【正文】 顆粒捕獲。以 下是一個攝影過程的簡單模型： 攝影膠片是由數(shù)百萬個晶粒組成的。以 a 表示圖像中某些地方（一個像素）的所計(jì)的光子數(shù)目。一些學(xué)者用均衡噪聲來模擬其他圖像損壞，例如，混色信號。 （ 3） 椒鹽噪聲 椒鹽噪聲指的是廣泛存在于多種處理過程，這些過程導(dǎo)致了相同的 圖像退化：僅僅小部分的像素被噪聲污染，但是噪聲非常嚴(yán)重。甚至當(dāng)某個密度函數(shù)的中心接近高斯型，但其尾部有可能不是。高斯噪聲廣泛應(yīng)用于熱噪聲和某些理想情況，在這些情況下它限制其它噪聲的作用。噪聲對圖像信號的幅度和相位的影響十分復(fù)雜，有些噪聲和圖像信號相互獨(dú)立不相關(guān)，有些事相關(guān)的，噪聲本身之間也有可能是相關(guān)的。進(jìn)行下一層小波變換時，變換數(shù)據(jù)集中在 LL 頻帶上，圖 22 所示為3 層小波變換的系數(shù)分布。由連續(xù)小波變換的時 — 頻分析 得知 質(zhì)因數(shù)不變 ，因此我們可以對尺度因子 a 按二進(jìn)的方式離散化 ，得到的二進(jìn)小波 和二進(jìn)小波變換 ，之后再將時間中心參數(shù)b 按二進(jìn)整數(shù)倍的方式離散化 ，從而得 到正交小波和函數(shù)的小波級數(shù)表達(dá)式 ，真正實(shí)現(xiàn)小波變化的連續(xù)形式和離散形式 在普通函數(shù)形式上的完全統(tǒng)一。 （ 3）尺度變換：若 x(t)的 CWT 為 ),( baWTx ， 0?? ，則 )( ?tx 的 CWT 為 ),( ??? baWTx。 連續(xù)小波變換 設(shè) )(t? 是平方可積函數(shù) ，即 )(t? )(2 RL? ，若 )(t? 的傅立葉變換 )(w? 滿足條件： ???? ???? d2)( (211) 則稱 )(t? 為一個基本小波或小波母函數(shù)，稱式 (211)為小波函數(shù)的可容許性條件。當(dāng) )(?? 滿足下面的允許條件時 ??????? ? dC R 2)(? (2 7) 則 )(t? 就是一個基本函數(shù)，令 )(1)(, a btatba ?? ?? 式中 ， a， b 均為常數(shù)，且 a0。因?yàn)樾盘柕念l率反比于其時間周期長 ， 因此對高頻譜信息而言 ，時間區(qū)域應(yīng)相對窄，而對低頻譜信息而言，時間區(qū)域應(yīng) 相對寬 ，即應(yīng)給一個可調(diào)時頻窗， Fourier 分析不能做到這一點(diǎn) ，從而不適于做局 部分析。 FFT(快速 Fourier 變換 )的提出更使 Fourier 方法從理論走向?qū)嵺` ， 成為大們進(jìn)行分析的強(qiáng)有力工具。 一般說來，傳統(tǒng)上使用 Fourier 分析的地方，現(xiàn)在都可以用小波分析并能夠取得更好的結(jié)果，小波分析能對幾乎所有的常見函數(shù)空間給出簡單的刻畫，也能用小波展開系數(shù)描述函數(shù)的局部性質(zhì)。 最后為全文的工作的總結(jié)。閾值法由于具有能得到原始信號的近似最優(yōu)估計(jì)、計(jì)算速度快以及具有廣泛適應(yīng)性等優(yōu)點(diǎn)，是小波去噪方法中應(yīng)用最廣泛的一種，因此是本論文中主要研究的去噪方法。 Oktem等人提出了一種 Filmgrain 型噪聲的去除與含噪圖像壓縮的變換域方法。 Donoho 和 Johnstone 等人于 1994 年提出了信號去噪的軟閾值方法和硬閾值方法(WaveShrink)， 還給出了 t=σ2ln(N) 的閾值 ，并從漸進(jìn)意義上證明了 WaveShrink 的最優(yōu)性 ；同年 Coifman 和 Donoho 提出了平移不變小 波去噪。 Mallat 提出的交替投影方法較好地解決了這個問題。 在這一點(diǎn)上 ，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地 保留邊緣 ，是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性，小波變化后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 )處的系數(shù)幅值變大 ，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特 征提取和保護(hù)。 小波去噪的成功主要在于小波變換有如下特點(diǎn) : (1)低熵性。尋求一種既能有效地減小噪聲，又能很好地保留 信號 原始信息的方法，是人們一直追求的目標(biāo) 。去除圖像的噪聲是圖像處理過程中的一個重要環(huán)節(jié)，其結(jié)果直接影響到圖像質(zhì)量和特征提取的精確性。小波去噪的關(guān)鍵是如何選擇閾值和如何利用閾值來處理小波系數(shù)，通過對小波閾值化去噪的原理介紹 ,運(yùn)用 MATLAB 中的小波工具箱，對一個含噪信號進(jìn)行閾值去噪，實(shí)例驗(yàn)證理論的實(shí)際效果，證實(shí)了理論的可靠性。在圖像處理中如何有效地去除噪聲 , 提取圖像信息變得尤為重要。從信號分析的角度看，小波去噪是信號濾波問題，盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于去噪后還能成功地保留圖像特征，在這一點(diǎn)上又優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器，所以小波去噪實(shí)際上是 特征提取和低通濾波功能的綜合。 小波分析是時頻分析方法 ， 具有良 好的時頻局部性 ， 并且有快速算法 (Mallat 算法 )加以實(shí)現(xiàn)。其基本原理是在小波變換域內(nèi)去除由噪聲對應(yīng)的模極大值點(diǎn) ，僅保留由真實(shí)信號所對應(yīng)的模極大值 點(diǎn)。潘泉等人推導(dǎo)出噪聲 能量閾值的理論計(jì)算公式 ，并給出了一種估計(jì)信號噪聲方差的有效方法， 使得空域相 關(guān)濾波算法具有自適應(yīng)性。事實(shí)上 PRESS最優(yōu)非線性小波濾波方法也是介于軟閾值和硬閾值之間的一種方法。 總之 ， 目前小波去噪方法的研究非?；钴S ，不斷有新的方法出現(xiàn)，尤 其是有關(guān) Gaussian 噪聲的去除已取得了不少好的結(jié)果。 再次 ，為一維信號和二維圖像小波變換去噪算法的研究。小波分析屬時頻分析的一種。小波分析與 Fourier 分析的區(qū)別在于， Fourier 分析只考慮時域和頻域之間的一對一的映 射，它以單個變量（時間或頻率）的函數(shù)表示信號，時頻分析在時頻平面上表示非平穩(wěn)信號，小波分析則聯(lián)合時間，尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號，小波分析描述非平穩(wěn)信號雖然也在二維平面上，但不是在時頻平面上，而是在時間— 尺度平面上，在小波分析中，人們可以在不同尺度上來觀察信號，這種對信號分析的多尺度觀點(diǎn)是小波分析的基本特征。受海森堡測不準(zhǔn) 原理的制約， 時間分辨率和頻率分辨率不可能同時達(dá)到最好 ，也無法根據(jù)信號的特點(diǎn)來自動調(diào) 節(jié)時域及頻域的分辨率。但是當(dāng)窗口函數(shù)選定以后 ，它不能隨著所要分析的的信號成份在高 頻信息和低頻信息而相應(yīng)變化 ，對非平穩(wěn)信號的分析能力是很有限的，不適合分 析頻帶較寬的頻譜。這說明連續(xù)小波的局部是變化的，在高頻時分辨率高，在低頻時分辨率低。 CWT 系數(shù)具有很大冗余量 ，從節(jié)約計(jì)算量來說，這是它的缺點(diǎn)之一，但是從 另一方面來講 ，我們可以利用 CWT 的冗余性實(shí)現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的目的 ，其冗 余性又成為CWT 不可替代的優(yōu)勢。 離散小波變換 通常用冗余度這一概念來衡量函數(shù)族是否構(gòu)成正交性 ，若信號損失部分后仍 能傳遞同樣的信息量 ，則稱此信號有冗余，冗余的大小程度稱為冗余度。 假定 ? 是一個 R 函數(shù)，那么存在 ??RL2 的一個 唯一的 Riesz 基 ? ? Zkjkj ?,? ，它在意義 Zmlkjmkljmlkj ?? , , ???? 上與 ? ?kj,? 對偶。 本章是小波分析的理論基礎(chǔ)。 第二常用的分解就是乘性的，即 )()()( xnxfxg ?? (32) 散斑就是通常被模擬為乘性噪聲的一個例子。 （ 2） 重尾噪聲 很多情況下，中心極限定理的條件都只是差不多滿足而不是十分滿足和函數(shù)中的項(xiàng)可能不是足夠的多，或者那些項(xiàng)不是充分的獨(dú)立，或者其中小部分的項(xiàng)對和提供的數(shù)據(jù)不均衡。大多數(shù)時間，中心極限定理的條件還是很好的被滿足，而噪聲也是高斯型。在圖像中，量化噪聲常常出現(xiàn)在數(shù)據(jù)收集過程。有連續(xù)不變顏色的很大區(qū)域被清晰的邊界分隔。而此時泊松分布就與均值和方差值都等于 ? 的高斯分布很接近。 (7) CCD 成像 大約在過去的 20 年， CCD（電荷耦合裝置）成像已經(jīng)作為主流的成像形式取代了攝影成像。信噪比（忽略其他噪聲的影響）是 ??? ? 。這種變異被稱為相干光引起的散斑。 常用濾波器 當(dāng)一幅圖像被加性噪聲污染 時，其表達(dá)形式為 : ),(),(),( yxnyxfyxg ?? (38) 通?？梢赃x擇空域?yàn)V波的方法進(jìn)行去噪處理。 整個圖像濾波中的線性估計(jì)更加復(fù)雜，有兩個重要的原因：第一，噪聲可能不是獨(dú)立同一分布， 第二，更常見的是無噪圖像沒有被很好的模擬為恒值。 順序統(tǒng)計(jì)濾波器 順序統(tǒng)計(jì)濾波器的輸出基于由濾波器包圍的圖像區(qū)域中像素點(diǎn)的排序，濾波器在任意點(diǎn)的輸出由排序結(jié)果決定。將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域的方法很多，如傅立葉變換，余弦變換，小波變換等。 ),( vuD 代表從頻率平面的原點(diǎn)到 (u,v)點(diǎn)的距離。 MATLAB 和 Mathematica、 Maple 并稱為三大 數(shù)學(xué) 軟件。這個問題可以表述為： ))(m i n (a r g so p t ff ?? ?? (41) )(ff optopt ?? （ opt 代表最優(yōu)解） (42) ns fff ?? ， sf 為原圖像， nf 為噪聲圖像 (43) 為實(shí)際圖像｝ff{?? ， },){( 212 jj Jjsp a nW ?? ?? (44) 的函數(shù)空間影射｝為 W???? ??{ (4 5) 由此可見 ，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映 射 ，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。一般軟閾值估計(jì)定義為 ? ?? ??? ????kjkjkjkjkj W WWWs ighW, ,0 ,)(({ (48) 圖像質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn) 圖像質(zhì)量的含義包括兩個方面 ， 一是圖像的逼真度 ， 一是圖像的可懂度。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。這里主要介紹函數(shù) ddencmp。wname39。wname39。 THR 為閾值向量，長度為 N。如果閾值較小，去噪后的圖像信號與輸入比較接近，但是殘留了較多噪聲。該方法是將小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部置為 0所有高頻部分 ,然后對信號進(jìn)行小波重構(gòu)。 (1) VisuShrink 閾值 也稱為通用閾值，是 Donoho 和 Johnstone 提出的，是最早的小波閾值萎縮去噪方法。 (2) Sureshrink 閾值 也稱為 Stein 無偏風(fēng)險閾值，是一種基于 Stein 的無偏似然估計(jì) (Stein39。當(dāng)信號只有少量的高頻系數(shù)位于噪聲范圍之內(nèi)時， Minmax 和 SureShrink 閾值選取規(guī)則更加保零，不容易丟失真實(shí)信號成分，因此，在信號的高頻信息有很少一部分在噪聲范圍內(nèi)時，這兩種閾值選取規(guī)則非常有用，可以將弱小的信號提取出來。從 圖像處理的角度來看，具有相同能量大小的光滑誤差比非正則誤差在視覺上有更好的容忍度，所以對小波基要求一定的正則性，以求獲得更好的重構(gòu)圖像的質(zhì)量。選取r=205541586，在上述信號中加入高斯白噪聲，設(shè)置信噪比為 snr=3,產(chǎn)生有噪信號，利用小波對信號進(jìn)行分解，然后分別通過 heursure 閾值信號消噪處理， rigrsure 閾值信號消噪處理， sqtwolog 閾值信號消噪處理，以及 minimaxi 閾 值信號消噪處理，得到閾值消噪處理后的信號。對一個給定的閾值 ? ，得到它的似然估，再將非似然 ? 最小化，就得到所選的閾值，它是一種軟件估計(jì)器。閾值的選擇滿足 Nn ln2?? ? (412) 其中 n? 是噪聲的均方差， N 為信號的長度尺寸。 （ 3）給定閾值消噪處理。在小波域閾值去噪中，閾值的選 取直接影響濾波效果。參數(shù) KEEPAPP 取值為 1，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化。該函數(shù)是二維小波降噪的導(dǎo)向函數(shù)。lvd39。該函數(shù)是降噪和壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過程的所有默認(rèn)值。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失 真等現(xiàn)象，而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。無論是圖像的逼真度還是可懂度 ， 目前還沒能建立人眼視覺特性的準(zhǔn)確模型 ， 因而對圖像質(zhì)量的評價還帶有一定的主觀性。由此可見， 小波濾波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合 ，其等效框圖如圖 41 所示。 MATLAB 可以進(jìn)行 矩陣 運(yùn)算、繪制 函數(shù) 和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn) 算法 、創(chuàng)建用戶界面 、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于 工程計(jì)算、控 制設(shè)計(jì)、信號處理與通訊、 圖像處理 、 信號檢測 、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。與 ILPF 不同，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的不連續(xù)性，因此其空域響應(yīng)沒有“振鈴”現(xiàn)象發(fā)生，模糊程度減少，一個 n階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為： ? ?nDvuDvuH 20),(1 1),( ?? (323) ? ?? ?nDvuDvuH 20),(121 1),( ??? (324) 與理想低通相比，它保留有較多的高頻成分，所以對噪聲的