【正文】 有時(shí)考慮到經(jīng)小波分解后的低頻系數(shù)部分仍含 有一部分噪聲，就可以對低頻 (LL)部分進(jìn)行二級小波分解。如果信噪比很低， Sure 估計(jì)就有很大的噪聲，在這種情況下，就需要采用固定閾值形式Nn ln2?? ? ； 而在高信噪比情況下，基于 sure 產(chǎn)生的閾值抑制噪聲的效果不明顯，此時(shí)，利用啟發(fā)函數(shù)自動(dòng)在前兩種閾值選擇中選取一個(gè)較小者作為閾值的確定方法如下 ： 首先求出 DJ 閾值 Nnv ln2?? ? 和 Sure 閾值 ? ?21Bns X?? ? 接下來令 N NwNk k???????? ??12? (415) ? ?212 23logNN?? (416) 則 Heursure 閾值表現(xiàn)為 ? ????? ???? ??? svv ,min{ (417) (4) Minmax 閾值 它是按照極大極小準(zhǔn)則 (Minmax 準(zhǔn)則 )來選取閾值，采用的是一種固定的閾 值，它計(jì)器。 這個(gè)閾值公式還要有一個(gè)先驗(yàn)條件，就是必須知道噪聲的方差，而對于一幅具體的圖像來說，我們不可能預(yù)先知道噪聲的方差，因此必須對噪聲的方差采用第一層細(xì)節(jié)信號來估計(jì)噪聲的方差。全局閾值對各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一的 。 用 Matlab 進(jìn)行小波降噪時(shí) ,閾值處理方法有 3 種： （ 1）默認(rèn)閾值消噪處理。該節(jié)首先產(chǎn)生一個(gè)實(shí)驗(yàn)信號，然后對小波去噪時(shí)各種參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了詳細(xì)的對比研究，最后用 MATLAB 語言對小波去噪進(jìn)行仿真。 Gbl（ global）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。 其語法格式為 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。從直觀上講 ,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 去噪性能參數(shù)的定義： 將原始信號 x(n)作為標(biāo)準(zhǔn)信號，則經(jīng)去噪后的估計(jì)信號 )(nx? 的信噪比（ SNR）公式定義為： ? ??????????????????? ?? ???nnnxnxnxS N R)()(l o g102 (49) 原始信號與估計(jì)信號之間的均方根誤差（ RMSE）定義如下： ? ?????? ???nnxnxnR M SE 2)()(1 (410) 設(shè)原始圖像為 }10,10),({ ?????? NnMmnmf ，去噪后的圖像為：}10,10),({ ?????? NnMmnmg ，則峰值信噪比（ PSNR） 可以定義為： ? ?? ??????? 101022),(),(1255lg10MmNnnmfnmgMNP S N R (411) 信號 的信噪比越高，原始信號和去噪信 號的均方根誤差越小，去噪信號就越接近原信號，去噪的效果也就越好。對 f(k)連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號 s(k)各尺度上小波系數(shù) kjW, 在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)于原始信號 s(k)的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的 kjW, 較小，對于白噪聲 n(k)，它對應(yīng)的小波系數(shù) kjW, 在每個(gè)尺 度上的分步不都是均勻的，并隨尺度的增加， kjW, 系數(shù)的幅值減小。可以直接調(diào)用 ,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲?MATLAB 函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的 MATLAB 愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用。到 20 世紀(jì) 90 年代，MATLAB 已成為國際控制界的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件。對于一幅圖，其邊緣、細(xì)節(jié)和跳躍部分部分代表圖像的高頻分量，而大面積的背景區(qū)和緩慢變化部分則代表圖像的低頻分量，用頻域低通濾波法去除其高頻分量就呢個(gè)去除噪聲，從而使圖像得到平滑。 其他濾波器 在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中，通常還有一些濾波器設(shè)計(jì)方法 。諧波均值濾波器善于處理高斯噪聲，它對于正脈沖 (即鹽點(diǎn) )噪聲效果比較好，但是不適合于負(fù)脈沖 (即胡椒點(diǎn) )噪聲。 線性濾波器 線性濾波器是通過取樣值的線性組合來計(jì)算得到估計(jì)值。有一類叫做“ 干涉測量法”。 當(dāng)相干光射到物體表面時(shí)，就會(huì)反射回去。 被計(jì)數(shù)的電子數(shù)目 N 可以寫成： roth NNNN ??? 1 (37) 其中 IN 是圖像的電子數(shù)， thN 是熱噪聲的電子數(shù)， roN 是讀出噪聲的影響。在這個(gè)變化的過程中，那些沒有改變的晶粒就被清除了。該噪聲也被稱為泊松噪聲或者播送技術(shù)噪聲。其尾部噪聲是極其輕的。 有椒鹽噪聲產(chǎn)生的一個(gè)例子就是在有噪數(shù)字鏈接中的圖像傳輸。例如，對于大值的 x， 高斯型以 )2exp(22 ?x?的速度趨近于 0，而二重指數(shù)密度會(huì)以 )exp( ?x?的速度趨近于 0。 均值為 ? 方差為 2? 的一元高斯噪聲密度函數(shù) n 為 2221 2)()2()( ?? uxexp n ??? ? (33) X 的取值為 ????? x 。 設(shè) g(x)表示圖像。 空間 ??RL2 的多分辨分析是指構(gòu)造該空間內(nèi)一個(gè)子空間列 ? ?ZjjV ?，使其具有以下性質(zhì)： (1) 單調(diào)性（包容性 ） : ?? ?????? ?? 21012 VVVVV (2) 逼近性： ? ? ? ?0,2 ???????? ???????? ?? j fj fVRLVc los e (3) 伸縮性： ? ? ? ? 12 ???? jj VtVt ?? (4) 平移不變性： ? ? ? ? ZkVktVt jjj ?????? ? ,2 1?? (5) Riesz 基存在性：存在 ?? 0Vt ?? ，使得 ? ?? ? Zkj kt ?? ?2? 構(gòu)成 jV 的 Riesz 基。21,2 ，這時(shí) ? ? ? ? ? ?kttt jjkba jj ??? 22 2/2,21, ??? (217) 常簡寫為： ??tkj,? 。 （ 4）內(nèi)積定理（ Moyal 定理） ：設(shè) RLtxtx 221 )(),( ? ，它們的 CWT 分別為 ),(1 baWTx和),(2 baWTx ，則有： )(),(),(),( 2121 txtxCbaWTbaWT xx ?? (215) 式中 ? ?? ??02)( dwwwC? 。 連續(xù)小波變換 (CWT)定義為 ：設(shè)函數(shù) f(t)平方可積， )(t? 表示 )(t? 的復(fù)共軛，則 f(t)的連續(xù)小波變換為： dta bttfattfbaWT baf ? ???? ??? )()(1)(),(),( , ?? (213) 由 CWT 的定義可知 ，小波變換同傅立葉變換一樣，都是一種積分變換。則 x(t)的小波變換（ wavelet transform, WT）定義為 ? ? ?????? )(),()()()(1),( ,* ,* ttxdttxdta bttxabaWT babax ??? (28) 小波變換可理解為用一組分析寬度不斷變化的基函數(shù)對 x(t)做分析，這一變化正好適應(yīng)了對信號分析時(shí)在不同頻率范圍需要不同的分辨率這一基本要求。設(shè) )()( 2 RLxg ? ,而且 0)()( 2 ??? dxxgxg ，如果???????? dxxgx 2)( ，則稱 )(xg 是一個(gè)窗函數(shù)。傅 立 葉變換在信號分析和圖像處理等領(lǐng)域里有著重要的應(yīng)用 ，能將信號的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，是信號分析與信 號處理的重要工具。這一優(yōu)越的局部分析性能，使小波分析在數(shù)據(jù)壓縮、邊緣檢測、信號處理和語音分析等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。它是 20 世紀(jì) 80 年代初，由 Morlet 在分析研究地球物理信號時(shí)提出來的，是一種剛剛發(fā)展，但具有強(qiáng)大生命力的新學(xué)科技術(shù)。對傅里葉變換和小波變換進(jìn)行了分析，分析了它們各自之間的 區(qū)別和聯(lián)系 ，指出小波變換適合信號處理的原因，同時(shí)介紹了小波變換的數(shù)學(xué)背景，這是后面討論 的理論基礎(chǔ)。 Chen 等人根據(jù)圖像小波系數(shù)在小波分解后的相關(guān)性 ，提出了使用鄰域小波系數(shù) 的圖像閾值去噪算法。 Johnstone 等人 1997 年給出一種相關(guān)噪聲去除的小波閾值估計(jì)器。陳德智、劉貴忠、趙瑞珍 等人分別對小波系數(shù)的重構(gòu)問題作了進(jìn)一步的研究和改進(jìn) ，提出了較易實(shí)現(xiàn)的算法。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努 力下 ，小波去噪技術(shù)在信號處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。由于采用了多分辨率的方法 ， 所以可以非常好地刻畫信號 的非平穩(wěn)特征 ， 如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等 ， 可在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲分布 特點(diǎn)進(jìn)行去噪 ； (3)去相關(guān)性。出于對非平穩(wěn)信號和突變信號的分析的迫切要求 ,法國地球物理學(xué)家 Morlet 于 1984 年提出了一種新的線性時(shí)頻分析方法 ——小波分析理論 ,為機(jī)械 故障診斷中的非平穩(wěn)信號分析 ,弱信號提取，信號濾波等提供了一條有效的途徑?，F(xiàn)代醫(yī)學(xué)中 , 影像被廣泛應(yīng)用于診斷和治療 , 是必不可少的手段和工具 . 醫(yī)學(xué)圖像的好壞直接影響著醫(yī)生對病情的診斷和治療 . 醫(yī)學(xué)圖像在獲得的過程中 都會(huì)混有各種噪聲 , 因此有必要進(jìn)行去噪研究 。摘 要 小波分析理論是一種新興的信號處理理論，它在時(shí)間上和頻率上都有很好的局部性，這使得小波分析非常適合于時(shí) — 頻分析，借助時(shí) — 頻局部分析特性，小波分析理論已經(jīng)成為信號去噪中的一種重要的工具。 如何減少甚至消除噪聲一直是圖像處理研究中的課題之一。 從數(shù)學(xué)上看，小波去噪本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在由小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對原信號的最佳逼近，完成原信號和噪聲信號的區(qū)分。因小波變換可對信號去相關(guān) ， 且噪聲在變換后有白化趨勢 ， 所 以小波域比時(shí)域更利于去噪 ； (4)選基靈活性。早期的小波去噪工 作類似有損壓縮技術(shù) ，即先對含噪信號進(jìn)行 正交小波變換，再選定一個(gè)固定的閾 值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍 ，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu) 恢復(fù)原信號 ，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用 。 Xu 等人于 1994 年提出了一種基于空域相關(guān)性的噪聲去除方法 ， 根據(jù)信號與噪聲的小波變換系數(shù)在相鄰尺度之間的相關(guān)性進(jìn)行濾波 ，該方法雖不夠精確，但很直接， 易于實(shí)現(xiàn)。 Nowak 于 1997年提出 Cross Validation 方法進(jìn)行最優(yōu)信號估計(jì) ，同年 Jansen 等人采用 GCV(Generalized Cross Validation)估計(jì)器來估計(jì)小波閾值 ，從而對圖像中的相關(guān)噪 聲進(jìn)行去除。Zhang 等人提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像去噪算法。 其次 ，介紹了幾種經(jīng)典的噪聲的類型，并介紹了幾種經(jīng)典的去噪方法和 Matlab 仿真工具，接著給出了小波消噪綜述。近些年來，小波分析成為信號處理研究的熱點(diǎn)，不僅僅在理論上取得了很多突破性的進(jìn)展，而且還在圖像處理、語音信號處理、地震信號處理以及數(shù)據(jù)壓縮處理等許 多領(lǐng)域中得到了極廣泛的應(yīng)用。近年來小波理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展，人們構(gòu)造出同時(shí)具有多種優(yōu)良性質(zhì)的小波，同時(shí)也從另外一個(gè)角度去放寬正交小波基的條件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波理論不斷完善。傅 立 葉變換有很強(qiáng)的頻域定位和頻域局部化能力 ，但是沒有 時(shí)間定位和時(shí)間局部化能力。 )(xg 的中心 )(gE 和半徑 )(g? 分別定義為： )(gE dxxg dxxgx 2 2)( )(???????????? )(g? =dxxgdxxggEx222)()()]([?? ???? ????? (24) 如果窗函數(shù) )(xg 的傅立葉變換 )(wG 也滿足窗函數(shù)的條件， )(wG 的頻率中心 )(GE 和頻窗半徑 )(G? 分別定義為： )(GE dwwG dwwGw 2 2)( )(???????????? )(G? =dwwGdwwGGEw222)()()]([?? ???? ????? (25) 對任意固定的 t 和 w，加窗傅立葉變換 給出了信號在時(shí)頻平面上的一個(gè)時(shí)頻窗 )]()(),()([)]()(),()([ GwGEGwGEttgEttgE ????????????? (26) 選定窗口函數(shù) )(xg 之后 ，這個(gè)時(shí)頻窗是時(shí)頻平面上的一個(gè)具有固定面積)()(4 Gg?? 的矩形。 令 x(t)的傅里葉變換為 )(?X ， )(t? 的傅里葉變換為