隨機(jī)過(guò)程衍生產(chǎn)品的定價(jià)偏微分方程pde-免費(fèi)閱讀
【正文】 性質(zhì) 4 上鞅 }{ nX }{ nX}{ nX 下鞅 }{ nX? 下鞅 }{nX 上鞅 }{ nX?首頁(yè) 性質(zhì) 5 上鞅 }{nXnnm XYYXE ?),|( 0 ?nm ?0,0 ?? nm 下鞅 }{nXnnm XYYXE ?),|( 0 ?nm ?0,0 ?? nm證明 同定理 1類(lèi)似。 返回 首頁(yè) 第六章 鞅和鞅表示 第一節(jié) 離散鞅 第二節(jié) 連續(xù)時(shí)間鞅 第三節(jié) 鞅軌跡的特征 第四節(jié) 鞅舉例 第五節(jié) 鞅表示 第一節(jié) 離散鞅 一、離散鞅的定義及性質(zhì) 定義 1 若隨機(jī)序列 ?,2,1,0},{ ?nX n對(duì)任意 0?n ，有（ 1） ??||nXE（ 2） nnn XXXXE ?? ),|( 01 ?則稱(chēng) }{ nX 為離散鞅序列 簡(jiǎn)稱(chēng)為鞅 首頁(yè) 注 無(wú)后效性 鞅的直觀背景解釋 設(shè)想賭徒在從事賭博過(guò)程中，他在第 n年的賭本為 表示在已知前 n年的賭本 的條件下，第 n+1年的平均賭本。 二、定價(jià)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中立化條件下，歐式看漲期權(quán)的期望價(jià)值為 布萊克 斯科爾斯微分方程，解決了歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。從現(xiàn)有的金融產(chǎn)品和問(wèn)題來(lái)看，邊界條件是變化的。 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T S K??0TSK??當(dāng) 時(shí) tT?同樣，對(duì)歐式看跌期權(quán) ，則邊界條件為 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T K S?? 當(dāng) 時(shí) tT?首頁(yè) 二、偏微分方程的 一般形式 形如 邊界條件為 0 1 2 3 0s t ssa F a SF a F a F? ? ? ?? ? ? ?,TTF S T G S T?即為衍生產(chǎn)品的 偏微分方程的一般形式。 當(dāng)其為常數(shù)時(shí) tdStdFtdS tdFtdW假定將 tP 元投資于 )( tSF t ， 和 tS 的組合1 , 2()t t tP F S t S????12,??12t t tdP dF dS????則有 具體方法 首頁(yè) 假定基礎(chǔ)資產(chǎn)遵循隨機(jī)方程模型 用 Ito定理得到衍生資產(chǎn)價(jià)格函數(shù)的偏微分方程 首先，由市場(chǎng)參與者來(lái)決定組合的權(quán)重 再連同 和 一起代入 12,??12t t tdP dF dS????則有 ( , ) ( , )t t t tdS a S t dt S t dW???212t s t s s t t s t td F F a F F d t F d W????? ? ? ?????tdS tdF若取 1 1? ? 2 sF? ??212()t t ss tdP F F dt???上式?jīng)]有擾動(dòng)項(xiàng)， 完全可預(yù)見(jiàn)，在任意時(shí)刻都是一個(gè)確定的增量，這也就意味著組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。 tdP表明 首頁(yè) 由于無(wú)風(fēng)險(xiǎn) ， 為了避免套利 ， 在相同的時(shí)間間隔 里 ，增量 一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資的收益 。 說(shuō)明 1 為得出衍生工具的無(wú)套利價(jià)格，需構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，由此方法導(dǎo)出偏微分方程。最明顯的邊界價(jià)值是衍生合同最初和最終的價(jià)值。 [ m a x( , 0) ]TE S K?其中 表示遠(yuǎn)期合約到期時(shí)間 T時(shí)的股票價(jià)格， K表示交割價(jià)格。 而鞅 則表示這種賭博使第 n+1年的平均賭本仍為第 n年的賭本，這種賭博稱(chēng)為公平賭博。用數(shù)學(xué)歸納法 首頁(yè) 性質(zhì) 6 上鞅 }{nX 下鞅 }{nXnk EXEXEX ??0nk ??0nk ??0證 由性質(zhì) 5得 kkn XYYXE ?),|( 0 ? 上鞅 }{nXkkn EXYYXEE ?)],|([ 0 ??nEXnk EXEXEX ??0首頁(yè) 上鞅 性質(zhì) 7 、 上鞅 }{nX }{ nY }{ nn YX ? 下鞅
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