【正文】 度情況下的最小二乘法 以上是等精度觀測的情況，若諸觀測值 yi是不等精度的觀測，即它們服從不同的方差 σi2的正態(tài)分布 N(0， 1)，那么也不難證明，在這種情況下，最小二乘法可改為： 選取的參數(shù)估值應(yīng)使諸觀測值 yi與其估計(jì)值 之差的加權(quán)平方和為最小。 一、 問題背景 ? 在測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常需要根據(jù)兩個(gè)量的一批觀測數(shù)據(jù) (xi， yi)， i=1， 2， … ， n求出這兩個(gè)變量 Y與 X之間所滿足的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 Y＝f(X)。? 解決這類問題最常用的方法就是最小二乘法。這里 σ2為任選的正常數(shù)，它表示單位權(quán)方差。 一、線性參數(shù)的測量方程一般形式 線性參數(shù)的測量方程一般形式為 （ 57） 相應(yīng)的估計(jì)量為（ 58） 誤差方程其誤差方程為（ 59） 二、線性參數(shù)的誤差方程式的矩陣形式設(shè)有列向量 和 nt階矩陣 (n＞ t) 則線性參數(shù)的誤差方程式 (5—9) 可表示為 即 （ 510） 等精度測量最小二乘原理的矩陣形式即或（ 511） （ 512） 殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為 不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式最小二乘原理的矩陣形式為 或（ 514） （ 513） 式中的 P為 nn階權(quán)矩陣。 由此可見，最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理可以看做是最小二乘法原理的特例。不等精度測量的情況與此類似。解 ： 本例有一個(gè)約束條件這類約束條件容易消去，將 C＝ 180176。5′10″；? B＝ 60176。 下面首先討論等精度測量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)。 解：（ 1）列出誤差方程式中 , li—— 在溫度 ti下銅棒長度的測得值； α—— 銅的線膨脹系數(shù)。期望值為 n－ k。 正規(guī)方程 ? 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件： =最小共得 k個(gè)方程，稱 正規(guī)方程 ，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計(jì)值 (j＝ 1， 2， … ， k)。? 最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋求最可信賴值的問題。? 在一些情況下，即使函數(shù)值不是隨機(jī)變量，最小二乘法也可使用。 不等精度情況下的最小二乘法正規(guī)方程同樣地，根據(jù)數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)極值的條件：共得 k個(gè)方程，稱正規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計(jì)值 (j＝ 1， 2， … ， k)。 線性參數(shù)的不等精度測量還可以轉(zhuǎn)化為等精度的形式，從而可以利用等精度測量時(shí)測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理的全部結(jié)果。 第三節(jié) 精度估計(jì) 對測量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結(jié)果，不僅要給出待求量的最可信賴的估計(jì)量，而且還要確定其可信賴程度，即應(yīng)給出所得估計(jì)量的精度。 矩陣形式的結(jié)果表達(dá)利用矩陣的形式可以更方便地獲得上述結(jié)果。－ A－ B代入即可。 （ 1）測量方案及測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù) 組合測量的方案（ 2）誤差方程根據(jù)測量方案列出誤差方程誤差方程的矩陣形式（ 3）寫出誤差方程的相關(guān)矩陣（ 4）求解估計(jì)量 x x x3的最佳估計(jì)值由式（ 524）得式中所以最后解得（ 5）計(jì)算各次的測量誤差值 ν1 = － ν2 = ν3 = ν4 = ν5 = － ν6 = 將最佳估計(jì)值代入誤差方程得（ 6）計(jì)算各次測得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差= 因?yàn)槭堑染葴y量，測得數(shù)據(jù) l1， l2． l3， l4， l5， l6的標(biāo)準(zhǔn)差相同，