【正文】 學(xué)生在二次反思后，在鞏固練習(xí)中，還有新的感悟和體驗(yàn)。 （ 1）創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生獨(dú)立思考的空間 學(xué)生的這些想法體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性，都是很有價(jià)值的，有直觀的方法，有轉(zhuǎn) 化方法 —— 除法轉(zhuǎn)化成乘法、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，更值得一提的是學(xué)生看到分子是除數(shù)的倍數(shù)，就直接用分子除以除數(shù)，分母不變，體現(xiàn)了學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。 6 學(xué)生計(jì)算，反饋訂正。??（多數(shù)學(xué)生認(rèn)為“用乘法”方便） 師：我也認(rèn)為“乘法”，最有普遍性。 生 3:我有辦法，把 45 的分子和分母都擴(kuò)大 3 倍，是 1215 ，再除以 3， 12315? ＝ 415 師：他的方法可以嗎？ 生 2 ，太好了，用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我怎么沒(méi)想到。 3 得多少呢？能不能用你們剛才的方法再來(lái)算一算。（很快有就學(xué)生得出了結(jié)論） 老師引導(dǎo)學(xué)生想一想用什么方法得到的結(jié)果，并在全班進(jìn)行交 流。正確認(rèn)識(shí)學(xué)生個(gè)體的差異，因材施練，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)，注意了解分析錯(cuò)因，有針對(duì)性進(jìn)行輔導(dǎo) 。 6=商是兩位數(shù) 這個(gè)題目比較開(kāi)放，體現(xiàn)了思維的靈活性和逆向思維。 （ 3）精心組織練習(xí) 練習(xí)的呈現(xiàn)方式要多種多樣，而且要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的興趣。這種做法對(duì)學(xué)生計(jì)算水平的提高是非常有效的。只有準(zhǔn)確地把握住學(xué)生錯(cuò)誤的原因，才能對(duì)癥下藥。學(xué)生的問(wèn)題是對(duì)乘法的算理的不理解，因此導(dǎo)致了計(jì)算方法的錯(cuò)誤。 作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要不斷地學(xué)習(xí)和深刻地領(lǐng)悟運(yùn)算中的算理；另外要在算理與具體的教學(xué)方法有 機(jī)結(jié)合方面進(jìn)行很好地探索；使學(xué)生能夠在直觀的、數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐操作活動(dòng)中，進(jìn)一步深刻地感悟數(shù)學(xué)計(jì)算的道理，很好地掌握計(jì)算的方法。站位高，有想法。在課堂上，我們還看到老師收和放都比較自如，恰到好處地在學(xué)習(xí)探索中給予引領(lǐng)。 好！同學(xué)們，剛才我們通過(guò)這樣的計(jì)算得到最后的結(jié)論是， 21 乘以 3 等于 63 個(gè)?? 剛才丁杭纓老師這個(gè)教學(xué)的片斷給我們最大的啟發(fā)有兩點(diǎn)： ①老師給足學(xué)生探索的時(shí)間和空間。 師：你們都聽(tīng)明白了。 【案例 2】教師如何幫助學(xué)生理解算理 片斷： 在具體情境中，提出問(wèn)題，學(xué)生列出乘法算式 21X3。 其余幾個(gè)孩子的想法，他們都有邏輯推理的過(guò)程：像 乘 ，他只把 擴(kuò)大 10倍，2 乘 是 ，然后把 再縮小 10 倍，就是 ，他是在原有舊知識(shí) —— 乘 2 已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上，探究 乘 的，最后得出結(jié)果是 。 現(xiàn)在計(jì)算教學(xué)淡化了程式化地?cái)⑹鏊憷砗陀?jì)算法則 ，重在讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算方法的獲得過(guò)程，重在展示計(jì)算方法的形成過(guò)程，重在暴露學(xué)生的思維過(guò)程，讓學(xué)生真正理解算理，掌握具體的計(jì)算方法，形成計(jì)算技能。 當(dāng)學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)交換律和結(jié)合律時(shí)，怎樣能夠保證計(jì)算結(jié)果正確呢？老師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，用操作和教具演示等方法。因?yàn)檫@樣做不符合孩子的認(rèn)知規(guī)律，也不可能讓小學(xué)生一下子說(shuō)那么多？說(shuō)那么多，他就是真的理解嗎？ 學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)過(guò)的定律有加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律五個(gè)運(yùn)算定律。教師要不斷地站在學(xué)生的角度去思考、去挖掘這些方法的思維價(jià)值。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)： 78 365積大約是多少，剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，學(xué)生可能這樣估 70 300，或者 80 300，或者 80 400，這樣我們都可以視為是合理的。在這里我們只是提了六種具體的策略，其實(shí)還有很多，一線的老師們有很多豐富的經(jīng)驗(yàn)，希望你 們不斷地完善估算策略，并且在適當(dāng)時(shí)候幫助學(xué)生進(jìn)行總結(jié)。比如 32 37 30 39 這四個(gè)數(shù)求和，這些數(shù)都很接近 35，有的比 35 多一點(diǎn)，有的比 35 少一點(diǎn)，就取一個(gè)中間數(shù) 35，直接用 35 4，就大約地計(jì)算出這幾個(gè)數(shù)相加的結(jié)果。 ⑵教師要積極地引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)估算和精確計(jì)算結(jié)果的比較當(dāng)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽(tīng)、反思，加強(qiáng)體驗(yàn)，積累經(jīng)驗(yàn)，不斷地提高估算的能力 以上面估算這節(jié)課為例，一般老師看到了學(xué)生用多樣的方法、策略，來(lái)進(jìn)行估算，往往就滿足了，一般情況下在這兒就要收尾了。 生 3：都看成 30，每個(gè)數(shù)都少了，所以就比實(shí)際結(jié)果少；都看成 40，每個(gè)數(shù)都多了，所以就比實(shí)際結(jié)果多，所以結(jié)果在這兩個(gè)數(shù)之間。 6）小組討論之后反饋。雖然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的還多，可是真正好的例子，能夠搬到課堂上來(lái)用的，并不很多?？梢钥闯稣?yàn)樗幸粋€(gè)好的估算習(xí)慣，才能夠及時(shí)糾正自己的錯(cuò)誤。經(jīng)查證服 務(wù)員將 42 記了兩次，正好多收了 42 元。 ①教師要重視估算，并把估算意識(shí)的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo) 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，首先要考慮教學(xué)目標(biāo)，如果把目標(biāo)定位在做一些機(jī)械的訓(xùn)練，可能就會(huì)給學(xué)生形成一種錯(cuò)誤的定勢(shì)。 幼兒園工作者：我覺(jué)得應(yīng)該有吧，比如吃飯，我經(jīng)常會(huì)遇到這種情況，因?yàn)橛袝r(shí)候開(kāi)的發(fā)票不是很準(zhǔn)確，你又希 望這個(gè)價(jià)格很準(zhǔn)確，但是大腦運(yùn)作得又太慢，加菜單的時(shí)候太慢，所以我覺(jué)得這個(gè)應(yīng)該挺有價(jià)值的，就是從生活角度。 （ 3）估算有利于人們事先來(lái)把握運(yùn)算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的一個(gè)重要的途徑 估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，也是保證計(jì)算正確的重要環(huán)節(jié)，尤其對(duì)提高學(xué)生的計(jì)算能力很有益處，計(jì)算前進(jìn)行估算，可以估計(jì)出大致結(jié)果，為計(jì)算的準(zhǔn)確性創(chuàng)設(shè)條件；計(jì)算后進(jìn)行估算，能判斷計(jì)算有無(wú)錯(cuò)誤并找出錯(cuò)誤的原因，及時(shí)糾正。曾經(jīng)有一個(gè)學(xué)者做過(guò)一個(gè)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)人在日常生活當(dāng)中精確計(jì)算，和粗略估計(jì)算的機(jī)會(huì)來(lái)比，后者多得多。 第四種方法好像跟第一種方法有異曲同工之效，只不過(guò)他自己把減數(shù)和被減數(shù)同時(shí)增加一個(gè)相同的數(shù)，我覺(jué)得可能在他眼里這么做會(huì)更巧更簡(jiǎn)單，他在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中實(shí)際上把減數(shù)湊整，而在湊整的同時(shí)，他讓那個(gè)被減數(shù)隨之增加，所以我覺(jué)得教師有必要去挖掘?qū)W生背后的東西，價(jià)值更大，在同學(xué)中相互影響 的教育意義也更豐富。 討論問(wèn)題： （ 1）面對(duì)本例中學(xué)生的那么多算法，你的感想是什么？算法多樣化的價(jià)值到底有哪些？ （ 2）這些算法中是否有最優(yōu)的？衡量的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 就案例中幾種計(jì)算方法的價(jià)值，我們采訪了北京五中 數(shù)學(xué)特級(jí)教師張毅老師。比如， 100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法共 369題，對(duì)進(jìn)位加法本身來(lái)說(shuō)，這些題的口算訓(xùn)練價(jià)值是等同的。 ⑴ 把基本口算抓好（ 20 以內(nèi)加減法、表內(nèi)乘除法）； ⑵ 練習(xí)的針對(duì)性：一天一組一組地根據(jù)問(wèn)題練，問(wèn)題越練越少； 如： 小數(shù)加法減法學(xué)生容易丟數(shù)，一般給學(xué)生準(zhǔn)備三組題，先單練一組，時(shí)間很短，也非常有針對(duì)性，幫助學(xué)生找出錯(cuò)誤原因；第二次反復(fù)練就達(dá)到一種認(rèn)識(shí)掌握，再練第三組是熟練掌握。 ⑴基本概念的理解是提高計(jì)算正確率的基礎(chǔ)。 討論問(wèn)題： （ 1）小數(shù)乘小數(shù)運(yùn)算的算理究竟是什么？算理與算法的關(guān)系是什么？ （ 2）教師在使學(xué)生理解算理上有哪些好的經(jīng)驗(yàn)和做法，舉例說(shuō)明。 02 與 3 相乘得 06,任何數(shù)和 0相乘都得 0，所以 和 0 相乘得 00,加起來(lái)就是 .”邊說(shuō)邊寫出了下面的豎式： 0 600 6 學(xué)生的方法得到同學(xué)們的熱烈的掌聲。這節(jié)課在討論具體小數(shù)乘小數(shù)如何計(jì)算的基礎(chǔ)上，歸納出如何進(jìn)行小數(shù)乘小數(shù)的運(yùn)算。當(dāng)他到達(dá)商店時(shí)，發(fā)現(xiàn)這三種食品的價(jià)格如下圖所示： 在下列哪種情況下使用估算比精算有意義？ $5 是否夠用時(shí)； ； ； 。 學(xué)生在上完課與教師的交流中這樣說(shuō)道：“好象只有您的課堂中才用到估算。 （ 2）抽象地談在一個(gè)算式中，每個(gè)數(shù)可以怎么進(jìn)行估計(jì)。有學(xué)者將估計(jì)的形式分為了三種：數(shù)量估計(jì)（大約有多少，有人稱之為估數(shù)）、測(cè)量估計(jì)（即我們所說(shuō)的估測(cè)）、計(jì)算估計(jì) (即我們所說(shuō)的估 算 )?？墒窃谛抡n程理念下的小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的實(shí)施過(guò)程中，不少老師遇到了困難，產(chǎn)生了疑惑， 而且有一些問(wèn)題是帶有普遍性的，比如： 1．估算有什么價(jià)值？課上有沒(méi)有必要用這么長(zhǎng)時(shí)間來(lái)進(jìn)行估算教學(xué)？ 2．學(xué)生的估算意識(shí)不強(qiáng)，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)？ 3． 估算有沒(méi)有統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)？ 4．運(yùn)算教學(xué)中，新課程提倡“算法多樣化”，但實(shí)際教學(xué)中，是不是應(yīng)該讓學(xué)生都掌握一個(gè)最基本的計(jì)算方法？可是這樣做會(huì)不會(huì)又回到老路子上？ 5．計(jì)算教學(xué)中， 如何處理算理和計(jì)算方法的關(guān)系？它們孰輕孰重？ 6．什么是數(shù)感？如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感？ ?? 以上是教師們普遍關(guān)心的問(wèn)題，不難看出，現(xiàn)在老師們關(guān)注的問(wèn)題與實(shí)施新課程開(kāi)始的問(wèn)題已經(jīng)有了不同。專題 1 新課程理念下“運(yùn)算教學(xué)”的研討 專題簡(jiǎn)介 數(shù)與運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技能一直是廣大教師關(guān)注的問(wèn)題。大家開(kāi)始思考一些實(shí)施中新出現(xiàn)的問(wèn)題。這里討論的是估算，先從具體案例入手。 —— “ 388”可以怎么估？（ 380， 390， 400， 300） —— 在 388+120， 388+110 中，你打算分別怎樣估“ 388”，才能不僅快，而且與實(shí)際結(jié)果相差最??？ 生 1： 388+110， 388 估成 390，因?yàn)?10+90 是 100，結(jié)果湊成整百?！苯處熛萑肓藢擂沃?。 。 課上通過(guò)一個(gè)問(wèn)題情境，首先引出了 =？ 首先，學(xué)生進(jìn)行了猜想。隨即有同學(xué)問(wèn)：“為什么不把小數(shù)點(diǎn)加在 0 和 6之間呢？” 學(xué)生 5：“我們學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘以兩位數(shù)了，我看成是 03 乘以 02,得數(shù)應(yīng)當(dāng)是 006。 （ 3）有的老師認(rèn)為：“畫(huà)圖的方法很形象，總不能一直畫(huà)下去吧？”，你如何看待這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生的想法體現(xiàn)出這個(gè)片段活動(dòng)有哪些價(jià)值？ 【案例 4】學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)例 案例描述： 整數(shù)乘法中： 25 3=95； 24 5=100 除數(shù)是小數(shù)除法中： 247。 在計(jì)算中，基本概念就是數(shù)位、計(jì)數(shù)單位和進(jìn)率，尤其是計(jì)數(shù)單位這個(gè)概念，對(duì)于計(jì)數(shù)來(lái)講是非常重要的，我們可以梳理一下整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法，應(yīng)該說(shuō)它們最 核心 、最本質(zhì)的就是相同的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加減，核心概念如果掌握了，在課堂上對(duì)孩子來(lái)講，就創(chuàng)造了一定的前提條件。 一般老師可能都是一練就是練一組 20 題，練完一糾正就完了，但如果把它分為三 組，每組可能就 5道題，題目很少，但是針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，錯(cuò)了之后學(xué)生有一個(gè)改錯(cuò)、再認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì)，最后一組再進(jìn)行熟練，這樣每天的這個(gè)效果肯定非常突出，非常明顯。但對(duì)后繼學(xué)習(xí)（多位數(shù)乘法計(jì)算）的作用來(lái)說(shuō)，口算訓(xùn)練價(jià)值就不一樣。 主持人： 以上案例中學(xué)生出現(xiàn)了這么多的算法， 您有什么感受？ 張毅： 學(xué)生能夠用這么多種方法解決一道在咱們眼里司空見(jiàn)慣的一道題，我覺(jué)得這些小孩那種沒(méi)有被束縛的頭腦，他們的想象力超出我的想像，我覺(jué)得學(xué)生能夠出現(xiàn)這么多種算法，是一件非?？上埠椭档梅Q贊的一件事。 我們想張毅老師的想法一定會(huì)給大家以啟發(fā)。例如，我們每個(gè)家庭要計(jì)劃自己家庭的收入和支出，這就需要估計(jì)；一個(gè)商場(chǎng)，它的營(yíng)業(yè)額是多少，它的利潤(rùn)如何，這要進(jìn)行大致的預(yù)測(cè)，這也是估計(jì)；企業(yè)對(duì)經(jīng)營(yíng)的產(chǎn)品或者銷售額也要進(jìn)行估計(jì)；又如現(xiàn)在北京市公交車輛特別多，那么公交部門的運(yùn)輸能力到底是多少，不一定很精確計(jì)算，也需要大致做估計(jì)；再比如，現(xiàn)在大城市流動(dòng) 人口很多，到底流動(dòng)人口是多少，我們?cè)谧鼋y(tǒng)計(jì)時(shí)也要做一些估計(jì)，一般來(lái)講尾數(shù)就省略不計(jì)了。在學(xué)生的日?？谒愫凸P算過(guò)程中，無(wú)論是計(jì)算前估算或者是計(jì)算后估算，都有一定的價(jià) 值，比如說(shuō)拿到一道題，還沒(méi)算之前，先估算一下，大概它的范圍是多少，這有利于學(xué)生進(jìn)行合理的判斷。有時(shí)候你不可能當(dāng)著朋友面算算算半天，擱那兒摳摳半天，但是也確實(shí)那個(gè)餐廳也有過(guò)這種情況，他可能給你寫一個(gè)價(jià)格，但是他最后的結(jié)果他比你要高出，有這種情況，所以為了避免這種損失，應(yīng)該有一個(gè)大概的一個(gè)估算，不會(huì)差得太大。而我們要培養(yǎng)學(xué)生估算的意識(shí)、近似的意識(shí)，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)本身發(fā)展應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，也應(yīng)該作為我們重要的教學(xué)目標(biāo)來(lái)實(shí)施。由于有了估算的意識(shí)才避免了服務(wù)員的錯(cuò)收費(fèi)。還有一個(gè)例子， 231 加上 416，有位學(xué)生得 500，當(dāng)時(shí)同桌給他看的時(shí)候，說(shuō)你這肯定不對(duì)，一個(gè) 200 多加一個(gè) 400 多，肯定得 600多，怎么它也不能得 500多。特別是適合兒童的、貼近兒童的現(xiàn)實(shí)生活的例子就顯得有些不足。 片段二：展現(xiàn)不同的估算方法。 這個(gè)課例中，王老師給孩子出示的問(wèn)題情境很巧妙，使學(xué)生產(chǎn)生了估算需要。多樣化也體現(xiàn)出來(lái)了，策略的變化也體現(xiàn)出來(lái)了。 ③ 利用特殊的數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行估數(shù)。 三、估算的評(píng)價(jià) 關(guān)于估算評(píng)價(jià)，可以把估算分為兩種情況：一種是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)估算，一種是脫離實(shí)際問(wèn)題的情境 —— 純算式的估算。有了一定的計(jì)算技能以后，老師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行 反思，還可以估成 80 350。不斷地培養(yǎng)孩子的估算意識(shí)，利用這種近似的意識(shí)來(lái)發(fā)展孩子的數(shù)學(xué)思