【正文】 由于在參數(shù)空間中僅僅考慮 c 值的影響，這就有了如下 Mandelbrot 集的定義： Mandelbrot 集為使 f c 的 Julia 集連通的參數(shù) c 的集，即： M={c∈ C:J(f c)是連通的 } () M 看來似乎與 J(f c)的一個(gè)相當(dāng)特殊的性質(zhì)有關(guān)，事實(shí)上， M 包含了關(guān)于 Julia集構(gòu)造的無窮信息。 第四步，由上式的迭代公式，從 (kx ， ky )計(jì)算出 ( 1?kx ， 1?ky )，并令 k=k+1。 Julia 集是將 C值固定，即 p 和 q保持為常數(shù)，讓 Z作為原始點(diǎn)通過迭代而生成新的 Z，以此循環(huán)，每選定一個(gè) C值，就可以在復(fù)平面上生成一幅新的計(jì)算機(jī)圖形。吸引子和斥子可能是一個(gè)周期為 p的軌道。稱 D的子集 F為 f的吸引子，如果 F是一個(gè)閉集，并且在 f的下是不變的 (即 f(F)=f)，使得對包含 F 的一個(gè)開集 V 中的所有點(diǎn) x， kf (x)到 F 的距 k趨于無窮大而趨于零。 一般地， Julia 集是動(dòng)力系統(tǒng)中的斥子，通過對復(fù)平面上的解析函數(shù)的研究，可關(guān)于排斥集構(gòu)造的很多知識(shí)。 對于復(fù)平面迭代產(chǎn)生的 Julia集、 Mandelbrot集的研究大大豐富了分形理論，也顯示了分形幾何在處理復(fù)雜圖形上的突出作用，并且為計(jì)算機(jī)圖像模擬開辟了一個(gè)廣闊的天地。任何一個(gè)分割后的圖形經(jīng)適當(dāng)放大后都是原來圖形的翻版。在這里， N=8， r=1/3，所以，其相似維數(shù)為： 8ln ??sD 對于所有的 Sierpinski 集，它們都有共同的特征： (1)它們都是經(jīng)典幾何無法描述的徒刑。將這八個(gè)小正方形再分別進(jìn)行九等分，各自去掉中間的一個(gè)，保留它們的 27 邊。將剩下的三個(gè)小等邊三角形再分別進(jìn)行四等分，并分別去掉中間的一個(gè) ，保留它們的邊。其相似維數(shù)為： 6ln ??sD 生成 Koch 曲線的算法如下： void Koch(x1,x2,y1,y2,n)//n 為遞歸次數(shù) { if (n=0) 26 {LineTo(AB)； } else { 圖 Koch 曲線原理圖 先計(jì)算 X1 坐標(biāo)； //計(jì)算 X1， X2， X3，可根據(jù)數(shù)學(xué)法則 Koch(xa,yb,x1,y1,n1)； //xa,yb,x1,y1分別為 A 與 X1的坐標(biāo) 計(jì)算 X2 的坐標(biāo)； Koch(x1,y1,x2,y2,n1)； //x2,y2為 X2的坐標(biāo) 計(jì)算 X3的坐標(biāo)； Koch(x2,y2,x3,y3,n1)； //x3,y3為 X3的坐標(biāo) Koch(x3,y3,xb,yb,n1)； //xb,yb 為 B 的坐標(biāo) } } . Sierpinski 集 Cantor 集與 Koch 曲線的初始操作都是一個(gè)歐氏長度為 E 的直線段，二者的差別在于： Cantor 集是去掉中間的一段，而 Koch 曲線在去掉中間的一段后，還增加一些線段。 對于三分 Koch 曲線的構(gòu)造原則還可以加以推廣，其中第一種推廣是改變等分?jǐn)?shù) 目。 根據(jù) Hausdorff 維數(shù)的定義， Koch 曲線的 3ln4ln4lo g 3 ??HD ，即HD =，與相似維數(shù)相一致。 從圖 的三次 Koch 曲線，按相似維數(shù)的計(jì)算公式，由于 N=4， r=1/3，可求得它的相似維數(shù)： 4lnD s ?? 這個(gè)數(shù)與 Koch 曲線大于一維（具有無限的長度）但小于二維（具有零面積）的結(jié)論是相一致的，另外應(yīng)注意的事，它比 E0的歐氏維數(shù)（一維）要大。 按相似維數(shù)的計(jì)算公式，可得三分 Cantor 集的維數(shù)： 2lnD s ?? . Koch曲線 Koch 曲線是瑞典數(shù)學(xué)家科赫 ( Koch)在 1904 年首次提出的，其生成的原理如圖 所示。設(shè) E0 是閉區(qū)間[0， 1]， E1表示 E0除去中間 1/3 之后得到的集，即 E1包含 [0， 1/3]和 [2/3， 1]兩個(gè)區(qū)間。這樣的操作繼續(xù)下去，直至無窮，則可得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，點(diǎn)數(shù)趨于無窮多，而歐氏長度趨于零。下面介紹一些常見的以自相似性為原理的分形圖形。 23 一個(gè)系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。逃逸時(shí)間算法是一種非常實(shí)用的方法，用此方法可以得到許多復(fù)雜的分形圖。其中的一些點(diǎn)的軌道無論怎樣迭代也不會(huì)跑出一定的范圍：而另一些點(diǎn)的軌道則通向無窮遠(yuǎn)處。 Julia 集的形成過程與 M集的形成過程相似，也可以通過 IFS 得到，其迭代公式相同也為 CZZ nn ??? 21 （ Z和 C為復(fù)平面上的點(diǎn)， n=0， 1， 2，??）。自相似性通過相似變換實(shí)現(xiàn)，自仿射通過放射變換來實(shí)現(xiàn)。 迭代函數(shù)系統(tǒng) IFS（ Iterated Function System） [5,18]是分形理論的重要分支之一，它是分形圖像處理中最最富生命力并具有廣闊 應(yīng)用前景的領(lǐng)域之一。美國語言學(xué)家喬姆斯基（ ）在 20 世紀(jì) 50 年代給出了遞歸生成語法的方法，指定了一個(gè)或幾個(gè)初始字母和一組“生成規(guī)則”，將生成規(guī)則反復(fù)作用到初始字母和新生成的字母上，產(chǎn)生了整個(gè)語言。 ?? } void Recur_C(n) {?? Sub Recur_A(m)。 圖 Koch 曲線產(chǎn)生過程示意圖 對于那些具有比較嚴(yán)格自相似的圖形，用遞歸方法基本上都可以產(chǎn)生，比如將初始元改成等邊三角形，按 Koch 曲線形成的遞歸規(guī) 則就可以得到 Koch 雪花，還有 Arboresent 肺、 C 曲線、 Sierpinski 地毯、 HilbertPeano 籠等具有比較嚴(yán)格自相似的分形圖都可以用遞歸算法得到。區(qū)別如下 [12]： 3. 分形算法 分形體具有局部與整體的自相似性，所以在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)過程中可以使用遞歸的方法對分形圖形進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn) [2]。盡管這種假設(shè)過于簡單化，但只有這樣我們 19 才能研究它們，同時(shí)仍適合應(yīng)用的目的。比如長方形面積用 S=ab（ a, b 分別為長方形的長和寬）來表示，正方體體積用 V=a3（ a 為正方體的邊長）來表示，它們是以兩點(diǎn)間的直線距離為基礎(chǔ)的，而且，它們的量綱數(shù)分別等 于幾何圖形存在的空間的維數(shù)。我們所熟悉的點(diǎn)、直線與險(xiǎn)段；還有平面和正方形、矩形、梯形、棱形、各種三角形以及正多邊形等平面圖形；正方體、長方體、正四面體等立體圖形我們都稱為是規(guī)整幾何圖形。 雖然有這么多的維數(shù)定義，但都基于這樣一種思想 ：δ規(guī)模下的測量法，即當(dāng)我們測量一個(gè)集合時(shí)，忽略那些小于δ規(guī)模的不規(guī)則部分，然后看一看當(dāng)δ→0 時(shí)，這些測量有些什么行為結(jié)果。設(shè) iP 表示分形維的元素屬于覆蓋 iU 中的概率，則信息維數(shù)為 ?? lnln10lim????NiiiiPPD （ ） 在等概率 iP =1/N(δ )的情況下，信息維數(shù)等于 Hausdorff 維數(shù)，有時(shí) iD 也被稱為信息量維數(shù)。它出現(xiàn) 在 20世紀(jì) 20 年代并冠以種種其它名字，如度量維、信息維、 Kolmogoro熵、熵維、容量維等。若 tp 且 ??iU 是 F 的δ 覆蓋，我們有 pi iptptipi iii i UUUU ????? ?? ?， () 從而有 )()( FHFH pptt ?? ? ?? , () 令 0?? ，若 ??? )(0 FH p? ，必有 )(0)( ptFH t ?? 。記 15 )(lim)( 0 FHFH pp ?? ?? () 稱 )(FHp 為集合 F 的 p 維 Hausdorff 測度。 . Hausdorff 維 Hausdorff 維數(shù)是波恩大學(xué)數(shù)學(xué)家豪斯道夫（ FelixHausdorff）在 1919 年從測量的角度引進(jìn)了的定義。 Mandelbrot 認(rèn)為維數(shù)比起形狀和機(jī)遇，更易描述集合的不規(guī)整度或破碎度，因此，他定義：若一個(gè)集合的 Hausdorff 維數(shù) 嚴(yán)格大于它的拓?fù)渚S數(shù)，那么該集合就稱為分形集。另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0 維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因?yàn)橹本€中包含無窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是 0，因?yàn)橹本€中不包含平面。 分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個(gè)線段、正方形和立方體，它們的邊長都是 1。 . 分?jǐn)?shù)維 在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。確定性分形具有可重復(fù)性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機(jī)性，但最終的圖形是確定的。自然界和各門應(yīng)用科學(xué)中涉及的分形絕大部分是近似的。 （ 3）分形集通常具有某種自相似性，這種自相似性可以是近似的，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的。 1986年 Mandelbrot又給出了分形的另一個(gè)定義“ A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”，即分形集具有某種自相似的特征，有很多分形集沒有包括其中。 1975 年， Mandelbrot 在巴黎出版了發(fā)文著作《 Les objects fractals： forme， basard et dimension》[12,18]， 1977年他在美國出版了其英文版《 Fractals： Form， Chance， and dimension》，標(biāo)志著分形理論的正式誕生。此專著的發(fā)表標(biāo)志著分形幾何作為一門獨(dú)立的學(xué)科正式誕生。 第三階段為 1975 年至今 ,是分形幾何在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展 ,并形成獨(dú)立學(xué)科的階段。這些研究結(jié)果極大的豐富了分形幾何的理論，同時(shí)維數(shù)理論也得到了進(jìn)一步發(fā)展并日臻成熟。在當(dāng)時(shí)，人們認(rèn)為這類集合在傳統(tǒng)的研究中是可以忽略的，但是進(jìn)一步的研究結(jié)果表明，這類集合在像三角級數(shù)的唯一性這樣重要問題的研究中不僅不能忽略 ,而且起著非常重要的作用?？坪沼?1904 年通過初等函數(shù)方法構(gòu)造了如今被稱為 Van Koch 曲線的處處不可微的連續(xù)函數(shù)，并討論了該曲線的性質(zhì) [12]曲線的構(gòu)造極為簡單，改變了人們認(rèn)為不連續(xù)曲線的構(gòu)造一定非常復(fù)雜的這樣一種看法。 第一階段為 18751925 年，在此階段上人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了幾類典型的分形集，并力圖對這類 幾何與經(jīng)典的歐式幾何的差別進(jìn)行描述、分類和刻畫。 3) 利用日益增長的計(jì)算性能，實(shí)現(xiàn)具有高度物理真實(shí)的動(dòng)態(tài)仿真 。目前，其主要應(yīng)用領(lǐng)域包括計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與加工，影視動(dòng)漫，軍事仿真，醫(yī)學(xué)圖像處理，氣象、地質(zhì)、財(cái)經(jīng)和電磁等的 科學(xué)可視化 等。 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展趨勢 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)狹義上是一種研究基于物理定律、經(jīng)驗(yàn)方法以及認(rèn)知原理，使用各種數(shù)學(xué)算法處理二維或三維圖形數(shù)據(jù)，生成可視數(shù)據(jù)表現(xiàn)的科學(xué)。 70年代是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)技術(shù)進(jìn)入實(shí)用化階段，美國蘋果公司的 Macintosh、IBM 公司的 PC， Apollo、 SUN 公司的工作站都配備了圖形系統(tǒng) 。 9 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展歷史與現(xiàn)狀 1950年，第一臺(tái)圖形顯示器作為美國麻省理工學(xué)院 (MIT)旋風(fēng) I號（ Whirlwind I）計(jì)算機(jī)的附件誕生。 簡單來說，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是指用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生對象圖形的輸出的技術(shù) [3]。 . 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的 研究內(nèi)容 圖形通常由點(diǎn)、線、面、體等幾何元素和灰度、色彩、線型、線寬等非幾何屬性組成。 (3)根據(jù)經(jīng)典分形算法，利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)一些經(jīng)典分形圖的生成，如 C 8 曲線、 KOCH 雪花、 Julia 集、 Sierpinski 墊片等。根據(jù)收集的各種相關(guān)資料，在對分形理論有更進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)的情況下，推導(dǎo)出一些常見的分形圖形的分形維數(shù)，以此可以了解分形圖形的產(chǎn)生過程，從而得到常見的一些分形圖形的生成的計(jì)算機(jī)程序算法。分形理論在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用，目前也是局限于對一些常見的分形圖形的繪制。 7 分形圖形沒有深入生活的一個(gè)重要原因是分形圖形的理論、建模、編程不為一般設(shè)計(jì)人員所熟悉 [7]。更多的是應(yīng)用在藝術(shù)設(shè)計(jì)中。 由于 分形理論首先是由國外學(xué)者首先提出的，所以國外開展分形圖形的研究要早于國內(nèi)的研究，并且也取得了一些豐碩成果。自從 創(chuàng)始分形幾何以來，分形理論研究開始風(fēng)靡全世界，中國也很早就有人研究這方面的工作，翻譯和出版了外文版的分形幾何學(xué)和其他相關(guān)支持學(xué)科。接著，印刷著分形的畫冊、掛歷、明信片、甚至 T恤衫紛紛出籠。這項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)專門頒發(fā)給那些在物理科學(xué)或者其它自然科學(xué)中有重大貢獻(xiàn)、有重大影響的人物。應(yīng)用這些計(jì)算機(jī)算法，都可以生成絢麗多彩的分形圖形。因此，其設(shè)計(jì)是格式化和定型的。由于分形的自相似性，跨越不同尺度的對稱，意味著圖案的遞歸在越來越小的尺度上產(chǎn)生細(xì)節(jié)，形成無窮無盡的精致結(jié)構(gòu)，一定程度上超越了人腦的思維，是一種計(jì)算機(jī)藝術(shù)。國際學(xué)術(shù)刊物“混沌、孤子和分形” (Chaos, Soltons and Fractals)和“分形學(xué)”（ FractalsAn Interdisciplinary Journal on the Complex Geometry of Nature）先后也正式創(chuàng)刊