【正文】 ( 4 ) ??11d xx . 2. 若當(dāng) a ≤ x ≤ b , 有 )( xf ≤ )( xg ，問下面兩個(gè)式子是否均成立，為什么？ （ 1 ） ?baxxf d)( ≤ ?baxxg d)( 。,2,1(1nixxxiii?????? (2) 取近似 在每個(gè)小區(qū)間 [iixx ,1?] 上任取一點(diǎn) i?豎起高線)(if ?, 則得小長條面積iA?的近似值為 iiixfA ??? )( ? ( ni ,2,1 ?? ) 。 但在實(shí)際問題中，常會(huì)遇到與此相反的另一類問題。 CxFdxxf ??? )()()x(f)x(F ??3. 不定積分的幾何意義 若 y = F (x) 是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)， 則稱 y = F (x) 的圖形是 f (x) 的 積分曲線 . 因?yàn)椴欢ǚe分 CxFxxf ??? )(d)(是 f (x) 的原函數(shù)的一般表達(dá)式， 所以它對應(yīng)的圖形是 一族積分曲線 ， 稱它為積分曲線族 . 積分曲線族 y = F (x) + C 的特點(diǎn)是 ： 當(dāng) C 0 時(shí)，向上移動(dòng)； (1)積分曲線族中任意一條曲線， 可由其中某一條 (例如 ， 曲線 y = F(x) ) 沿 y 軸平行移動(dòng) |C|單位而得到 . 當(dāng) C 0 時(shí)，向下移動(dòng)； (2)由于 [F (x) + C]? = F ? (x) = f (x)， 即橫坐標(biāo)相同點(diǎn) x 處 ， 每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等 ， 都等于 f (x)， 從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行 (如圖 )． x y O y = f (x) y = F (x)+C 積分曲線族 y = F (x) + C 由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以相應(yīng)地得出下列積分公式： (1) ? ?? Ckxxk d ( k 為常數(shù) ) ， (2) Cxxx ???? ? 111d ???（ 1??? ） ， (3) Cxxx ??? lnd1 ， (4) e d exxxC??? ， (5) ? ?? Caaxaxxlnd ， (6) ? ?? Cxxx s i ndc o s ， (7) ? ??? Cxxx c o sds in ， 二、 基本積分公式 (8) ? ? ??? Cxxxxx ta nds e cdc o s1 22 ， (9) ? ? ???? Cxxxxx c o tdc s cds i n 1 22 ， (10) ? ?? Cxxxx s e cdt a ns e c ， (11) ? ??? Cxxxx c s cdc o tc s c ， (12) Cxxx ???? a r c ta nd1 1 2 ， （ 13 ） Cxxx ???? ar c s i nd1 1 2 . 性質(zhì) 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號外 ， 即 ? ?? xxfkxxkf d)(d)( （ 0?k ） . 性質(zhì) 2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和 ， 即 ? ?? ? ???? xxgxxfxxgxf d)(d)(d)()( . 三、 不定積分的性質(zhì) 例 3 求下列不定積分 : （１） ? ?? ?????? ?? xxxx d11 ； （２） ? ?? xxx d1122． 解 （ 1 ） ? ?? ? ?????????????????? xxxxxxxxx d11d11 ? ??? ????? xxxxxxxx d1d1dd.22152 21225Cxxxx ?????（２） ? ? ? ??????????????? xxxxxxxx d121d121d1122222 .ar c t an21d2d 2 Cxxx xx ?????? ?? 例 4 求下列不定積分： (1) ? xx dta n 2 ； (2) ? xx d2s in 2 ． 解 (1) ?? xx dt an 2 xx d)1( s e c 2 ?? = .t andds e c 2 ?? ???? Cxxxxx 2 1 c ossi n d d2211si n .22xxxxx x C??? ? ??? (2) dxxx?22c o ss i n1]3[dxxxxx? ??2222c oss i nc oss i n ???? dxxdxx 22 s i n1c os1cxx ???? t a nc o t例 5 求 其中,d)(? xxf f (x)= x2+1, x0. 1 ,1 ?xx10 ,1 ?? x解 : 作函數(shù)，待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxf???????F(x)= 0 ,33?? xxx1 ln 2 ?? xCx10 1 ??? xCx而要使 F(x)成為 f (x)在 R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而 C1＝ 0， C2＝ 1，因此滿足條件的函數(shù)為 F(x)= 0 ,33?? xxx.1 1ln ?? xx10 , ?? xx故 CxFxxf ??? )(d)(例 6 設(shè) ? ? ,c o ss i n 22 xxf ?? 求 ? ?xf ． 解 由于 ? ? xxxf 222 s i n1c o ss i n ???? ， 所以 ? ? xxf ??? 1 , 故知 )( xf 是 x?1 的原函數(shù) ， Cxxxxxf ????? ? 2d)1()( 2 . 得 思考題 1 ．在不定積分的性質(zhì) ? ?? ?? xxfkxxkf d)(d中 ， 為 何 要求 0?k ？ 2． 思考下列問題： (1) 若 ? ?? ??? ,si n2d Cxxxf x 則 ? ?xf 為何？ (2) 若 )( xf 的一個(gè)原函數(shù)為 ,c o s x 則 ? ?? ? xxf d 為何？ 一、 換元積分法 二 、 分部積分法 三、 簡單有理數(shù)的積分 換元積分法和分部積分方法 1． 第一換元積分法 (湊微分法 ) 直接驗(yàn)證得知 ,計(jì)算正確． 例 1 求 xx de 3? . 解 被積函數(shù) x3e 是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式 ，我們可以把原積分作下列變形后計(jì)算： ? ?? Cx xx ede?? ?? xuxx xx 3)d ( 3e31de 33 令? ?? Cu uu e31de31 回代 31 Cx ?3e . 例 2 求 xx x de2 2? ． 解 注意到被積式中含有 2e x 項(xiàng) , 而余下的部分恰有 微分關(guān)系： 22 d d ( )x x x? ．于是類似 于例 1, 可作如下變 換和計(jì)算： 一、換元積分法 .eede)(dede2 22222 CCuxuxxx xuuxx ????? ??? 回代令上述解法的特點(diǎn)是引入新變量 )( xu ?? , 從而把原積分化為關(guān)于 u 的一個(gè)簡單的積分， 再套用基本積分公式求解 , 現(xiàn)在的問題是，在公式 ? ?? Cx xx ede 中，將 x 換成了 )( xu ?? , 對應(yīng)得到的公式 ? ?? Cu uu ede 是否 還成立 ?回答是肯定的 ,我們有下述定理： 定理 如果 ? ?? CxFxxf )(d)( ，則 .)(d)(? ?? CuFuuf其中 )( xu ?? 任一個(gè)可微函數(shù)． 證 由于 ? ?? CxFxxf )(d)( , 所以xxfxF d)()(d ? ．根據(jù)微分 形式不變性 , 則有： uufuF d)()(d ? ．其中 )( xu ?? 是x 的可微函數(shù)，由此得 .)()(dd)(? ? ??? CuFuFuuf 這個(gè)定理非常重要，它表明：在基本積分公式中， 自變量 x 換成任一可微函數(shù) )( xu ?? 后公式仍成立． 這就大大擴(kuò)充了基本積分公式的使用范圍．應(yīng)用這一結(jié)論， 上述例題引用的方法 , 可一般化為下列計(jì)算程 序： )()(d)]([d)()]([ xuxxfxxxf ????? ?? ?? 令湊微分 .)]([)(d)( CxFCuFuuf ??? ?回代 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法． 例 3 求 ? xxx ds i nc o s 2 . 解 設(shè) ,c o s xu ? 得 xxu dsi nd ?? , .c o s3131dds i nc o s 3322? ? ???????? CxCuuuxxx方法較熟悉后 , 可略去中間的換元步驟 , 直接湊微分成積分公式的形式． 例 4 求 ? ? xx x 2ln1 d ． 解 ? ?? ?2 2 2d 1 d 1d l n1 l n 1 l n 1 l na r c s i n l n .xxxxx x x xxC???? ????? ? ???? ? ? 例 5 求 ? xx x ds i n ． 解 ?? ???? Cxxxxxxc o s2ds in2ds in． 湊微分法運(yùn)用時(shí)的難點(diǎn)在于原題并未指明應(yīng)該把哪一部分湊成 )(d x? , 這需要解題經(jīng)驗(yàn) , 如果記熟下列一些微分式 , 解題中則會(huì)給我們以啟示． ，)(d1d baxax ?? ，)(d21d 2xxx ? ，)(d2dxxx? ，)e(dde xx x ? ，|)|( lndd1xxx? ，)(c o sdds in xxx ?? ，)( s i nddc o s xxx ? ，)( ta ndds e c 2 xxx ? ，)( c o tddc s c 2 xxx ?? ，)( a r c s ind1d2xxx?? )( a r c ta nd1d2xxx??． 下面的例子 ,將繼續(xù)展示湊微分法的解題技巧 ． 例 6 求下列積分： (1) ；)0(d22???axax (2) ；?? 22dxax (3) ；? xx dta n (4) ；xx dc o t? (5) ? ；xx ds e c (6) ? .dc s c xx ??????????????????????????axaxxaxaxaxd11d11d2222 解 （ 1） = .ar c s i n Cax ? 類似得 (2) .ar c t an1d 22