ?221 1 1SSP X t n X t nnn?? ????? ? ? ? ? ? ? ?????即? ? ? ?221 , 1SSX t n X t nnn????? ? ? ?????置信區(qū)間為： 0t1??2? 2?0t?61 22 . ?方差 的置信區(qū)間?設(shè) 未知? ? ? ?2 221 1nS n??? ?由 ? ? ? ? ? ?2221 2 2211 1 1nSP n n??? ? ????? ???? ? ? ? ? ?????有? ?? ?? ?? ?222222 1 211 111n S n SPnn?? ???? ???????? ? ? ???????即? ?? ?? ?? ?22222 1 211 ,11n S n Snn???? ???????????置信區(qū)間為： 22??2? 1 ??212???2?62 ? ? ? ?? ? ? ?22 2 210 , , 36 ,15 . , 95 1 16 。 3 區(qū)間估計(jì) ? ?? ? ? ?11 1 2 21112?, , , , ,nnnX X XX X X X????? ? ? ?? ? ???????點(diǎn)估計(jì)是由樣本求出未知參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)值 ， 而區(qū)間估計(jì)則要由樣本給出參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)范圍，并指出 該區(qū)間包含 的可靠程度。 ? ? ? ? 0 , , ,2X U E X ????解： 1 , nX X X由于 與 同分布? ? ? ?? 2E E X??? ? ?12 niiEXn?? ? 2 2nn ? ?? ? ? ?? 2 X???因此 是 的無(wú)偏估計(jì)? ? ? ?? L nnXX? ?為考察 的無(wú)偏性，先求 的分布，5由第三章第 節(jié)知：? ? ? ? ? ? ,nnXF x F x? ????? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx ???????????于是 其它10nnx nx dx????? ?? ? ? ?? ??L nE E X? ?因此有： 1nn ?????? ??L nX? ?所以 是有偏的。 221? niinlnX???????????的極大似然估計(jì)值為：? ? ? ? 2111 1 1, nn n ni i ii i iL f x x x??? ? ? ???? ? ???? ? ?????? ? ?解：似然函數(shù)? ? ? ?112 n iinln L ln ln X? ? ??? ? ? ?? ?111 0 22niid ln L n ln Xd??? ? ?? ? ? ??令1niin ln X? ??? ?即： 44 ? ?? ?? ?11 4 , 0 , , , 0 , , , xnexX f xX X X?? ?? ? ? ?????? ???????例 ：設(shè)總體 的概率密度為： 其中 是未知常量其它為 的樣本，求 的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。 ? ? ? ?E X x f x d x????? ?解：1??? ?10 x d??? ?1 X?????? ?E X X?令 ? ? 2? 1 X X??? ?40 極大似然估計(jì)法 極大似然估計(jì)的原理介紹 考察以下例子： 假設(shè)在一個(gè)罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是 1:3，但不知道哪種顏色的球多。30 正態(tài)總體樣本均值和方差的分布 ? ? ? ?? ?? ?? ?222122222 , , , , , 1. ,1 2. 1 3. nnZ Z Z N Z SZNnSnZS?????????設(shè) 是總體 的樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，則有：和定理 ：相互獨(dú)立? ? ? ? ? ? ? ?221/ / 1 1/tnZnSZ n t nSn??????? ? ? ?且兩者獨(dú)立，由 分布定義得：? ? ? ?? ? ? ?2216. ,7 ,1 nZ Z N Z SnZ tnS???? ?設(shè) 是總體 的樣本， 和 分別是樣本 均值和樣本方差，則有：定理 ：? ? ? ? ? ?2 2216 . 6 0 , 1 , 1/ nSX Nnn? ??? ?? ?證明：由定理 知，31 ? ?? ?? ?? ?? ?21112 2 21 2 1122 2 22 2 1 2222111 , 111FnSnSF n nn S Sn??????? ? ???且兩者獨(dú)立，由 分布的定義，有：? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?221 1 1 1 2 222122221122212122 2 21 2 1 212 , , , , , , 1 1 , 1 2 211 6 .8nnWX X Y Y N NSSSF F n nSXYt n nSnn? ? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??設(shè)樣本 和 分別來(lái)自總體 和 并且它們相互獨(dú)立，其樣本方差分別為則：當(dāng) 時(shí)，定理 ：? ? ? ?221 1 2 2221211 ,2W W Wn S n SS S Snn? ? ?????其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122212116 . 6 1 , 1n S n Snn?????? ??證明：1 由定理 知，? ? ? ? ? ?12120 , 111XYUNnn???? ? ???即有：? ? 221212122 ,X Y N nn??????? ? ?????易知2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 1 , 1n S n Snn?????? ??又由給定條件知： ,UV由定理 知： 與 相互獨(dú)立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 12121222 11wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??????????從而按 分布定義知： 33 復(fù)習(xí)思考題 6 ？什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本？總體 X的樣本 X1,X2,…,Xn有 哪兩個(gè)主要性質(zhì)？ ？什么是統(tǒng)計(jì)量的值？ ？ (0,1)分布 ,t分布 ,χ2分布和 F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點(diǎn)是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點(diǎn)的值？ ？ ？ 34 第七章 參數(shù)估計(jì) 關(guān)鍵詞： 矩估計(jì)法 極大似然估計(jì)法 置信區(qū)間 置信度 35 ? ?? ?222222 ,1 。23 167。如一批燈泡。 1 2 161 6 , , , ,Z Z Z解：記 只電器元件的壽命分別為16116 iiZZ?? ?則 只電器元件的壽命總和為 ,? ? ? ? 210 0 , 10 0iiE Z D Z??由題設(shè)? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiZZzN????????根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理: 近似服從? ? ? ? 19 20 1 19 20P Z P Z? ? ? ?? ?1 6 0 0 1 9 2 0 1 6 0 01 4 0 0 4 0 0ZP ??? ? ?? ?1 19?? ? ?16 例 3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬(wàn)人參加，每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬(wàn)元。 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機(jī)試驗(yàn) ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨(dú)立性 ?第二章 隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量及其分布 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 ? 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 ? 二維隨機(jī)變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ? 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 4 ? 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ? 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 ? 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 ? 總體和樣本 ? 常用的分布 5 ? 第七章 參數(shù)估計(jì) ? 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ? 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) ? 區(qū)間估計(jì) ? 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) ? 假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) ? 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) ? 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系 ? 樣本容量的選取 ? 分布擬合檢驗(yàn) ? 秩和檢驗(yàn) ? 第九章 方差分析及回歸分析 ? 單因素試驗(yàn)的方差分析 ? 雙因素試驗(yàn)的方差分析 ? 一元線性回歸 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述 ? 隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 ? 泊松過(guò)程及維納過(guò)程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過(guò)程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ? 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 7 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 8 167。 2 中心極限定理 背景：有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的 綜合影響所形成的，而其中每個(gè)個(gè)別的因素作用都很小，這種 隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布