經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒級數(shù)與冪級數(shù)-免費閱讀
【正文】 (0)!1(1???????nnxenx于是有界xe?的一般項，是收斂級數(shù) ??????? 111)!1()!1( nnnnxnx0lim ??? nn R例 2 .s in)( 的冪級數(shù)展開成將 xxxf ?解 ),2si n ()()( ??? nxxf n ,2si n)0()( ?? nf n,0)0()2( ?? nf ,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n的麥克勞林級數(shù)為xs i n.... .)!12( )1(.... ..!7!5!3)12(753?????????nxxxxx nn)( ????? x),( ?????x)(0)!1(1??????nnxn????????????012753)12(......!71!51!31s i nnnnxxxxxx1)!1(]2)1(s i n [)( ????? nn xnnxR??之間）到在（ x0?例 3 .)()1()( 的冪級數(shù)展開成將 xRxxf ??? ??解 ,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2nnn aa 1lim ???? 1???? n n ,1? ,1?? R若內(nèi)在 ,)1,1( ???? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm ??????????? ??? 兩邊乘以 (1+x)，合并 的系數(shù)，利用 nx)()1( xsx ??有??? ????????????????? ? 1222!)1()1(!2)1( nxnnxx)( xs??,1)( )( xxs xs ???? ? .1)0( ?s且兩邊積分 00() d d ,( ) 1xxsx xxs x x?? ? ??? )1,1(??x得 ),1l n ()0(ln)(ln xsxs ????即 ,)1l n ()(ln ??? xxs,)1()( ?xxs ???)1,1(??x??? ?????????????????? ?nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2)1,1(??x——牛頓二項展開式 注意 : .1 的取值有關(guān)處收斂性與在 ???x)。 該級數(shù)發(fā)散 。1,1( ?收斂域 )。,1[]1,( ??????發(fā)散域因此級數(shù)斂散性的問題對于函數(shù)項級數(shù)或冪級數(shù)而言，正確的提法是區(qū)間上的哪些點使級數(shù)收斂，哪些點使級數(shù)發(fā)散？ )()(lim xsxs nn ???函數(shù)項級數(shù)的部分和 余項 )()()( xsxsxr nn ??(x在收斂域上 ) 0)(lim ??? xrnn注意 函數(shù)項級數(shù)在某點 x的收斂問題 ,實質(zhì)上是常數(shù)項級數(shù)的收斂問題 . ?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n在收斂域上 , 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs , 稱 )( xs 為函數(shù)項級數(shù)的 和函數(shù) . 定義域是什么 ? ),( xsn定義域就是級數(shù)的收斂域 如果冪級數(shù) ??? 0nnnxa 不是僅在 0?x 一點收斂 , 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 , 則必有一個完全確定的正數(shù) R 存在 , 它具有下列性質(zhì) :當 Rx ? 時 , 冪級數(shù)絕對收斂 。 。1,1(1 ???? 收斂區(qū)間為]。 例 ,)(12????nnnxxf,)(11??????nnnxxf,)1()(22????????nnnxnxf它們的收斂半徑都是 1, 但它們的收斂域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???例：由幾何級數(shù)的收斂得到的幾個結(jié)論 21 1 . . . . . . ( 1 1 )1nx x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?2121 1 2 3 . . . . . . ( 1 1 )1nx x n x xx?? ? ? ? ? ? ? ? ??2 3 1ln ( 1 ) . . . . . . ( 1 1 )2 3 1nx x xx x xn?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??兩邊求導得 兩邊積分得 解 ?????1)1()(nnxnxs設(shè)? ? .11)1(51的和函數(shù)，在求例 ?????nnxn??????110)(nnx xdxxs則 ? ?1,11 ???? xxx??????????xxxs1)( ? ? ? ?1,1112 ???? xx例 6 求級數(shù) ?????11)1(nnnnx的和函數(shù) . 解 ,)1()(11??????nnnnxxs?,0)0( ?s顯然兩邊積分得 0 ( ) d ln ( 1 )x s t t x? ????????? 21)( xxxs ,1 1 x?? )11( ??? x顯然，級數(shù)的收斂域為（ –1， 1] ,1 時又 ?x .1)1(11 收斂?????nnn).1l n()1(11 xnxnnn ???? ???? )11( ??? x),1l n ()( xxs ???)1l n ()0()( xsxs ???即例 7 求 ????1 2)1(nnnn的和 . 解 ,)1(1nnxnn????考慮級數(shù) 收斂區(qū)間 (1,1), ?????1)1()(n
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