小二乘法ppt課件(完整版)
【正文】 題最常用的方法就是最小二乘法。對(duì)于從事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們說(shuō)來(lái)，應(yīng)用最小二乘法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，仍是目前必不可少的手段。 一、 問(wèn)題背景 ? 在測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常需要根據(jù)兩個(gè)量的一批觀測(cè)數(shù)據(jù) (xi， yi)， i=1， 2， … ， n求出這兩個(gè)變量 Y與 X之間所滿足的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 Y＝f(X)。 現(xiàn)在的問(wèn)題是一個(gè)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題：需要給出 a1， a2， … ，ak的估計(jì)值 ， ， … ， 。不等精度情況下的最小二乘法 以上是等精度觀測(cè)的情況，若諸觀測(cè)值 yi是不等精度的觀測(cè)，即它們服從不同的方差 σi2的正態(tài)分布 N(0， 1)，那么也不難證明，在這種情況下，最小二乘法可改為： 選取的參數(shù)估值應(yīng)使諸觀測(cè)值 yi與其估計(jì)值 之差的加權(quán)平方和為最小。 假若觀測(cè)值不服從正態(tài)分布，則最小二乘估計(jì)并不是最大似然估計(jì)。第二節(jié) 線性參數(shù)的最小二乘法 一般情況下，最小二乘法可以用于線性參數(shù)的處理，也可用于非線性參數(shù)的處理。這個(gè)有確定解的代數(shù)方程組稱(chēng)為最小二乘法估計(jì)的 正規(guī)方程 (或稱(chēng)為法方程 )。 令 y0＝ a， αy0=b為兩個(gè)待估計(jì)參量，則誤差方程可寫(xiě)為 (2) 列出正規(guī)方程為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下： 將表中計(jì)算出的相應(yīng)系數(shù)值代人上面的正規(guī)方程得（ 3）求出待求估計(jì)量 求解正規(guī)方程解得待求估計(jì)量即按矩陣形式解算由正規(guī)方程，有則所以（ 4）給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果銅棒長(zhǎng)度 yt隨溫度 t的線性變化規(guī)律為3．不等精度測(cè)量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 ? 不等精度測(cè)量時(shí)線性參數(shù)的誤差方程仍如上述式 (5—9) 一樣，但在進(jìn)行最小二乘法處理時(shí)，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即 用矩陣表示的正規(guī)方程與等精度測(cè)量情況類(lèi)似，可表示為 （ 527） 即上述正規(guī)方程又可寫(xiě)成（ 528） 該方程的解，即參數(shù)的最小二乘法處理為（ 529） 令則有 （ 530） 例 5—2? 某測(cè)量過(guò)程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如下： 試求 x1， x2的最小二乘法處理正規(guī)方程的解。 （一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 設(shè)對(duì)包含 t個(gè)未知量的 n個(gè)線性參數(shù)方程組（5－ 7）進(jìn)行 n次獨(dú)立的等精度測(cè)量，獲得了 n個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù) l1， l2， … ， ln。 設(shè)有正規(guī)方程 現(xiàn)要給出由此方程所確定的估計(jì)量 xl， x2， … ， xt的精度。例 5—4 試求例 5—1 中銅棒長(zhǎng)度和線膨脹系數(shù)估計(jì)量的精度 已知正規(guī)方程為測(cè)量數(shù)據(jù) li的標(biāo)準(zhǔn)差為解：根據(jù)所給正規(guī)方程的系數(shù)，可列出求解不定乘數(shù)方程組 （ 1）列出求解不定乘數(shù)方程組，并求解分別解得（ 2）計(jì)算估計(jì)量 a、 b的標(biāo)準(zhǔn)差可得估計(jì)量 a、 b的標(biāo)準(zhǔn)差為因（ 3）求出 y0、 α的標(biāo)準(zhǔn)差故有第四節(jié) 組合測(cè)量的最小二乘法處理 ? 所謂組合測(cè)量，是指直接或間接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值，從它們相互組合所依賴(lài)的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。25′24″；? C＝ 70176。 為 χ2 量 ,期望值為 n－ k。? 假設(shè)各測(cè)量值權(quán)分別為 1， 2， 3，求 A、 B、 C的最佳估計(jì)值。例如，作為標(biāo)準(zhǔn)量的多面棱體、度盤(pán)、砝碼、電容器以及其它標(biāo)準(zhǔn)器的檢定等，為了減小隨機(jī)誤差的影響，提高測(cè)量精度，可采用組合測(cè)量的方法。 設(shè) d11， dl2， … ， dlt； d2l， d22， … ， d2t： … ； dtl， dt2， … ， dtt分別為下列各方程組的解：
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