【正文】 一維信號(hào)小波閾值去噪仿真： 在 MATLAB 的 WAVE 工具箱中，具有一維離散小波的多種小波變換函數(shù)。 VisuShrink 閾值方法是針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號(hào)的概率趨于零，是基于最小最大估計(jì)得出的最優(yōu)閾值。若閾值較大，則得到較多為零的小波系數(shù)，對(duì)于軟閾值策略重建圖像變得模糊，硬閾值策略下的重建圖像包含較多的偽邊緣。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp 的功能是使用小波進(jìn)行降噪。 函數(shù) ddencmp 的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。所謂圖像的逼真度是描述被評(píng)圖像與標(biāo)準(zhǔn)圖像的偏離程度 ， 而圖像的可懂度則是表示圖像向人或機(jī)器提供信息的能力。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在 數(shù)值計(jì)算 方面首屈一指。每種變換域得到的系數(shù)都有不同的特點(diǎn)，合理地處理變換系數(shù)通過(guò)反變換到空間域的圖像可以有效的達(dá)到去噪目的。如果無(wú)噪圖像部分服從高斯分布而且噪聲也是高斯模型，那么最好的估計(jì)是著名的維納濾波器。 恒星的閃爍與相干光引起的光斑相似，但是也有很大的不同。 CCD按光電原理完成工作。其影響與將平滑的斜坡變成一組離散階梯相似。然而，在某些情況下，也存在晴天霹靂。 下面，將介紹幾種經(jīng)典的噪聲模型： （ 1） 高斯噪聲 高斯噪聲是一種具有正態(tài)分布，也稱為高斯分布，概率密度函數(shù)的噪聲。這時(shí)，每個(gè) ? ? ? ?RLtf 2? 有如式 (218)的唯一級(jí)數(shù)表示： ? ? ? ?? ????? ????? j k kjkj tftf , ?? (2 18) 特別地，若 ? ?Zkjkj ?,?構(gòu)成 ??RL2 的規(guī)范正交基時(shí)，有 kjkj , ?? ? 重構(gòu)公式為： ? ? ? ?tftf j kjk kj? ????? ????? , ?? (2 19) 圖像可以看作是二維的矩陣，一般假設(shè)圖像矩陣的大小為 NN? ，且有 nN 2? （ n 為非負(fù)的整數(shù)）。 連續(xù)小波變換是一種線形變換，它具有以下幾方面的性質(zhì)： （ 1） 疊加性：設(shè) )(tx ， )()( 2 RLty ? ， 21,kk 是任意常數(shù)， x(t)的 CWT 為 ),( baWTx ，y(t)的 CWT 為 ),( baWTy ， )()()( 21 tyktxktz ?? ，則 z(t)的 CWT 為： ),(),(),( 21 baWTkbaWTkbaWT yxz ??? (214) （ 2）時(shí)移不變性：若 x(t)的 CWT 為 ),( baWTx ，則 )( 0ttx ? 的 CWT 為 ),( 0tbaWTx ? 。而我們希望對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)窗口要窄一些 ，對(duì)低頻信 號(hào)分析時(shí)窗口要寬一些 ，而小波變換可以根據(jù)頻率的高低自動(dòng)調(diào)節(jié)窗口的寬度， 具有敏感的變焦距特性 ，能夠滿足我們分析的需要。本章給出了關(guān)于小波分析的一些基本概念、定理及算法。 第四步是 Matlab 仿真實(shí)驗(yàn)。 Speckle 噪聲實(shí)際上是一種乘性噪聲 ，其去除方法由 Fukuda 等人提出 ，隨后又 有不少學(xué)者對(duì)乘性噪聲的去除作了進(jìn)一步的研究。然而僅僅利用這些有限的模極大值點(diǎn)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu) ，誤差是很大的。小波變換能夠很好地保留邊緣 (這是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性 )，小波變換后，由于對(duì)應(yīng)圖像特征 (邊緣等 )處的系數(shù)幅值較大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。 本文設(shè)計(jì)了幾種小波去噪方法，其中的閾值去噪的方法是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、效果較好的 小波去噪方法。 信號(hào) 在生成和傳輸?shù)倪^(guò)程中會(huì)受到各種各樣噪聲的干擾，對(duì)信息的處理、傳輸和存儲(chǔ)造成極大的影響。 國(guó)內(nèi)外研究歷史和現(xiàn)狀 在早期 ，人們通 過(guò)對(duì)邊緣進(jìn)行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。 Stanford 大學(xué)以 Donoho 為首的一個(gè)學(xué)術(shù)群體致力于信號(hào)的去噪 ，取得了大量 的成果。此外 ，還有基于投影原理 的匹配追蹤 （ matching persuit） 去噪法以及多小波 （ multiwavelet）去噪法等。它克服了短時(shí)傅里葉變換固定分辨率的缺定，即能分析信號(hào)的整個(gè)輪廓，又可以進(jìn)行信號(hào)細(xì)節(jié)的分析。由定義可知屬于某一給定的區(qū)間反映不出 )(tf 在其時(shí)間區(qū)域上的信息。總的來(lái)說(shuō)，小波變換具有更好的時(shí)頻窗口特性?，F(xiàn)在的問(wèn)題是 ，怎樣離散化才能得 到構(gòu)成空間 )(2 RL 的正交小波基。 第 3 章 經(jīng)典噪聲類型及去噪方法 經(jīng)典噪聲類型 噪聲是造成圖像退化的重要因素之一，數(shù)字圖像的噪聲主要來(lái)源于數(shù)字化過(guò)程和傳輸過(guò)程。這是一種值得注意的情況。 就像我們應(yīng)該知道的那樣，量 化噪聲通常都被建模為均衡噪聲。它限制照片的擴(kuò)放效果。有時(shí)可以增加圖像的密度（例如，攝影師的閃光）、增加開(kāi)槽（例如，大望遠(yuǎn)鏡）或者延長(zhǎng)曝光時(shí)間。濾波器的輸入為受噪聲 n(x,y)污染而退化的圖像g(x,y)， 如式 （ 38） 所示。中值濾波器對(duì)單極或雙極脈沖噪聲效果非常好。與 ILPF 不同，它的通帶與阻帶之間沒(méi)有明顯的不連續(xù)性，因此其空域響應(yīng)沒(méi)有“振鈴”現(xiàn)象發(fā)生，模糊程度減少，一個(gè) n階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為： ? ?nDvuDvuH 20),(1 1),( ?? (323) ? ?? ?nDvuDvuH 20),(121 1),( ??? (324) 與理想低通相比，它保留有較多的高頻成分，所以對(duì)噪聲的平滑效果不如理想低通濾 波器。由此可見(jiàn)， 小波濾波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合 ，其等效框圖如圖 41 所示。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失 真等現(xiàn)象，而軟閾值處理相對(duì)較光滑，但可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。lvd39。參數(shù) KEEPAPP 取值為 1，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化。 （ 3）給定閾值消噪處理。對(duì)一個(gè)給定的閾值 ? ，得到它的似然估，再將非似然 ? 最小化，就得到所選的閾值，它是一種軟件估計(jì)器。從 圖像處理的角度來(lái)看，具有相同能量大小的光滑誤差比非正則誤差在視覺(jué)上有更好的容忍度，所以對(duì)小波基要求一定的正則性，以求獲得更好的重構(gòu)圖像的質(zhì)量。 (2) Sureshrink 閾值 也稱為 Stein 無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值，是一種基于 Stein 的無(wú)偏似然估計(jì) (Stein39。該方法是將小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部置為 0所有高頻部分 ,然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波重構(gòu)。 THR 為閾值向量，長(zhǎng)度為 N。wname39。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。這個(gè)問(wèn)題可以表述為： ))(m i n (a r g so p t ff ?? ?? (41) )(ff optopt ?? （ opt 代表最優(yōu)解） (42) ns fff ?? ， sf 為原圖像， nf 為噪聲圖像 (43) 為實(shí)際圖像｝ff{?? ， },){( 212 jj Jjsp a nW ?? ?? (44) 的函數(shù)空間影射｝為 W???? ??{ (4 5) 由此可見(jiàn) ，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映 射 ，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。 ),( vuD 代表從頻率平面的原點(diǎn)到 (u,v)點(diǎn)的距離。 順序統(tǒng)計(jì)濾波器 順序統(tǒng)計(jì)濾波器的輸出基于由濾波器包圍的圖像區(qū)域中像素點(diǎn)的排序，濾波器在任意點(diǎn)的輸出由排序結(jié)果決定。 常用濾波器 當(dāng)一幅圖像被加性噪聲污染 時(shí)，其表達(dá)形式為 : ),(),(),( yxnyxfyxg ?? (38) 通常可以選擇空域?yàn)V波的方法進(jìn)行去噪處理。信噪比（忽略其他噪聲的影響）是 ??? ? 。而此時(shí)泊松分布就與均值和方差值都等于 ? 的高斯分布很接近。在圖像中，量化噪聲常常出現(xiàn)在數(shù)據(jù)收集過(guò)程。 （ 2） 重尾噪聲 很多情況下，中心極限定理的條件都只是差不多滿足而不是十分滿足和函數(shù)中的項(xiàng)可能不是足夠的多，或者那些項(xiàng)不是充分的獨(dú)立，或者其中小部分的項(xiàng)對(duì)和提供的數(shù)據(jù)不均衡。 本章是小波分析的理論基礎(chǔ)。 離散小波變換 通常用冗余度這一概念來(lái)衡量函數(shù)族是否構(gòu)成正交性 ，若信號(hào)損失部分后仍 能傳遞同樣的信息量 ，則稱此信號(hào)有冗余，冗余的大小程度稱為冗余度。這說(shuō)明連續(xù)小波的局部是變化的，在高頻時(shí)分辨率高，在低頻時(shí)分辨率低。受海森堡測(cè)不準(zhǔn) 原理的制約， 時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好 ，也無(wú)法根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)來(lái)自動(dòng)調(diào) 節(jié)時(shí)域及頻域的分辨率。小波分析屬時(shí)頻分析的一種。 總之 ， 目前小波去噪方法的研究非?；钴S ，不斷有新的方法出現(xiàn)，尤 其是有關(guān) Gaussian 噪聲的去除已取得了不少好的結(jié)果。潘泉等人推導(dǎo)出噪聲 能量閾值的理論計(jì)算公式 ，并給出了一種估計(jì)信號(hào)噪聲方差的有效方法， 使得空域相 關(guān)濾波算法具有自適應(yīng)性。 小波分析是時(shí)頻分析方法 ， 具有良 好的時(shí)頻局部性 ， 并且有快速算法 (Mallat 算法 )加以實(shí)現(xiàn)。在圖像處理中如何有效地去除噪聲 , 提取圖像信息變得尤為重要。去除圖像的噪聲是圖像處理過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其結(jié)果直接影響到圖像質(zhì)量和特征提取的精確性。 小波去噪的成功主要在于小波變換有如下特點(diǎn) : (1)低熵性。 Mallat 提出的交替投影方法較好地解決了這個(gè)問(wèn)題。 Oktem等人提出了一種 Filmgrain 型噪聲的去除與含噪圖像壓縮的變換域方法。 最后為全文的工作的總結(jié)。 FFT(快速 Fourier 變換 )的提出更使 Fourier 方法從理論走向?qū)嵺` ， 成為大們進(jìn)行分析的強(qiáng)有力工具。當(dāng) )(?? 滿足下面的允許條件時(shí) ??????? ? dC R 2)(? (2 7) 則 )(t? 就是一個(gè)基本函數(shù)，令 )(1)(, a btatba ?? ?? 式中 ， a， b 均為常數(shù)，且 a0。 （ 3）尺度變換：若 x(t)的 CWT 為 ),( baWTx ， 0?? ，則 )( ?tx 的 CWT 為 ),( ??? baWTx。進(jìn)行下一層小波變換時(shí)，變換數(shù)據(jù)集中在 LL 頻帶上，圖 22 所示為3 層小波變換的系數(shù)分布。高斯噪聲廣泛應(yīng)用于熱噪聲和某些理想情況，在這些情況下它限制其它噪聲的作用。 （ 3） 椒鹽噪聲 椒鹽噪聲指的是廣泛存在于多種處理過(guò)程，這些過(guò)程導(dǎo)致了相同的 圖像退化：僅僅小部分的像素被噪聲污染，但是噪聲非常嚴(yán)重。以 a 表示圖像中某些地方（一個(gè)像素）的所計(jì)的光子數(shù)目。這些電子完全被顆粒捕獲。如果求恒星多圖的平均，那么將會(huì)得到模糊的圖像。令 xys 表示中心為點(diǎn) （ x,y） 尺寸為 nm? 的矩形圖像窗口 ,下面列出了各種濾波器的 I/O 方程： 算數(shù)均值濾波器： ??? ?xyststsgmnyxf , ),(1),( (310) 幾何均值濾波器： mnsts tsgyxf xy1),( ),(),( ?????? ???? (311) 諧波均值濾波器： ??? ?xysts tsgmnyxf),( ),(1),( (312) 逆諧波均值濾波器： QstsQstsxyxytsgtsgyxf ?????? ?,1,),(),(),( (313) 算術(shù)均值濾波器簡(jiǎn)單地平滑了一幅圖像的局部變化，在模糊了結(jié)果的同時(shí)減少了噪聲。 定義二維離散傅立葉信號(hào) .. .}.. .2,1),({ ?xyxf 的傅立葉變換對(duì)為 ? ??????????? ??? 10102),(1),( MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF ? (318) ? ??????????? ?? 10102),(1),( MxNyNvyMuxjevufMNyxf ? (319) 其中 .......}1,0{, ?xu ， .......}1,0{, ?yv 。 MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用 MATLAB 來(lái)解算問(wèn)題要比用 C， FORTRAN 等語(yǔ)言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且 MATLAB 也吸收了像 Maple 等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使 MATLAB 成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件 。通常有兩種方法 ，