【正文】 elbrot 集是對二次多項式 czzfc ?? 2)( 在參數(shù)平面（參數(shù) c 所在平面為參數(shù)平面）上進行迭代產(chǎn)生的圖形。 第五步，計算當前點的模 2 12 1 ?? ?? AA yxr ，判斷是否超過預設的值 M。通常，如果 f有分 形吸引子或分形斥子 F，那么 f在 F 上質表現(xiàn)為“混沌”的。為了說明斥子的定義，先看一下吸引子的定義。如令初始圖形為 E0，每操作一次后得到的集合依次 E1， E2，?， En 來表示，則Sierpinski 集合為： nn EE ???? 1 即由無窮多個閉集的交來構成，從而 E也是閉集。重復上述操作直至無窮，就可得到如圖 所示的圖形，人們稱這樣的集合為 Sierpinski 地毯。在這一節(jié)中，我們將長度為 E的直線段推廣到歐氏平面上的規(guī)整幾何圖形，如等邊三角形和正方形。 25 圖 Koch 曲線 Koch 曲線在許多方面的性質與三分 Cantor 集列出的那些性質類似，它由四個與總體相似的“四分之一”部分組成，但比例系數(shù)是 1/3。設 E0是單位長度的直線段， E1是由 E0除去中間 1/3 的線段，而代之以底邊在被除去的線段上的等邊三角形的另兩條邊所得到的集，它包含四個線段。經(jīng)無限次操作，達到極限時所得到的離散點集稱之為 Cantor 集，如圖 所示。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。這樣在計算機上我們就用不同的顏色來繪制不同的點，就得到了一個很精細復雜的分形圖。相似和仿射變換在數(shù)學上可以由非常簡單的數(shù)學公式來表示出來，所以根據(jù)分形圖的自相似性，找出對應分 形圖的 IFS 變換碼，通過計算機的編程就可以很容易得到精細的分形圖案。這就是由“生成語法”定義的形式語言，例如： 字母表： L， R 生成規(guī)則： L R， R L R 初始字母： R 則有： R→ L R→ R L R→ L R R L R→ R L R L R R L R → L R R L R R L R LR R L R→?? 同樣以 Koch 曲線為例來說明，設符號 +表示逆時針旋轉 60 度， 表示順時針旋轉 60 度，字母 F 表示向 前畫直線。 在計算機程序設計中，遞歸是指一個過程直接或間接地調(diào)用其自身的一種算法。當然沒有什么真實結構會經(jīng)無限多次重復放大后仍同原來一樣。另外一類就是由曲線或曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱、圓錐以及圓臺等。 （ 2）容量維數(shù) cD 容量維數(shù)是由 Kolmogorov 推導的，它的定義與 Hausdorff 維數(shù)很相似，假定要考慮的圖形是 n 維歐式空間 Rn 中的有界集合，用半徑為ε的 d 維球包覆其集合，假定 N(ε )是球的個數(shù)的最小值，則容量維數(shù) cD 可用下式來定義 )/1ln( )(lnlim0 ??? ND c ?? （ ） 在上面的定義中，首先用同樣大小的 n 維球盡量無浪費地把給予圖形包覆并加以近似，每個球的 D 維測度因與 D? 成比例，用球近似的 圖形的 D 維測度，大致可與 DN ?? ?)( 成比例。 同理可證，當 pt? 時， ??? )(0 FH p ,必有 ??)(FHt 。要講解 Hausdorf 維首先要理解什么是 Hausdorff 測度，因為它是以 Hausdorff 測度為基礎的，是各種分數(shù)維中最基本的一種，Hausdorff 測度的定義如下 [16]： U是 n維 Euclid 空間 Rn的任意非空子集， U的直徑 U是這樣定義的 ? ?UyxyxU ??? ,:s u p ， () 即 U 中任意兩個點的最大距離。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值呢？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù) 為 1（大于 0、小于 2）。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數(shù)的維數(shù)。當尺度縮小到分子的尺寸，分形性也就消失了，嚴格的分形只存在于理論研究之中。目前， 最為流行的一個定義是： 分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程。自 1975 年以來，分形理論無論是在數(shù)學基礎還是在應用方面都有快的發(fā)展。 1928 年至 1959 年先后引入了 Bouligand 維數(shù)、覆蓋維數(shù)、熵 9維數(shù)。特別重要的是該曲線是第一個人為構造出的在結構上具有局部與整體相似的例子。 4) 研究多種高精度數(shù)據(jù)獲取與處理技術，增強圖形技術的表現(xiàn) 。它是 計算機科學 的一個分支領域與應用方向，主要關注數(shù)字合成與操作視覺的圖形 內(nèi)容。 1958 年美國 Cal p 公司發(fā)明了滾筒式繪圖儀， Gerber 公司研制出了平板式繪圖儀。從處理技術上來看，圖形主要分為兩類，一類是基于線條信息表示的，如工程圖、等高線地圖、曲面的線框圖等，另一類是明暗圖，也就是通常所說的真實感圖形。本文主要選用牛頓迭代法。雖然現(xiàn)在有許多專門產(chǎn)生分形圖形的軟件，但只是局限于對一些常見分形圖形的繪制，但要達到滿意的效果以應用于實際生活還需要借助其它的圖形處理軟件，比如 Photoshop、 等，另外分形圖形結構比較復雜，很難用手工在樣品上繪制。國外也有許多的分形專家，如分形幾何的創(chuàng)始人 ，俄羅斯出生的 Cantor，波蘭數(shù)學家，意大利數(shù)學家 iuseppe .Peano 等。 80年代中期開始，首先在西方發(fā)達國家，接著在中國，分形逐漸成為膾炙人口的詞匯，甚至連十幾歲的兒童也迷上了計算機上的分形游戲?？梢赃@樣說分形圖形與計算機應用是一個完美結合。計算機分形圖案不論在深度還是廣度上都是無限的。分形圖形應用的范圍越來越廣泛，可以為家具設計、裝飾圖形設計、廣告設計等領域提供廣闊的圖形選擇空間。目前，計算機圖形設計已經(jīng)廣泛應用于廣告、攝影、美術、出版、印刷、軍事模擬等眾多領域。通過對一些參數(shù)的修改，從而改變分形圖的形狀，位置，顏色等屬性，最后將生成的分形圖形以 BMP圖片格式保存到電腦硬盤中。它在很多領域都有廣泛的應用，如數(shù)學、物理、化學、材料科學、生物與醫(yī)學、地質與地理學、地震和天文學以及計算機科學等。它在許多領域都有很廣泛的應用，如數(shù)學、物理、化學、材料科學、計算機科學、生物與醫(yī)學、地質與地理學、地震和天文學等。 分形圖形具 有計算機邏輯語言與藝術造型形式耦合的特征，是既不能用經(jīng)典幾何方法描述，也不能用傳統(tǒng)繪圖方式表現(xiàn)的“不規(guī)則”圖形。國際學術刊物“混沌、孤子和分形” (Chaos, Soltons and Fractals)和“分形學”（ FractalsAn Interdisciplinary Journal on the Complex Geometry of Nature）先后也正式創(chuàng)刊。因此，其設計是格式化和定型的。這項獎勵專門頒發(fā)給那些在物理科學或者其它自然科學中有重大貢獻、有重大影響的人物。自從 創(chuàng)始分形幾何以來，分形理論研究開始風靡全世界，中國也很早就有人研究這方面的工作，翻譯和出版了外文版的分形幾何學和其他相關支持學科。更多的是應用在藝術設計中。分形理論在計算機圖形學中的應用，目前也是局限于對一些常見的分形圖形的繪制。 (3)根據(jù)經(jīng)典分形算法，利用計算機編程實現(xiàn)一些經(jīng)典分形圖的生成，如 C 8 曲線、 KOCH 雪花、 Julia 集、 Sierpinski 墊片等。 簡單來說，計算機圖形學是指用計算機產(chǎn)生對象圖形的輸出的技術 [3]。 70年代是計算機圖形學技術進入實用化階段，美國蘋果公司的 Macintosh、IBM 公司的 PC， Apollo、 SUN 公司的工作站都配備了圖形系統(tǒng) 。目前，其主要應用領域包括計算機輔助設計與加工，影視動漫，軍事仿真，醫(yī)學圖像處理，氣象、地質、財經(jīng)和電磁等的 科學可視化 等。 第一階段為 18751925 年，在此階段上人們已經(jīng)認識了幾類典型的分形集，并力圖對這類 幾何與經(jīng)典的歐式幾何的差別進行描述、分類和刻畫。在當時，人們認為這類集合在傳統(tǒng)的研究中是可以忽略的，但是進一步的研究結果表明，這類集合在像三角級數(shù)的唯一性這樣重要問題的研究中不僅不能忽略 ,而且起著非常重要的作用。 第三階段為 1975 年至今 ,是分形幾何在各個領域的應用取得全面發(fā)展 ,并形成獨立學科的階段。 1975 年， Mandelbrot 在巴黎出版了發(fā)文著作《 Les objects fractals： forme， basard et dimension》[12,18]， 1977年他在美國出版了其英文版《 Fractals： Form， Chance， and dimension》，標志著分形理論的正式誕生。 （ 3）分形集通常具有某種自相似性，這種自相似性可以是近似的，也可以是統(tǒng)計意義上的。確定性分形具有可重復性，即使在生成過程中可能引入了一些隨機性，但最終的圖形是確定的。 分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是 1。 Mandelbrot 認為維數(shù)比起形狀和機遇，更易描述集合的不規(guī)整度或破碎度，因此，他定義：若一個集合的 Hausdorff 維數(shù) 嚴格大于它的拓撲維數(shù)，那么該集合就稱為分形集。記 15 )(lim)( 0 FHFH pp ?? ?? () 稱 )(FHp 為集合 F 的 p 維 Hausdorff 測度。它出現(xiàn) 在 20世紀 20 年代并冠以種種其它名字，如度量維、信息維、 Kolmogoro熵、熵維、容量維等。 雖然有這么多的維數(shù)定義，但都基于這樣一種思想 ：δ規(guī)模下的測量法，即當我們測量一個集合時，忽略那些小于δ規(guī)模的不規(guī)則部分，然后看一看當δ→0 時，這些測量有些什么行為結果。比如長方形面積用 S=ab（ a, b 分別為長方形的長和寬）來表示，正方體體積用 V=a3（ a 為正方體的邊長）來表示，它們是以兩點間的直線距離為基礎的，而且，它們的量綱數(shù)分別等 于幾何圖形存在的空間的維數(shù)。區(qū)別如下 [12]： 3. 分形算法 分形體具有局部與整體的自相似性，所以在計算機實現(xiàn)過程中可以使用遞歸的方法對分形圖形進行設計和實現(xiàn) [2]。 ?? } void Recur_C(n) {?? Sub Recur_A(m)。 迭代函數(shù)系統(tǒng) IFS（ Iterated Function System） [5,18]是分形理論的重要分支之一，它是分形圖像處理中最最富生命力并具有廣闊 應用前景的領域之一。 Julia 集的形成過程與 M集的形成過程相似，也可以通過 IFS 得到，其迭代公式相同也為 CZZ nn ??? 21 （ Z和 C為復平面上的點， n=0， 1， 2，??）。逃逸時間算法是一種非常實用的方法，用此方法可以得到許多復雜的分形圖。下面介紹一些常見的以自相似性為原理的分形圖形。設 E0 是閉區(qū)間[0， 1]， E1表示 E0除去中間 1/3 之后得到的集，即 E1包含 [0， 1/3]和 [2/3， 1]兩個區(qū)間。 從圖 的三次 Koch 曲線，按相似維數(shù)的計算公式，由于 N=4， r=1/3，可求得它的相似維數(shù)： 4lnD s ?? 這個數(shù)與 Koch 曲線大于一維（具有無限的長度）但小于二維（具有零面積）的結論是相一致的，另外應注意的事，它比 E0的歐氏維數(shù)（一維）要大。 對于三分 Koch 曲線的構造原則還可以加以推廣，其中第一種推廣是改變等分數(shù) 目。將剩下的三個小等邊三角形再分別進行四等分，并分別去掉中間的一個 ，保留它們的邊。在這里， N=8， r=1/3，所以，其相似維數(shù)為： 8ln ??sD 對于所有的 Sierpinski 集，它們都有共同的特征： (1)它們都是經(jīng)典幾何無法描述的徒刑。 對于復平面迭代產(chǎn)生的 Julia集、 Mandelbrot集的研究大大豐富了分形理論，也顯示了分形幾何在處理復雜圖形上的突出作用，并且為計算機圖像模擬開辟了一個廣闊的天地。稱 D的子集 F為 f的吸引子，如果 F是一個閉集，并且在 f的下是不變的 (即 f(F)=f)，使得對包含 F 的一個開集 V 中的所有點 x， kf (x)到 F 的距 k趨于無窮大而趨于零。 Julia 集是將 C值固定，即 p 和 q保持為常數(shù)，讓 Z作為原始點通過迭代而生成新的 Z，以此循環(huán)，每選定一個 C值，就可以在復平面上生成一幅新的計算機圖形。由于在參數(shù)空間中僅僅考慮 c 值的影響，這就有了如下 Mandelbrot 集的定義： Mandelbrot 集為使 f c 的 Julia 集連通的參數(shù) c 的集，即： M={c∈ C:J(f c)是連通的 } () M 看來似乎與 J(f c)的一個相當特殊的性質有關，事實上， M 包含了關于 Julia集構造的無窮信息。 第四步，由上式的迭代公式，從 (kx ， ky )計算出 ( 1?kx ， 1?ky )，并令 k=k+1。吸引子和斥子可能是一個周期為 p的軌道。 一般地， Julia 集是動力系統(tǒng)中的斥子，通過對復平面上的解析函數(shù)的研究，可關于排斥集構造的很多知識。任何一個分割后的圖形經(jīng)適當放大后都是原來圖形的翻版。將這八個小正方形再分別進行九等分，各自去掉中間的一個，保留它們的 27 邊。其相似維數(shù)為： 6ln ??sD 生成 Koc