[理學(xué)]ch7特征值與特征向量-免費(fèi)閱讀
【正文】 凱萊出生于一個(gè)古老而有才能的英國(guó)家庭，劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，工作卓有成效，并利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)，發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文。 定理 74P116 方陣 Ａ 的 特征值 為 k重特征值，則其 i?對(duì)應(yīng)的線性無 關(guān)的特征 向量 的個(gè)數(shù)至多為 k個(gè) ． 例 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 2 1 25 3 3102A??????? ? ?????? ? 31AE??? ? ? ?.1321 ???? ???的特征值為所以 A? ? ,01 ???? xEA ?? 代入把 解之得基礎(chǔ)解系 ,)1,1,1( ?? T?故 不能化為對(duì)角矩陣 . A???????????????163053064A設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角 , P則求出可逆矩陣化例 2 .1 為對(duì)角陣使 APP ?解 ? ? ? ?212AE? ? ?? ? ? ? ?.2,1 321 ???? ???的全部特征值為所以 A? ? 得方程組代入將 0121 ???? xEA ???解之得基礎(chǔ)解系 ,0121?????????? ??? .1002????????????? ?3 2 0 ,A E x??? ? ? ?將 代 入 得 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系? ? .1,1,13 ??T?., 321 線性無關(guān)由于 ??? 所以 可對(duì)角化 . A? ??????????? ????110101102, 321 ???P令.200010001 1????????????? APP則有注意 ? ? , , 213???????????? ???P若令111?012?100. 1???????????? APP則有00 00002?11即矩陣 P的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)． 推論 如果 A有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則 A與對(duì)角陣相似． 定理 1 對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù) . 證明 ,p? 為 復(fù) 特 征 值 為 對(duì) 應(yīng) 的 復(fù) 特 征 向 量(1 ) TTpA pp p?? .TTp A p??第三節(jié)、對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 ,A p p??另 一 方 面 兩 邊 取 共 軛 轉(zhuǎn) 置 得 TTTp A p pp A pp ???(2) （ ） T Tp pp p? ??則說明 ：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，均指 實(shí)對(duì)稱矩陣 ． 0T pp ???? ? ? ? 為 實(shí) 數(shù) ,. ( ) 0iA E x??? 是 實(shí) 系 數(shù) 方 程 組從 而 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 以 取：實(shí) 向 量注., 221212121正交與則若是對(duì)應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值是對(duì)稱矩陣設(shè)定理ppppA?????證明 2 2 2 11 211 , , ,ppp ApA ? ? ?? ???,TAA?1 11 1T TT TpAp A p???于是 22 111T T ppAp p??? ?2211 212 2( ) ,TT Tp pA pppp ? ???? ?1 2 21 0 .T pp?? ??,21 ?? ?? .21 正交與即 pp .021 ?? pp T17 8 ( P 1 2 1 ) , , .A n A Q A n? ? ? ?定 理 設(shè) 為 階 對(duì) 稱 矩 陣 則 必 有 正 交 矩 陣 使其 中 是 以 的 個(gè) 特 征 值 為 對(duì) 角 元 素 的 對(duì) 角 矩 陣?yán)谜痪仃噷?duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣步驟 為： 二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法 將特征向量 施密特標(biāo)準(zhǔn) 正交化 。 為 的特征值． 性質(zhì) 74 2? 2A證明 因?yàn)? Ap p?? 所以 22() p pApA p A A? ?? ? ?所以 2? 是 的特征值， p是 的特征向量。d e t .1 EAA ??的特征多項(xiàng)式計(jì)算? ? 122. de t 0 , , , , 。 yxA?的線性變換。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?定義 方陣 Ａ 的主對(duì)角線上的元素之和稱為方陣 Ａ 的 跡 . 記為 ? ? iit r A a? ?4 1 10 0 0 4 0 1 34 1 1tr?????? ? ? ? ? ??????例如 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。 定理 74P116 方陣 Ａ 的 特征值 為 k重特征值，則其 i?對(duì)應(yīng)的線性無 關(guān)的特征 向量 的個(gè)數(shù)至多為 k個(gè) ． 1 2 22 2 42 4 2A?????? ? ??????EA ??由)1( ? ? ? ?72 2 ???? ??.7,2 321 ???? ???得.110,10221?????????????????????? ??? ?1 2 12 0 ,AE? ? ?? ? ? ?將 代 入 得3 7,? ??對(duì) 得?
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