【正文】 ? 產(chǎn)生隨機(jī)變量的常用方法 ? 反變換法、組合法、卷積法及取舍法 一、反變換法 ? 常用且直觀(guān)，以概率積分變換定理為基礎(chǔ) ? 設(shè)隨機(jī)變量 x的分布函數(shù)為 F(x)，則 x的抽樣值可按如下方法求： 產(chǎn)生在 [0,1]上的均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量 u，由反分布函數(shù) 得到的值即為所需要的隨機(jī)變量 x ? 該方法對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行反變換，故此得名 1 ()x F u??例：連續(xù)隨機(jī)變量 ? 對(duì)指數(shù)分布 產(chǎn)生 x抽樣值 解：用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生 1 , 0()0 , 0xexFxx??????? ?? ??~ (0 ,1)uU/( ) 1 xu F x e ??? ? ?1 ( ) l n( 1 )x F u u??? ? ? ?1 ~ ( 0 , 1 )uU??lnxu???令 則 因 ~ (0 ,1)uU 同分布 則有 ? 由上面的例子可以看到，用反變換法產(chǎn)生隨機(jī)變量時(shí)首先必須用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生在 [0,1]上均勻分布的獨(dú)立的 u，以此為基礎(chǔ)得到的隨機(jī)變量 x才能保證分布的正確性，可見(jiàn)，選擇一個(gè)均勻性及獨(dú)立性較好的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器在產(chǎn)生隨機(jī)變量中是十分重要的 ? 當(dāng) x是離散隨機(jī)變量時(shí) ，其反變換法的形式略有不同，原因在于離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)也是離散的，因而不能直接利用反函數(shù)來(lái)獲得隨機(jī)變量的抽樣值 ? 對(duì)有 離散隨機(jī)變量 x，分別以概率 取值 ， 其中 ，由此可劃分 n個(gè)子區(qū)間： 用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生 ，若 則取 x=xi即可 ? 顯然，區(qū)間搜索策略直接影響抽樣值產(chǎn)生速度 12( ) , ( ) , ( )np x p x p x 12, nx x x1( ) 1niipx???12 nx x x? ? ?11 1 1 211( 0 , ( ) ] , ( ( ) , ( ) ( ) ] , , ( ( ) , ( ) ]nniiiip x p x p x p x p x p x???? ??100( ) ( )iijjjjp x u p x???????~ (0 ,1)uU例：離散隨機(jī)變量 ? 質(zhì)量函數(shù)及累積分布函數(shù)如下 用反變換法產(chǎn)生隨機(jī)變量 x 先由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生 [0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量 u，設(shè) u=，按反變換法，逐區(qū)間搜索比較，得 x=x3=3 二、組合法 ? 若分布函數(shù)可表示成若干其它分布函數(shù)之和，且這些分布函數(shù)更易取樣時(shí)，選擇組合法 ? 設(shè)隨機(jī)變量 x的分布函數(shù) 或密度函數(shù) 其中 ，且 ， 易于取樣 則組合法步驟： 1( ) ( )jjjF x p F x??? ?1( ) ( )jjjf x p f x??? ?0jp ?01jjp???? ( ) , ( )jjF x f x? (1) 產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù) J，滿(mǎn)足 即決定采用哪一個(gè)分布函數(shù)進(jìn)行取樣 ? (2) 產(chǎn)生具有分布函數(shù) Fi(x)或密度函數(shù) fi(x) 的隨機(jī)變量，則 x=xi ? 第一步可用離散反變換法實(shí)現(xiàn) 第二步可用反變換法或以下介紹的其它方法 ? 顯然，兩步都需要產(chǎn)生相互獨(dú)立的 { } , 1 , 2 ,jP J j p j? ? ?~ (0 ,1)uU例：設(shè)密度函數(shù)為 產(chǎn)生服從該分布的隨機(jī)變量 x 直接用反變換法產(chǎn)生隨機(jī)變量 x很困難，分析 f(x)的特點(diǎn)，可知它以縱軸為對(duì)稱(chēng)軸分為兩部分 f(x)可寫(xiě)成如下形式 ||( ) xf x e ??( , 0 ) [ 0 , )( ) 0 . 5 ( ) 0 . 5 ( )xxf x e I x e I x?? ? ???( , 0 )1 , ( , 0 )()0,xIxo th e r??? ? ?????[ 0 , )1 , [ 0 , )()0,xIxo th e r???????其中 ? 用組合法產(chǎn)生隨機(jī)變量 x的方法如下： ? 由 U(0,1)產(chǎn)生隨機(jī)變量 u1及 u2 ? 若 u1，則由 f1(x)的分布函數(shù)產(chǎn)生，可由反變換法得到 ? 若 ，則由 f2(x)的分布函數(shù)產(chǎn)生，即 令 從而 11( , 0 )( ) ( ) ( 0 .5 )xf x e I x p????22[ 0 , )( ) ( ) ( 0 .5 )xf x e I x p????21( ) ( )iiif x p f x?? ?2lnxu?2lnxu??1 ?三、卷積法 ? 若 ， 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則 x的分布函數(shù)與 的分布函數(shù)相同，稱(chēng) x的分布為 Yi分布的 m重卷積 ? 為產(chǎn)生 x，可先獨(dú)立地產(chǎn)生 ，并簡(jiǎn)單相加即得 x，稱(chēng)為卷積法 12 mx Y Y Y? ? ? 12, mY Y Y1miiY??12, mY Y Y例：產(chǎn)生均值為 β的 m維 Erlang分布隨機(jī)變量 x ? m維 Erlang分布 En(λ )的概率密度為 難以直接產(chǎn)生 x ? Erlang(m,β)可表示為 m個(gè)均值為 的獨(dú)立的指數(shù)隨機(jī)變量之和，即 以及 解 : (1)獨(dú)立產(chǎn)生 m個(gè) U(0,1)隨機(jī)數(shù) Ui (2)用反變換法分別產(chǎn)生 (3)令 即可 m?1() imm ximf x e ????? ?1( ) ( 1 )imm xiF x e ??????l n , ( 1 , )iiY u i mm?? ? ?1miixY???1()( ) , ( 0 。 else T1=10。 end end end [s1/10000, s2/10000,s3/10000,s4/10000] 人到達(dá)時(shí)刻 仿真測(cè)試 火車(chē)運(yùn)行時(shí)間的仿真測(cè)試 x=randn(10000,1)。 s2=0?；疖?chē)大約在下午 1點(diǎn)離開(kāi) A站，離開(kāi)時(shí)刻的頻率分布為 出發(fā)時(shí)刻（ T） 1： 00 1： 05 1： 10 頻率 ? 此人到達(dá) B站時(shí)的頻率分布為： 模擬火車(chē)開(kāi)出、火車(chē)到達(dá) B站、此人到達(dá) B站的情況，并給出能趕上火車(chē)的仿真結(jié)果。 方 差 : ? = 1/12 均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)示意圖 1 1 0 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 ? 產(chǎn)生 [0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量的算法，稱(chēng)為 “ 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 ” ? 常用 ? 線(xiàn)性同余發(fā)生器 ? 組合發(fā)生器 一、線(xiàn)性同余發(fā)生器 ? 遞推公式： ? 所有參數(shù)值均為非負(fù)整數(shù)， Z0稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)源 ? 則 [0,1]區(qū)間上的隨機(jī)數(shù) ? 可證明： ? 顯然本質(zhì)上非隨機(jī)且取值有限 ? 例： m=16， a=5， C=3， Z0=7 1( ) ( m o d )iiZ a Z C m???/iiU Z m?01( ) ( m o d )1nnnaZ a Z C ma????? 該發(fā)生器特點(diǎn) ? 適當(dāng)?shù)?m,a,c可使 Zi循環(huán)產(chǎn)生，循環(huán)周期稱(chēng)為發(fā)生器周期，記為 P；當(dāng) P=m時(shí)，稱(chēng)發(fā)生器具有滿(mǎn)周期 ? 適當(dāng)?shù)?m,a,c可使每個(gè)周期內(nèi)每個(gè)數(shù)僅出現(xiàn)一次，即具有均勻性 ? 當(dāng) m足夠大且發(fā)生器滿(mǎn)周期、均勻時(shí)， Ui在[0,1]上均勻分布，且取值足夠密 ? （滿(mǎn)周期條件）定理：當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件，線(xiàn)性同余發(fā)生器滿(mǎn)周期 ? m與 c無(wú)公因子 ? 若 q是整除 m的素?cái)?shù)，在 q能整除 a1 ? 若 m能被 4整除，則 a1也能被 4整除 ? 當(dāng) c0時(shí)稱(chēng)混合乘同余法， c=0稱(chēng)乘同余法 素?cái)?shù)取模乘同余法（ PMMLCG） ? m是小于 2b的最大素?cái)?shù)，而 a的選擇滿(mǎn)足al1被 m整除的最小整數(shù) l=m1，也就是說(shuō)能被 m整除的 al1的最小整數(shù)為 am11，那么得到的 zj的周期為 m1，且在每個(gè)周期內(nèi)， 1,2,…, m1這些整數(shù)嚴(yán)格地只出現(xiàn)一次。 ? 離散事件系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)就是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法 ? ? 1927年 ,4萬(wàn)隨機(jī)數(shù)表 ,以后有 100萬(wàn)隨機(jī)數(shù)表（可以輸入內(nèi)存，隨時(shí)調(diào)用） ? ? 從真實(shí)物理現(xiàn)象的隨機(jī)因素中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，放射性粒子的放射源，電子晶體管的固有噪音等，單位時(shí)間內(nèi)放射出的粒子數(shù)是隨機(jī)的。 ? 統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)器 ? 因固有的隨機(jī)性，某一次仿真運(yùn)行得到的狀態(tài)變化過(guò)程只不過(guò)是隨機(jī)過(guò)程的一次取樣，離散事件系統(tǒng)的仿真結(jié)果只有在統(tǒng)計(jì)意義下才有參考價(jià)值 ? 在仿真模型中 , 需要有一個(gè)統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)部件， 以便統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)中的有關(guān)變量，如排隊(duì)系統(tǒng)中