【正文】 如果展開式中含有 z 的有限個正冪項 (至少含有一項 ), 且最高次冪為 m, 則稱 z=?是 f (z)的 m級極點 。 P=exp(i*z)。 孤立奇點 1 可去奇點 2 極點 3 本性奇點 本章將利用函數(shù)的 Laurent級數(shù)展開式研究 函數(shù)在孤立奇點處的性質(zhì) . 如果函數(shù) f (z)在 z0點不解析 , 則稱 z0 是 f (z)的 一個奇點 . 如果 z0 是 f (z)的一個奇點 , 且存在 d 0, 使得 f (z)在 內(nèi)解析，則稱 z0 是 f (z)的 00 zz d? ? ?孤立奇點 . 例如 z=0是函數(shù) 和 的 孤立奇點 . 但 z=0 1ze sinzz都是奇點 . 不是 函數(shù) 的 孤立奇點 , 因為 1 ( 1 , 2 , )kk ? ? ? ?1sinzz則 f (z)可以展開為 Laurent級數(shù) 0( ) ( ) ,nnnf z c z z??? ? ???? 其中 101 ( ) d ( 0, 1 , 2, ) ,2 ( )n nCfzc z ni z z? ?? ? ? ???C是 z0為中心 , 半徑小于 d 的圓周的正向 . 根據(jù) Laurent級數(shù)展開式的系數(shù) 的不同情況 , 可以把 f (z)的孤立奇點進行分類 . 若 z0 是 f (z)的孤立奇點，此時 f (z) 在圓環(huán)域 00 zz d? ? ?內(nèi)解析 , 根據(jù) Laurent級數(shù)展開定理， 可去奇點 0 1 0 0( ) ( ) ( ) .nnf z c c z z c z z? ? ? ? ? ? ?定義 如果 f (z)在 內(nèi)的 Laurent 00 zz d? ? ?級數(shù)中不含有 的負冪項 , 即當 0zz? 1 , 2 , 3 ,n ? ? ? ?時 , 則稱 z0是 f (z)的 可去奇點 . 0,nc ?此時 這個冪級數(shù)的收斂半徑至少為 d , 和函數(shù) j (z)在 z0 處解析 . 無論 f (z)在 z0是否有定義 , 可定義 反之 , 若 在 內(nèi)解析 , 且極限 )(zf d??? 00 zz)(lim0zfzz? 存在， 則 是 的可去奇點 . )(zf0z00 0 0( ) l i m ( ) ( ) ,zzf z c f z zj?? ? ?則在 內(nèi) 解析 . d?? 0zz ( ) ( )f z zj?事實上 : 由于 存在 , 函數(shù) f (z)在 z0 點 0lim ( )zz fz?某個去心鄰域內(nèi)有界，即存在兩個正數(shù) M 和 rd , 使得在 內(nèi)，有 00 z z r? ? ? ( ) .f z M?又因為 f (z)在 內(nèi)解析 , 所以 00 zz d? ? ?0( ) ( ) ,nnnf z c z z??? ? ????其中 101 ( ) d ( 0, 1 , 2, ) ,2 ( )n nCfzc z ni z z?? ?? ? ? ???并且 1101 ( ) d 2 .2 ( ) 2n n n ncf z M Mczi z z???? ?? ???? ? ???取正向 . 于是根據(jù) 0:C z z r? ?? ? ?估值 不等式設曲線 C 的長度為 L , 函數(shù) f ( z )在 C 上滿足( ) d ( ) d .CCf z z f z s M L????( ) ,f z M?則估值不等式當 n為負整數(shù)時 , 令 ? ?0, 得 ?定理 設 f (z)在 內(nèi)解析 , 則 00 zz d? ? ?z0 是 f (z) 的可去奇點的充分必要條件是存在極限 0 0l i m ( ) ,zz f z c? ?其中 c0是有限復常數(shù) . 這樣我們有兩種方法來判別函數(shù) f (z)的奇點 z0是否為 可去奇點 . : 如果 f (z)在 z0的 Laurent 級數(shù)無負 冪項 , 則 z0是 f (z)的可去奇點 . 2. 由極限判斷： 若極限 存在且為有限值 , )(lim0zfzz?則 z0是 f (z)的可去奇點 . 如果補充定義 : 24s i n 1 11,3 ! 5 !z zzz ? ? ? ?所以 z=0是 z zsin 的可去奇點 . 例 因為 在 內(nèi)的展開式為 sinzz 0 z? ? ??無負冪項 0s i nl i m 1 ,zzz? ?或者 sin, 0 。 而當 n?m時 , z0是 f (z)的可去奇點 ., z=0是 g(z)的 1級極點，于是 00s i nRe s [ ( ) , 0 ] l i m [ ( ) ] l i m 1.zzzg z z g zz??? ? ?易知 z=1和 z=2都是 f (z)的 1級極點，故 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz。 f=(z2)/(z^3*(z1)*(z3))。 (2) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化 . 利用留數(shù)理論，可以計算某些類型的定積分或 廣義積分 , 其基本思想是把實函數(shù)的積分化為復變 函數(shù)的積分 , 然后根據(jù)留數(shù)基本定理 , 把它歸結(jié)為 留數(shù)的計算問題，這樣就可以把問題簡化 . ?? dd iiez ? ,dizz??( ) 211si n ,22ii zeei i z??? ? ?? ? ?( ) 211c os .22ii zee z??? ? ?? ? ?當 ? 在 ]π2,0[ 變化時 , z 沿單位圓周 的正向 1?z繞行一周 . 于是 三角有理式的積分 2 π0 ( c os , si n ) d .R ? ? ??考慮積分 則 ize??令 ??? d)s i n,( c o sπ20? R2211 1 1,d22zzzRzz iz iz???????????zzfzd)(1???f (z)是有理函數(shù) . 如果在 單位圓周內(nèi)部 f (z) 的所有孤立奇點 . ? ?.),(R e sπ21???nkkzzfi滿足 的條件 . 定理 (留數(shù)基本定理 ) 設函數(shù) f ( z )在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤立奇點 12, , , nz z z外處處解析 , C 是 D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向 Jor dan曲線 , 則1( ) d 2 R e s ( ) , .n kkC f z z i f z z? ?? ??????根據(jù)留數(shù)基本定理 , 函數(shù)在閉曲線 f ( z )上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點處留數(shù)的計算問題 . 單位圓周上分母不為零 , 例 計算積分 2 π0 1 d ( 0 ) .c o s abab ?? ????解 積分可以轉(zhuǎn)化為 izzzzbaba zd211dc o s112π20????????? ???? ?? ???212 d.2zi zbz az b??????2 2 2 212 .a a b a a bzzbb? ? ? ? ? ??? ，2 2b z a z b??在復平面內(nèi)有兩個零點 : 由于 因此 從而被積函數(shù) ab? ， 121 1 .zz??，1級極點 z1. 所以 22212 d2 π R e s ( ) ,2zi a a bz i f zb z a z b b???? ? ? ?? ???? ???22 2222 π2.22 a a bzbiibz a ab?? ? ???? ? ?? ?22()2ifzb z a z b????在單位圓周 內(nèi)只有一個 1z ?證明 由于 0 1 ,p??)c os1(2)1(c os21 22 ?? ?????? ppppizzpzzpIzd21211221?????? ??例 證明 ( )2 220 d2 0 1 .1 2 c os 1Ip p p p? ???? ? ? ?? ? ??在 內(nèi)不為零 , 故積分有意義 . 積分轉(zhuǎn)化為 02π???zpzpzizd))(1( 11?? ???被積函數(shù) 1()( 1 ) ( )fz i pz z p? ??在復平面內(nèi)有兩個極點 121,.z p zp??只有 1級極點 在單位圓周 內(nèi) , 于是 1zp? 1z ?2122 R e s , .( 1 ) ( ) 1I i pi pz z p p?? ??????? ? ???例 設 m為正整數(shù) , 計算積分 π 2 π011 d d .2 5 4 c os 2 5 4 c osi m i meeI?????????? ????0c o s d.5 4 c o smI ? ? ??? ??解 因為 都是以 為周期的偶函 ?? mc os,c os ?2數(shù)，則 積分可以轉(zhuǎn)化為 21111 d d .2 5 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 )mmzzzzI z zi z z i z z??? ? ?? ? ? ???被積函數(shù) 在復平面內(nèi)有兩個 () ( 2 1 ) ( 2 )mzfz zz? ??極點 121 , 2.2zz??只有 1級極點 在單位圓周 內(nèi) , 于是 1 12z ? 1z ?11 2 R e ,2 ( 2 1 ) ( 2 ) 2mzI i si z z? ???? ??????12 .2 3 2 3 2mmii???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 有理函數(shù)的無窮積分 考慮積分 ( ) d .f x x?????定理 設函數(shù) f (z)在實軸上處處解析 , 在上 半平面 內(nèi) , 除有限個孤立奇點 ， Im 0z ? 12, , , nz z z處處解析 , 且存在常數(shù) 使得當 0 0 , 0 , 0 ,RM d? ? ?0 ,zR? 且 時， 則 Im 0z ? 1( ) ,Mfzz d??1( ) d 2 Re s [ ( ) , ] .nkkf x x i f z z????? ?? ??證明 顯然 , f (x)在 上連續(xù)，且當 ( , )?? ??0xR? 時， 所以由比較判別法知 , 1( ) ,Mfxx d??( ) df x x????? 收斂，并且 li m ( ) d ( ) d .R RR f x x f x x??? ? ?? ? ? ???取 充分大為半徑 , 0RR?以原點為中心作上半圓周 ,RCRCx y 0. z1 . z2 . zn … R R 取逆時針方向 , 使上半平面的 孤立奇點在由實軸和 所圍的區(qū)域內(nèi) . RCRCx y 0. z1 . z2 . zn … R R 利用 定理 (留數(shù)基本定理 ) 設函數(shù) f ( z )在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤立奇點 12, , , nz z