【正文】 具有一樣的復(fù)雜度，但是形態(tài)會有所不同。如果算法的多次重復(fù)仍然產(chǎn)生同一個分形圖，這種分形稱之為確定性分形。當尺度縮小到分子的尺寸，分形性也就消失了，嚴格的分形只存在于理論研究之中。 需要說明的是，并不是所有的分形都滿足上面的所有性質(zhì)，有的滿足其中的某條或幾條性質(zhì)，或?qū)δ硞€性質(zhì)有另外。 （ 4）分形集在某種意義下的分形維數(shù)一般大于它的拓撲維數(shù)。 （ 2）分形集是如此的不規(guī)則，以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。目前， 最為流行的一個定義是： 分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程。這個定義包括一大類具有分數(shù)維的分形集，但忽略了某些維數(shù)為整數(shù)的分形集。同年，他又出版了《 The Fractal Geometry of 12 Nature》，但這三本書對社會的影響并不大，但到了 1982 年，隨著《 The Fractal Geometry of Nature》二版的問世，在美國乃至歐洲，迅速形成了“分形熱”。 Mandelbrot 在對 19 世紀下半葉到 20 世紀 上半葉出現(xiàn)的當時被人們形象的稱為“數(shù)學(xué)怪物”的數(shù)學(xué)實例及許多物理和經(jīng)濟現(xiàn)象進行研究后，終于創(chuàng)立了這門重要學(xué)科 — 分形幾何（ Fractal Geometry）， Fractal 這個詞是 Mandelbrot 創(chuàng)造的，來源于拉丁文 Fractus, 其英文意思是 broken。自 1975 年以來，分形理論無論是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還是在應(yīng)用方面都有快的發(fā)展。 Mandelbrot 將前人的研究進行總結(jié)，集其大成，于 1975 年以“分形 :形狀、機遇和維數(shù)”為名發(fā)表了他的劃時代專著，第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。在此之前雖取得許多重要成果，但主要還是局限于純數(shù)學(xué)理論的研究，與其它學(xué)科未發(fā)生聯(lián)系，同時物理、地質(zhì)、天文和工程學(xué)等學(xué)科已產(chǎn)生大量與分形幾何有關(guān)的問題，迫切需要新的思想與有力的工具來處理。同時，維數(shù)的乘積理論、投影理論、位勢方法、網(wǎng)測度技巧、隨機技巧均先后建立并成熟，使得分形幾何的研究具有自己的特色與方法。 1928 年至 1959 年先后引入了 Bouligand 維數(shù)、覆蓋維數(shù)、熵 9維數(shù)。Besicovitch 等人研究了曲線的維數(shù)、分形集的局部性質(zhì)、分形集的結(jié)構(gòu)以及在 11 數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測度論等方面的應(yīng)用。在分形幾何發(fā)展的第一階段，人們已提出了典型分形對象及相關(guān)問題，并為討論這些問題提供了最基本的工具。 Cantor 于 1872 年引入一類現(xiàn)今稱為Cantor 三分集的全不連通的緊集。特別重要的是該曲線是第一個人為構(gòu)造出的在結(jié)構(gòu)上具有局部與整體相似的例子。馮 19世紀初，人們已經(jīng)能區(qū)別連續(xù)和可微的曲線，但卻普遍認為連續(xù)而不可微的點應(yīng)是極少的。 6) 從追求絕對的真實感向追求與強調(diào)圖形的表意性轉(zhuǎn)變 。 4) 研究多種高精度數(shù)據(jù)獲取與處理技術(shù)，增強圖形技術(shù)的表現(xiàn) 。 2) 研究和諧自然的三維模型建模方法 。由于計算機圖形學(xué)在這些領(lǐng)域的成功運用，特別是在迅猛發(fā)展的動漫產(chǎn)業(yè)中， 帶來了可觀的經(jīng)濟效益 [1]。計算機圖形學(xué)經(jīng)過將近 40 年的發(fā)展，已進入了較為成熟的發(fā)展期。它是 計算機科學(xué) 的一個分支領(lǐng)域與應(yīng)用方向，主要關(guān)注數(shù)字合成與操作視覺的圖形 內(nèi)容。豐富多彩的 Web 網(wǎng)頁更加激勵了計算機圖形學(xué)的應(yīng)用，科學(xué)計算的可視化、虛擬現(xiàn)實技術(shù)等新興課題又向計算機圖形學(xué)提出了更新更高的要求。 在 80 年代，配備有光柵圖形顯示器的個人計算機和工作站已相當普及，不僅在工業(yè)、管理、藝術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用，而且圖形系統(tǒng)已進入了家庭，如計算機家庭教育和游戲。 60年代中期，美國的 MIT、通用汽車公司、貝爾實驗室和洛克希德等眾多的公司紛紛開展了計算機圖形學(xué)的應(yīng)用和研究。 1958 年美國 Cal p 公司發(fā)明了滾筒式繪圖儀， Gerber 公司研制出了平板式繪圖儀。 計算機圖形學(xué)的研究內(nèi)容非常廣泛，如圖形硬件、圖形標準、圖形交互技術(shù)、光柵圖形生成算法、曲線曲面造型、實體造型、真實感圖形計算與顯示算法、非真實感繪制，以及 科學(xué)計算可視化 、 計算機動畫 、自然景物仿真、虛擬現(xiàn)實等。更確切地說，計算機圖形學(xué)是研究通過計算機將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形，并在專門顯示設(shè)備上顯示的原理、方法和技術(shù)的學(xué)科。為此，必須建立圖形所描述的場景的幾何表示，再用某種光照模型，計算在假想的光源、 紋理 、材質(zhì)屬性下的光照明效果。從處理技術(shù)上來看，圖形主要分為兩類，一類是基于線條信息表示的，如工程圖、等高線地圖、曲面的線框圖等，另一類是明暗圖，也就是通常所說的真實感圖形。 2. 分形理論的基本知識 本章主要介紹計算機圖形學(xué)的一些基本知識并給出分形理論發(fā)展的三個階段，分形的定義和基本特征，分形維數(shù)定義和計算，分形幾何與歐氏幾何的區(qū)別等。通過對這些經(jīng)典分形圖形及其生成過程的進認識和了解，使讀者能夠?qū)Ψ中卫碚摷胺中螆D生成過程有更深入的理解。通過計算機編程實現(xiàn)牛頓迭代分形圖形的生成，同時提供一些設(shè)置參數(shù)，對生成的分形圖形顏色及顯示效果進行修改，生成各種自己喜愛的絢麗圖形，最后將生成的分形圖形保存起來。本文主要選用牛頓迭代法。參考前人在這一領(lǐng)域的研究成果，前人在分形圖形設(shè)計上已經(jīng)給出了許多算法，比如分形的迭代算法，分形的遞歸算法 ,分形的字符串的替換算法 ,分形的逃逸時間算法等。本文為解決這些缺陷，通過編程實現(xiàn)分形圖形的繪制和相關(guān)處理，這樣產(chǎn)生的分形圖形必將給人們審美觀念帶來沖擊，可以在廣告、包裝、家居設(shè)計、服裝印染、圖案編織等許多實用美術(shù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，同時也為藝術(shù)設(shè)計提供廣闊 的藝術(shù)空間。 分形理論是一門新的學(xué)科，其理論基礎(chǔ)不是十分完善，還有待于更進一步的發(fā)展和完善。雖然現(xiàn)在有許多專門產(chǎn)生分形圖形的軟件，但只是局限于對一些常見分形圖形的繪制，但要達到滿意的效果以應(yīng)用于實際生活還需要借助其它的圖形處理軟件，比如 Photoshop、 等，另外分形圖形結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，很難用手工在樣品上繪制。就是最追求時尚元素的舞蹈服裝和演藝服裝也很少用到分形圖案。而在跟我們大家接觸最多的服裝圖案、家具設(shè)計圖案等并沒有更多的以分形圖形作為圖案的選項，家居設(shè)計中普遍采用橫豎交叉的直線或曲線形成“格子”，比如用格子圖案應(yīng)用在門、沙發(fā)套、床罩、枕罩；還有花卉圖案、幾何圖形、插圖，這些圖形成為近幾年家居圖案的流行元素。 我們在前面已經(jīng)說了分形圖形可以應(yīng)用在許多方面，如分形服裝、分形壁畫、分形掛歷等，確實分形圖形應(yīng)用在這些方面可以給人耳目一新的感覺，但 我們在現(xiàn)實生活中并沒有看到許多的分形圖案，分形圖案并沒有深入人心 [10]。國外也有許多的分形專家，如分形幾何的創(chuàng)始人 ，俄羅斯出生的 Cantor，波蘭數(shù)學(xué)家，意大利數(shù)學(xué)家 iuseppe .Peano 等。吳運兵在他的碩士研究生畢業(yè)論文里都對這幾種分形圖形設(shè)計了相應(yīng)的算法并用VC++語言生成 [13]。也誕生了許多在這方面有很深造詣的專家，如馬克明、文志英、申維、苑玉峰、謝和平等。 分形圖形可以用計算機來生成，這得益于分形理論的理論基礎(chǔ)， 即相似性和復(fù)雜性。 80年代中期開始，首先在西方發(fā)達國家，接著在中國，分形逐漸成為膾炙人口的詞匯，甚至連十幾歲的兒童也迷上了計算機上的分形游戲。 幾 乎 在曼德布勞特獲得 Barnard 獎?wù)碌耐瑫r，以德國布來梅大學(xué)的數(shù)學(xué)家和計算機專家 與 等為代表，在當時最先進的計算機圖形工作站上制作了大量的分 形圖案； J. Hubbard 等人還完成了一部名為《混沌》的計算機動畫。在每五年一次的獲獎?wù)呙麊沃校袗垡蛩固?、費米這樣一批享譽世界的科學(xué)家 ,可見曼德布勞特的分形研究在科學(xué)上的地位和影響。 1985 年，曼德布勞特獲得 Barnard 獎?wù)隆？梢赃@樣說分形圖形與計算機應(yīng)用是一個完美結(jié)合。雖然分形理論是用來解決非線性科學(xué)中的一個重要理論，具有無規(guī)則性和復(fù)雜性，但自相似原則和迭代生成原則是分形理論的基礎(chǔ)，所以可以設(shè)計一些算法在計算機上生成，比如說是分形的遞歸算法；分形的字符串的替換算法；分形的迭代算法；分形的逃逸時間算法等。利用分形幾何知識進行圖案設(shè)計就可以改變這樣一種傳統(tǒng)模式，創(chuàng)造出完全由計算機實現(xiàn)的新型的設(shè)計，從而使圖案設(shè)計走進一個用數(shù)學(xué)指令進行的新時代。 5 分形幾何應(yīng)用在圖案設(shè)計中已經(jīng)成為了一個研究熱點，基礎(chǔ)圖案一般是由單個紋樣來顯示的，單個紋樣的拼接得到二方連續(xù)紋樣、四方連續(xù)紋樣等圖案形式，圖案設(shè)計是用手繪或者計算機程序繪制。計算機分形圖案不論在深度還是廣度上都是無限的。借助于分形的計算機生成，從少量的數(shù)據(jù)生成復(fù)雜的自然景物圖形，使我們在仿真模擬方面前進了一大步。 分形理論越來越多的被應(yīng)用到計算機圖形學(xué)領(lǐng)域。有關(guān)分形的國際會議及各種專題討論會有增無減。分形圖形應(yīng)用的范圍越來越廣泛，可以為家具設(shè)計、裝飾圖形設(shè)計、廣告設(shè)計等領(lǐng)域提供廣闊的圖形選擇空間。世界上的圖形千變?nèi)f化，絢麗多彩，大部分圖形都是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的，結(jié)構(gòu)簡單規(guī)整的圖形很少，除了三角形，四邊形等用 Euclid 幾何學(xué)可以繪制出來的，大部分是很難用手工繪制出來的，分形圖形是其中的一種。它具有形態(tài)的不規(guī)則性、結(jié)構(gòu)的精細性、局部與整體的自相似性、維數(shù)的非整數(shù)性、生成的迭代性等。計算機藝術(shù)是隨著軟件的發(fā)展而新興的藝術(shù)形式，計算機圖形學(xué)中分形研究的深入發(fā)展和計算機在藝術(shù)設(shè)計中的應(yīng)用，使得藝術(shù)家可以用更多的方式來進行創(chuàng)作，也給圖形設(shè)計帶來了新的元素，分形幾何使我們可以用簡單的計算方法得到復(fù)雜圖形 [9]。目前，計算機圖形設(shè)計已經(jīng)廣泛應(yīng)用于廣告、攝影、美術(shù)、出版、印刷、軍事模擬等眾多領(lǐng)域。分形在用于壓縮圖像信息中的圖像信息的提取和識別、紋理圖像分割、分形圖像編碼等方面，都取得了很好的效果。 分形理論應(yīng)用于計算機圖形設(shè)計，可以生成許多絢麗多彩的分形圖形，計算機與藝術(shù)很好的結(jié)合在一起，在時裝設(shè)計、家具設(shè)計、廣告設(shè)計等領(lǐng) 域都有廣闊的圖形設(shè)計空間。 關(guān)鍵詞 ： 分形理論；分形維數(shù)；牛頓迭代； Koch曲線； Mandelbrot集； Julia集 Fractal Theory in the application of graphics Abstract: Fractal theory is a science newly started and developed in the past several ten years, it can describe roughness and irregular geometric shapes in the nature or in nonlinear system. Fractal theory is extensive applied to many fields, such as mathematics, physics, chemistry, material science, biology and medicine, geography, earthquake and astronomy, puter science and so on. So the research on fractal theory has both theoretical significance and extensive applied value. This thesis mainly studies the applications of fractal theory in the field of the puter technology, especially the problem of puter graphics design. It sums up some fractal algorithm on the basis of mastering the base knowledge of the fractal 2 theory and dimension of the fractal geometry. The paper can realized the software of drawing fractal graphics using VC++ language, it has already been realized on puter to draw some fractal graphics, such as Newton iteration fractal graphics, Koch curve, Sierpinski gaskets, Mandelbrot set, fractal trees and so on. It can change the value of fractal graphic’s figure, places and color through changing some parameters of the fractal graphics. Finally, drawn the beautiful fractal graphics can be saved as Bitmap files in the puter. Using the fractal theory to the device of puter graphic, it can not only create many flowery fractal graphics but also realize a bination between puter and arts, it can offer the width space of device g