小二乘法ppt課件-免費閱讀
【正文】 另外，在計算中應(yīng)注意將角度、分、秒值化度。 如圖 5—1 所示，要求檢定刻線 A、 B、 C、 D間的距離 x x x3。設(shè)有協(xié)方差矩陣 (nn階矩陣 )式中等精度獨立測量若 l1， l2， … ， ln為等精度獨立測量的結(jié)果，即且相關(guān)系數(shù) ρij = 0，即 Dlij = 0協(xié)方差矩陣 于是估計量的協(xié)方差為 式中各元素即為上述的不定乘數(shù)，可由矩陣 (ATA)求逆而得，或由式 (5—51) 求得。已知殘余誤差方程為將 ti， li，值代人上式，可得殘余誤差為（二）不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計 不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計與等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計相似，只是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的殘余誤差平方和，測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無偏估計為（ 544） 通常習(xí)慣寫成（ 545） 測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為 （ 546） 二、最小二乘估計量的精度估計 最小二乘法所確定的估計量 X1， X2， … ， Xt的精度取決于測量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系。 一、測量數(shù)據(jù)的精度估計 為了確定最小二乘估計量 X1， X2， … ， Xt的精度，首先需要給出直接測量所得測量數(shù)據(jù)的精度。 其中矩陣元素 Y1， Y2， … ， Yn為直接量的真值，而Xl， X2， … ， Xn為待求量的真值。三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程 為了獲得更可取的結(jié)果，測量次數(shù) n總要多于未知參數(shù)的數(shù)目 t，即所得誤差方程式的數(shù)目總是要多于未知數(shù)的數(shù)目。這稱為高斯 — 馬爾可夫定理 。 最小二乘法 的 幾何意義 從幾何圖形上可看出 ,最小二乘法就是要在穿過各觀測點 (xi， yi)之間找出這樣一條估計曲線，使各觀測點到該曲線的距離的平方和為最小。 用式子表示時，記殘差 νi為最小二乘法就是要求 =最小在這個條件下，利用數(shù)學(xué)中求極值的方法可以求出參數(shù) ， ， … ， 。 設(shè) X和 Y兩個物理量之間的函數(shù)關(guān)系為假定此函數(shù)關(guān)系 f已知，但其中 a1， a2， … ， ak等參數(shù)還未求出，現(xiàn)對于 X和 Y有一批觀測數(shù)據(jù)： {xi， yi} ， i＝ 1， 2， …,n ，要利用這批數(shù)據(jù)在一定法則之下作出這些參數(shù) a1， a2， … ， ak的估計。特別是近代矩陣?yán)碚撆c電子計算機(jī)相結(jié)合。使最小二乘法不斷地發(fā)展而久盛不衰。 假設(shè)諸觀測值相互獨立且服從正態(tài)分布。這樣求出的參數(shù)叫參數(shù)的最小二乘估計。 YX三、最小二乘法與最大似然法的關(guān)系 如果假定各觀測值是相互獨立且服從正態(tài)分布，期望值是 μ(xi； a1， a2， … ， ak)，方差是 σi2, 則觀測值的似然函數(shù)為 最大似然法要求上式取極大值，這就相當(dāng)于要求指數(shù)項中的=最小這就說明了在觀測值服從正態(tài)分布的條件下，最小二乘估計與最大似然估計是一致的。(3) 加權(quán)的殘差平方和的期望值是當(dāng) σ2＝ 1，即取 wi＝ 1/σi2，這時稱為 χ2 量。因而直接用一般解代數(shù)方程的方法是無法求解這些未知參數(shù)的。 例 5—1 在不同溫度下，測定銅棒的長度如下表，試估計 0℃ 時的銅棒長度 y0和銅的線膨脹系數(shù) α。測量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差 σ來表示。對給定的線性方程組，若已知測量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln的精度，就可求得最小二乘估計量的精度。 各估計量 xl， x2， … ， xt的方差為不等精度測量同樣，也可得不等精度測量的協(xié)方差矩陣 式中 σ—— 單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差。 （ 1）測量方案及測量數(shù)據(jù)測量數(shù)
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