【正文】 324。 本章總結(jié)： 信號(hào)的正交分解（ 正交函數(shù)與正交函數(shù)集，完備的正交函數(shù)集 , 常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集） 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（三角函數(shù)表示式、指數(shù)形式；周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系）； f(t)是偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含直流分量和余弦分量 f(t)是奇函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng) )]s i n()c os ([)( 1110 tnbtnaatf nnn?? ??? ?????????ntjnenFtf 1)()(1??周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)（單邊頻譜和雙邊頻譜；周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)；周期信號(hào)的功率譜）；離散性、諧波性、收斂性。求采樣頻率 fs。 奈奎斯特間隔： Ts＝ 1/(2fm)。 to()fto?1m?m??()F ?to? T sE()pto ?s?s??()P ?sE ????2o ?m?s?s??()sF ?sTE ?to T s()sft相乘 卷積 抽樣信號(hào)的頻譜 是以 ωs 為周期等幅地重復(fù)， 頻譜幅度受周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系數(shù)的加權(quán)。 ??0 1? 12?1??12??)( ?jF)( 1??四、一般周期信號(hào)的傅里葉變換 對(duì)于一般周期為 T的周期信號(hào) f(t)，其指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 對(duì)上式兩邊取傅里葉變換 ??????ntjnenFtf 1)()(1??????????????????nnnn nFnFF )(2)(2)( 11 ????????? 一般周期信號(hào)的傅里葉變換 (頻譜函數(shù) )是 由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)組成 。 ????? ??? jeetf jtj ??? ?由時(shí)域積分性 )2()2s i n (2)(0)2s i n (2)()( 39。39。 解： 因?yàn)?f（ t） =u(t)=1/2+(1/2)sgn(t) )()()()()()()()(21212211????bFaFtbftafFtfFtf?????則：若????????? jjF1)(221)(221)( ?????? 對(duì)稱性 證明： 因?yàn)? 將上式中變量 ω 和 t互換 )(2)()()( ??? ??? ftFFtf 則：若)(2)( ?? ?? ftF??? ? deFtf tj? ????? )(2 1)(??? ? deFtf tj? ???? ??? )()(2)}({)()(2 tFFdetFf tj ??? ? ???? ? ??? ? 傅里葉變換之間存在著 對(duì)稱關(guān)系 ，即 信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù) 的波形有著 互相置換 的關(guān)系。設(shè) E=1， T1=1/4， 解： 因?yàn)? 周期信號(hào)的平均功率為 在 有效頻譜寬度 內(nèi)信號(hào)的平均功率為 ?????? }{2 2423222120 FFFFFP BWSSS aaa )}54()53()5({5 25 1 22222 ???? ???故 在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號(hào)平均功率約占整個(gè)信號(hào)平均功率的 90%。 周期矩形信號(hào) 一個(gè)周期內(nèi) 的表達(dá)式為： )(tf?????????????11122202)(TtTETtEtf????????? ???6,4,205,3,12s i n)(2 10 11 nnnEt d tntfTbTn ??2E2E?21T?21T0)(tft1T(1)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)： 因此 )5s i n513s i n31( s i n2s i n12)(1115,3,11??????? ?????????ttEtnnEtfn得 11 , 3 , 521( ) c o s ( )2nEf t n tn????????)5,3,1(2)a rc t a n( ?????? nabnnn??nncb???????????6,4,205,3,12nnnE??????????????????????6,4,205,3,12)(21nnnjEbjjbaF nnnn ?（ 2）指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù) nc?1? 13? 15?0??E2?32E?52En?01? 13? 15?2??? ?2??2?n?15?? 13?? 1??1? 13? 15? ???nF?E?3E?5E1? 13? 15??1??13??15????)(tf2/E2/E?t1T1T? 41T41T?對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) )5c o s513c o s31(c o s2c o s)2(Sa)(11111?????? ???tttEtnnEtfn??????022 20101 ?? ? T dtETa0?nb)2(. ..6,4,20. ..5,3,12)s i n (124)c o s (24 4411144111111?????nSaEnnnEtnnETdttnETaTTTTn?????????????????ncE?1?13?15?17?nc?1?13? 15?E17?1? 13? 15? 17???n? 周期鋸齒脈沖信號(hào) E/2 t f(t) E/2 T1/2 T1/2 周期鋸齒脈沖信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。 ??? 2~0? 通常把 這段頻率范圍稱為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度 或信號(hào)的占有頻帶，記作 頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系 （ T1, ） ? 若 τ 不變， T1擴(kuò)大一倍 ，即 T1=4τ 1→ T2=8τ 1 ??t)(tf12TE1T?nc4E2E?1???2??4??t)(tfE1T?nc4E8E?1???2??4(1) 離散譜線的間隔 ω 1=2π /T 1將變小，即 譜線變密 。 雙 邊頻譜 若周期信號(hào) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 n?則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜 Fn 和相位頻譜 稱為 雙邊頻譜。 直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于周期信號(hào)的波形。這里 稱為抽樣函數(shù)。故函數(shù)集 {cosnt}在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi) 不是完備正交函數(shù)集 。 {f1(t)， f2(t),… , fn(t)}稱為 歸一化正交函數(shù)集 。第三章 傅里葉變換 ◆ 信號(hào)的正交分解 ◆ 傅里葉級(jí)數(shù) ◆ 周期信號(hào)的頻譜 ◆ 傅里葉變換 ◆ 抽樣信號(hào)與抽樣定理 將以上兩圖簡(jiǎn)化： 引 言 傅里葉級(jí)數(shù)的發(fā)展史： 1807年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉提出 “ 任何 ” 周期信號(hào)都可以利用正弦級(jí)數(shù)來(lái)表示。 ? ? ? ? ?? ?210)()(ttiri rikrid ttftf ( 3 6 )? ? ? ? ?? ?21 10)()(tt ri ririd ttftf ( 3 7 )二、 完備的正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集 {f1(t)， f2(t),… , fn(t) }之外，找不到另外一個(gè) 非零函數(shù) {fi(t)}與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為 完備正交函數(shù)集。 0c o ss i n10c o ss i n12020??????n t d ttnn t d ttn??時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)(3) 當(dāng) i≠r 時(shí) 對(duì)于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。 ),2,1,0)]} (([{ ??????? nnTtTS a ?xxxSas i n)( ? 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式： 從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。有： an是 nω 1的偶函數(shù)， bn是 nω 1奇函數(shù)， 〔 例 〕 如圖所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 單邊頻譜 若周期信號(hào) f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 )c os ()( 110 nnntncctf ?? ??? ?????????ntjnenFtf 1)()(1?? 周期矩形脈沖信號(hào) (1) 傅里葉級(jí)數(shù) ??t)(tf2?2?? 21T21T?1T1T?E0?nb112211001 1 14 4 2( ) c o s c o s Sa ( )2TnnnEa f t n td t E n td t cT T T? ?????? ? ? ???4 4 2 二、常用信號(hào)的頻譜 周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為 f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 nc1TE?12TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 12???2 ??4??2 ??4??n?（ 2）頻譜圖 nF1TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4??2 ??4??n?????2???4?nc1TE?12TE??1? 12???2??4nF1TE??1? 12???2??4nc1TE?12TE??1? 1