《小二乘法》ppt課件-預覽頁
【正文】 曲線的距離的平方和為最小。但應該指出，在有些問題中觀測值雖然不服從正態(tài)分布，但當樣本容量很大時，似然函數(shù)也趨近于正態(tài)分布，因此，這時使用最小二乘法和最大似然法實質(zhì)也是一致的。這稱為高斯 — 馬爾可夫定理 。由于測量的實際問題中大量的是屬于線性的，而非線性參數(shù)借助于級數(shù)展開的方法可以在某一區(qū)域近似地化成線性的形式。三、線性參數(shù)最小二乘法的正規(guī)方程 為了獲得更可取的結(jié)果，測量次數(shù) n總要多于未知參數(shù)的數(shù)目 t，即所得誤差方程式的數(shù)目總是要多于未知數(shù)的數(shù)目。 1．線性參數(shù)的最小二乘法處理的基本程序 線性參數(shù)的最小二乘法處理程序可歸結(jié)為：（ 1）根據(jù)具體問題列出誤差方程式；（ 2）按最小二乘法原理，利用求極值的方法將誤差方程轉(zhuǎn)化為正規(guī)方程；（ 3）求解正規(guī)方程，得到待求的估計量；（ 4）給出精度估計。 其中矩陣元素 Y1， Y2， … ， Yn為直接量的真值，而Xl， X2， … ， Xn為待求量的真值。 解：（ 1）首先確定各式的權（ 2）用表格計算給出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)（ 3）給出正規(guī)方程（ 4）求解正規(guī)方程組解得最小二乘法處理結(jié)果為四、最小二乘原理與算術平均值原理的關系為了確定一個量 X的估計量 x，對它進行 n次直接測量，得到 n個數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln，相應的權分別為 p1， p2， … ， pn，則測量的誤差方程為(535)其最小二乘法處理的正規(guī)方程為 (536)由誤差方程知 a＝ l，因而有可得最小二乘法處理的結(jié)果 (537)這正是不等精度測量時加權算術平均值原理所給出的結(jié)果。 一、測量數(shù)據(jù)的精度估計 為了確定最小二乘估計量 X1， X2， … ， Xt的精度，首先需要給出直接測量所得測量數(shù)據(jù)的精度。其相應的測量誤差分別為 δ1， δ2， … ， δn，它們是互不相關的隨機誤差。已知殘余誤差方程為將 ti， li，值代人上式，可得殘余誤差為（二）不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計 不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計與等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計相似，只是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖嗟臍堄嗾`差平方和，測量數(shù)據(jù)的單位權方差的無偏估計為（ 544） 通常習慣寫成（ 545） 測量數(shù)據(jù)的單位權標準差為 （ 546） 二、最小二乘估計量的精度估計 最小二乘法所確定的估計量 X1， X2， … ， Xt的精度取決于測量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出的函數(shù)關系。為此，利用不定乘數(shù)法求出 xl， x2， … ， xt的表達式，然后再找出估計量 xl， x2， … ， xt的精度與測量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln精度的關系，即可得到估計量精度估計的表達式。設有協(xié)方差矩陣 (nn階矩陣 )式中等精度獨立測量若 l1， l2， … ， ln為等精度獨立測量的結(jié)果，即且相關系數(shù) ρij = 0，即 Dlij = 0協(xié)方差矩陣 于是估計量的協(xié)方差為 式中各元素即為上述的不定乘數(shù)，可由矩陣 (ATA)求逆而得，或由式 (5—51) 求得。 ? 在精密測試工作中，組合測量占有十分重要的地位。 如圖 5—1 所示，要求檢定刻線 A、 B、 C、 D間的距離 x x x3。42′7″。另外，在計算中應注意將角度、分、秒值化度。 一個很好的統(tǒng)計量本章重要概念小結(jié)3. 測量數(shù)據(jù)的精度估計 是 σ2的無偏估計量 4. 各估計量 xl， x2， … ， xt的精度 本章作業(yè)? 51 52 53 56?
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