小二乘法ppt課件-wenkub
2023-05-14 01:03:31 本頁面
【正文】 (X)。? 在一些情況下，即使函數(shù)值不是隨機變量，最小二乘法也可使用。 現(xiàn)在的問題是一個參數(shù)估計問題：需要給出 a1， a2， … ，ak的估計值 ， ， … ， 。 二、最小二乘法準則與正規(guī)方程 在參數(shù)估計問題中， 最小二乘法的法則 是： 所選取的參數(shù)估計值 ， ， … ， 應使變量 Y的諸觀測值 yi與其真值的估計值 (又叫擬合值 )，即 f(xi； a1,a2， … ak)之差的平方和為最小。不等精度情況下的最小二乘法 以上是等精度觀測的情況，若諸觀測值 yi是不等精度的觀測，即它們服從不同的方差 σi2的正態(tài)分布 N(0， 1)，那么也不難證明，在這種情況下，最小二乘法可改為： 選取的參數(shù)估值應使諸觀測值 yi與其估計值 之差的加權平方和為最小。 不等精度情況下的最小二乘法正規(guī)方程同樣地，根據(jù)數(shù)學分析中求函數(shù)極值的條件：共得 k個方程，稱正規(guī)方程，求此聯(lián)立方程的解可得出諸參數(shù)估計值 (j＝ 1， 2， … ， k)。 假若觀測值不服從正態(tài)分布，則最小二乘估計并不是最大似然估計。但應該指出，作為一種公理來使用，最小二乘法仍然是可以接受的，而且可以證明，所得到的估計仍然具有一些很好的統(tǒng)計性質，這些性質是： (1)解是無偏的，即(2)解是觀測值的線性組合，且有最小方差。第二節(jié) 線性參數(shù)的最小二乘法 一般情況下，最小二乘法可以用于線性參數(shù)的處理，也可用于非線性參數(shù)的處理。 線性參數(shù)的不等精度測量還可以轉化為等精度的形式，從而可以利用等精度測量時測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理的全部結果。這個有確定解的代數(shù)方程組稱為最小二乘法估計的 正規(guī)方程 (或稱為法方程 )。2．等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 線性參數(shù)的誤差方程式為最小二乘法處理的正規(guī)方程為 （ 519） 這是一個 t元線性方程組．當其系數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求的估計量 線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式 正規(guī)方程 (5—19) 組，還可表示成如下形式 表示成矩陣形式為 線性參數(shù)正規(guī)方程的矩陣形式（ 521） 又因 有 即 （ 522） 若令 則正規(guī)方程又可寫成 （ 522） （ 523） 若矩陣 C是滿秩的，則有 的數(shù)學期望 因式中 Y、 X為列向量 (n 1階矩陣和 tl階矩陣 ) 可 見 是 X的無偏估 計 。 令 y0＝ a， αy0=b為兩個待估計參量，則誤差方程可寫為 (2) 列出正規(guī)方程為計算方便，將數(shù)據(jù)列表如下： 將表中計算出的相應系數(shù)值代人上面的正規(guī)方程得（ 3）求出待求估計量 求解正規(guī)方程解得待求估計量即按矩陣形式解算由正規(guī)方程，有則所以（ 4）給出實驗結果銅棒長度 yt隨溫度 t的線性變化規(guī)律為3．不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 ? 不等精度測量時線性參數(shù)的誤差方程仍如上述式 (5—9) 一樣，但在進行最小二乘法處理時，要取加權殘余誤差平方和為最小，即 用矩陣表示的正規(guī)方程與等精度測量情況類似，可表示為 （ 527） 即上述正規(guī)方程又可寫成（ 528） 該方程的解，即參數(shù)的最小二乘法處理為（ 529） 令則有 （ 530） 例 5—2? 某測量過程有誤差方程式及相應的標準差如下： 試求 x1， x2的最小二乘法處理正規(guī)方程的解。 第三節(jié) 精度估計 對測量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結果，
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