【正文】 如果 rM，則該點(diǎn)經(jīng)過迭代后發(fā)散，即趨向于無窮定常吸引子，此時(shí)根據(jù) k值將該點(diǎn)以一定的顏色顯示在屏幕上，并退出本次循環(huán)，進(jìn)入下一個(gè)點(diǎn)的循環(huán)迭代；如果 r≤ M，且 kN，則返回第四步驟，繼續(xù)進(jìn)行本次循環(huán)；如果 r≤ M，且 k=N，則選擇某一特定的顏色，將該點(diǎn)顯示在屏幕上，并結(jié)束本次循環(huán)，進(jìn)入下一點(diǎn)的循環(huán)迭代。 為了敘述方便，我們?nèi)?f: C→ C 為復(fù)系數(shù)的 n≥ 2 階的多項(xiàng)式nn zazaazf ???? ?110)( 注意到，如果 f 是拓廣的復(fù)平面 C∪ {∞ }上的有理函數(shù))()()()( zqzpzpzf ? (此處 p, q 都是式 )，只要稍微修改一下，一般理論仍然正確。粗略一個(gè)吸引子就是一個(gè)集合并且使得附近的所有軌道都收斂到這個(gè)集合上。 在復(fù)平面 C上，復(fù)數(shù)域的迭代具有非常奇妙，像在復(fù)平面 C上 ??? 2)( zzf 這樣的簡(jiǎn)單 函數(shù)，對(duì)不同的λ值 (λ∈ C)，能生成各種形狀奇特的分形，這些集合通常稱為 Julia 集。 圖 Sierpinski 墊 28 圖 Sierpinski 地毯 同樣地，該集合的面積趨于零，而線的歐氏長度趨于無窮大。也可以推廣到三維歐氏空間中的規(guī)整幾何圖形，如正六面體和正四面體，等等。它在任何尺度下的不規(guī)則性反映了它的精細(xì)結(jié)構(gòu)，但這樣錯(cuò)綜復(fù)雜的構(gòu)造卻出自于一個(gè)基本的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)。把同樣的過程應(yīng)用到 E1的每個(gè)直線段而構(gòu)造出 E2，以此類推，于是 Ek是把 Ek1的 每個(gè)直線段中間 1/3 用等邊三角形的另外兩邊取代而得到的。從連通性看，這個(gè)集合是非連通的。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡(jiǎn)單地和整體完全重合。這就是逃逸時(shí)間算法的基本思想。在 1980 年，分形理論的創(chuàng)始人Mandelbrot 制作出了以他的名字命名的曼德勃羅特集的第一張圖，其迭代公式為 CZZ nn ??? 21 （ Z和 C為復(fù)平面上的點(diǎn)， n=0， 1， 2，??）。在這里初始字母集為 F，生成規(guī)則為 :F FF++FF，根據(jù) Koch 曲線的生成規(guī)則對(duì) F 進(jìn)行迭代，每次都用 FF++FF 來替換表達(dá)式中的 F，直到規(guī)定的迭代次數(shù)為止，這樣就可以得到 Koch 曲線。 Enclid 幾何 分形幾何 經(jīng)典的（ 2020 多年歷史） 現(xiàn)代怪物（近 30 年的歷史） 基于特征長度與比例 無特征長度與比例 適用于人工制品 適用于大自然現(xiàn)象 用公式描述 用（遞歸或迭代）算法描述 20 . 直接遞歸調(diào)用 void Recur (n) {?? Recur (m)； ?? } 函數(shù) Recur 的內(nèi)部又調(diào)用了自身 —— Recur 函數(shù) . 間接遞歸調(diào)用 void Recur_A(n) {?? Recur_B(m)。自相似性原則上只是近似地體現(xiàn)在應(yīng)用中。這些點(diǎn)、直線、平面圖形、空間圖形的維數(shù)（歐氏維數(shù)）分別為 0， 1， 2和 3。在ε的極限值為 0 時(shí)，若 D 比某值 cD 小，這樣測(cè)得的D 維為無限大；若 D 比 cD 大，則其 D 維為 0； D= cD 時(shí)為有限。 這說明存在一個(gè)臨界值 p，在這點(diǎn)上， )(FHt 從∞猛降為零，這個(gè)臨界值稱為 F 的 Hausdorff 維數(shù)，記為 )(dim FH ，也稱其為 HausdorffBesicovitch 維。 如果集合 F ???? Ii Ui1，且 Ui 的最大直徑為 ? ，即 0Ui ≤ ,，則說 {Ui }是 F 的一個(gè) ?? 覆蓋。與此類似，如果我們畫一個(gè) Koch 曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個(gè)與 Koch 曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值， 14 而這個(gè)維數(shù)顯然大于 小于 2，那么只能是小數(shù)（即分?jǐn)?shù)）了，所以存在分維。分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。 分形一般分成兩大類，確定性分形和隨機(jī)性分形。 就像對(duì)生命的定義一樣，迄今為止對(duì)分形尚未有嚴(yán)密的定義，但具有如下的幾何特征 [14,16]： （ 1）分形集具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即是說在任意小的尺度之下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)。在維數(shù)的估計(jì)與算法，分形集的生成結(jié)構(gòu)，分形圖形的計(jì)算機(jī)生成，分形的隨機(jī)理論等方面獲得較深入的結(jié)果，并在自然科學(xué)、材料科學(xué)和工程技術(shù)中取得巨大成功 ?？坍嫾稀按笮　钡娜萘考捌淙萘烤S數(shù)亦引入到分析中來。 Peano 于 1890 年構(gòu)造出填充平面的曲線，這一曲線出現(xiàn)后，人們提出應(yīng)正確考慮以前的長度與面積的概念。 5) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與圖像視頻處理技術(shù)的結(jié)合 。廣義上來看，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)不僅包含了從三維圖形建模、繪制到動(dòng)畫的過程，同時(shí)也包括了對(duì)二維矢量圖形以及圖像視頻融合處理的研究。 1962 年， MIT林肯實(shí)驗(yàn)室的 ()發(fā)表了一篇題為“ Sketchpad:一個(gè)人 機(jī)通信的圖形系統(tǒng) ” 的博士論文，首次使用了計(jì)算機(jī)圖 形學(xué)（ Computer Graphics）這個(gè)術(shù)語。 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)一個(gè)主要的目的就是要利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生令人賞心悅目的真實(shí)感圖 形。 (2)用牛頓迭 代法的數(shù)學(xué)原理，生成牛頓迭代分形圖形。雖然服裝代表著一種場(chǎng)合和一個(gè)人的氣質(zhì)，每一種服裝和每一個(gè)場(chǎng)合都要由特定服裝色彩和圖案來襯托，但把分形圖形應(yīng)用在演藝服裝或是舞蹈服裝上是完全合適的，因?yàn)檫@些服裝代表著一種高貴的氣質(zhì)和追求視覺的美感，很有給人眼前一亮的感覺，非常符合觀眾心靈感受。總的來說在國外分形理論比國內(nèi)應(yīng)用的要更廣泛，應(yīng)用的更早。我國北京的北方工業(yè)大 6 學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)小組于 1992 年完成了一部計(jì)算機(jī)動(dòng)畫電影《相似》，這部電影集中介紹了分形圖形的相似性，這也是我國采用計(jì)算機(jī)數(shù)字技術(shù)完成的第一部電影，獲得當(dāng)年電影電視部頒發(fā)的科技進(jìn)步獎(jiǎng)。 . 國內(nèi)外在計(jì)算機(jī)分形圖形方面的研究狀況 數(shù)學(xué)家曼德布勞特 (B. B. Mandelbrot) 經(jīng)歷了不平凡的潛心研究，于 1975年出版了他的關(guān)于分形幾何的專著《分形、機(jī)遇和 維數(shù)》，標(biāo)志著分形理論的誕生。分形藝術(shù)又不是隨意的，基于數(shù)學(xué)產(chǎn)生的分形的表現(xiàn)是具有決定論本質(zhì)的，使用相同的圖像產(chǎn)生步子，將產(chǎn)生相同的結(jié)果，輕微的改變 輸入?yún)?shù)在運(yùn)行中通常導(dǎo)致并不輕微的改變，只需要很少的信息量，就可以得到絢麗的圖案。 . 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用研究 分形理論是近一、二十年才發(fā)展起來的一門新的理論，因而目前仍處于發(fā) 展之中，自然科學(xué)領(lǐng)域 (如物理、化學(xué)、地球物理學(xué)幾生物學(xué)等 )中的分形學(xué)術(shù)論文不斷增加，社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域涉及分形的論文和書籍也越來越多了 [13]。傳統(tǒng)的 計(jì)算機(jī)平面圖形設(shè)計(jì)幾乎都是用經(jīng)典幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、圓弧等描述圖形的，是通過幾何形狀和不同的比例來定義形體的大小或者用數(shù)學(xué)公式來生成的，任何形體的局部均用直線來處理，這種基于歐氏幾何的設(shè)計(jì)只能繪制有規(guī)則的圖形，而對(duì)于大量具有自相似結(jié)構(gòu)和模擬自然景物的圖形的生成就顯得無能為力了。將分形理論 應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)，生成了許多絢麗多彩的分形圖形，計(jì)算機(jī)與藝術(shù)很好的結(jié)合在一起，在時(shí)裝設(shè)計(jì)、家具設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)等領(lǐng)域都有廣闊的圖形設(shè)計(jì)空間。 學(xué) 生 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文） 課題名稱 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用 姓 名 學(xué) 號(hào) 院 系 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 專 業(yè) 信息管理與信息系統(tǒng) 指導(dǎo)教師 2020 年 6 月 18 日 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 2020 屆學(xué)生 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )材料 （四） 目 錄 摘 要 .............................................................. 1 關(guān)鍵詞 .............................................................. 1 Abstract ........................................................... 1 Key words .......................................................... 2 1. 緒論 ............................................................. 3 . 本課題研究的意義 .............................................. 3 . 本課題已有的研究成果與現(xiàn)狀分析 ................................ 4 . 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用研究 ............................. 4 . 分形圖的計(jì)算機(jī)生成 ....................................... 5 . 國內(nèi)外在計(jì)算機(jī)分形圖形方面的研究狀況 ..................... 5 . 分形圖案的應(yīng)用及存在的問題 .................................... 6 . 本文主要的研究工作 ............................................ 7 2. 分形理論的基本知識(shí) .............................................. 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基本知識(shí) .......................................... 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究內(nèi)容 ................................... 8 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀 ............................. 9 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展趨勢(shì) ................................... 9 . 分形幾何發(fā)展的三個(gè)階段 ....................................... 10 . 分形定義及基本特征 ........................................... 11 . 分形維數(shù)定義及計(jì)算 ........................................... 13 . 分?jǐn)?shù)維 .................................................. 13 . Hausdorff 維 ............................................. 14 . 盒維 .................................................... 16 . 其它維數(shù) ................................................ 17 . 分形幾何與歐氏幾何的區(qū)別 ..................................... 18 3. 分形算法 ........................................................ 19 . 分形的遞歸算法 ............................................... 19 . 直接遞歸調(diào)用 ............................................ 20 . 間接遞歸調(diào)用 ............................................ 20 . 分形的文法構(gòu)圖算法（字符串替換） ............................. 20 . 分形的 迭代函數(shù)系統(tǒng)算法 ....................................... 21 . 逃逸時(shí)間算法 ................................................. 22 4. 經(jīng)典分形圖形 .................................................... 22 . 自相似分形 ................................................... 23 . Cantor 集 ................................................ 23 . Koch 曲線 ................................................ 24 . Sierpinski 集 ............................................ 26 . 復(fù)迭代中的分形 ............................................... 28 . Julia 集 ................................................. 29 . Mandelbrot 集 ............................................