【正文】 ometrie et de m233。 問題 7：分?jǐn)?shù)階微分的下極限是 c 。 問題 3：遺漏了一些東西 。 這 兩本書都包含了 從很多文獻(xiàn)角度 分?jǐn)?shù) 階微積分簡短精要的 歷史 。從（ 10） 的 符號，我們可以 將 （ 1）寫 做 .ax axxD e a e???? ? 極限在公式 （ 5） px 的導(dǎo)數(shù)中是起 什么 作用 ？我們有 111 .ppxppbx b xbD x x d x pp??? ? ? ?? 同樣，我們希望 1 01pbp? ??。積分 是處于極限 之 中 的。正因?yàn)槿绱耍?很多這個(gè)領(lǐng)域的研究人員使用 符號()bxD f x? 。如果 1,??? 該 積分是反常積分 。我們可以寫 1 ( ) ( )D f x f x d x? ? ? ，但 是等式 右邊是 不確定 的。 正是因?yàn)橛羞@樣一個(gè)矛盾，所以分?jǐn)?shù)階微積分一般不會出現(xiàn)在初等階段的教科書里面。因?yàn)榇罅康暮瘮?shù)都 4 可以利用 Taylor 公式展開成冪級數(shù)的形式。 我們 通過伽瑪 函數(shù) ，用任意數(shù) ? 替換正整數(shù) n。 即 每 當(dāng) 我們 求一次微分 ， sinx 的 圖像向 左 平移 /2? 。同理 2 ()a x a xD e e dx dx? ? ?? 。 那 到底什么是一個(gè)分?jǐn)?shù) 階導(dǎo)數(shù)呢 ？讓我們 一起 來看看 吧…… 2 指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 我們將首先研究指數(shù)函數(shù) axe 的導(dǎo)數(shù) 。 首先 我們從 熟悉的 n 階導(dǎo)數(shù)的例子 開始，比如 Dn ax n axe a e? 。 在之后的歲月里，包括 L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等 數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念。我們 同 樣 也 熟悉 一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，例如 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )D f x f y D f x D f y? ? ?但是像這樣的記號 1 / 2 1 / 21 / 2() D ( )d f x fxdx 或 者又代表什么意思呢？ 大多數(shù)的讀者 之前肯定 沒有遇到 過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是 1/2的。 本 論 文 的目的是想用一種親和 的 口吻去 介紹分?jǐn)?shù) 階 微積分 。 （ 如果想 快速瀏覽 它的 正式定義 ，請參見 米勒 的優(yōu)秀論文，參考文獻(xiàn) [8]。當(dāng) ? 是負(fù)整數(shù) 時(shí)， 考慮 （ 1）式的 意義是 很 有趣的。我們注意到，劉維 爾 在他的論文 [5]和 [6]中就是 采用這種方法 去考慮微分的 。利用表達(dá)式 （ 1），我們可以計(jì)算 得 3 到 ( / 2 ) c o s ( ) s in ( )22i x i x i i xD e i e e e x i x? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?，這與（ 2）式是吻合的。 那么 我們可以 將表達(dá)式 （ 4） 重新寫作 ( 1) ,( 1)n p p npD x xpn ???? ? ? ?這使得當(dāng) n 不是整數(shù) 式，（ 4）式還是 有意義的 。但是當(dāng) ? 不 是 整數(shù)時(shí)，我們得到兩個(gè)完全不一樣的函數(shù)。 此時(shí)，您可能會問 我們 怎么 繼續(xù)探究呢 ？這個(gè)謎團(tuán)將在 之后 的部分 中被 解決。 5 因?yàn)?1()ft 不是 一個(gè)關(guān)于 2t 的函數(shù)，所以 可以 將里面的 積分 移到 外面 ，即 12 1 2 1 1 1 100( ) ( ) ( ) ( )x x xtD f x f t d t d t f t x t d t? ? ? ?? ? ? 或者 20( ) ( ) ( )xD f x f t x t d t? ???。 在我們 結(jié)束 這 一 部分 之前 ， 需 要提 下 ， 趨于 零 的下極限 是 任意 的。 然而 普通 的導(dǎo)數(shù) 不涉及 積分的極限 ，沒有人希望分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)包含這樣的極限 。 表達(dá)式（ 1）中 指數(shù) 函數(shù)起作用的極限是什 么？記得我們要 期望 寫 成 1 1 . ( 1 1 )xa x a x a xbx bD e e d x ea? ??? b 取什么 值 時(shí)， 將 得到 這個(gè)答案？由于在（ 11） 式中 積分 就 是 11 .x a x a x a bb e d x e eaa??? 為了 得到我們想要的形式 ，只有當(dāng) 1 0abea ? 時(shí) 。這 個(gè) 差異 就 是（ 7） 和 （ 8）為什么不 等價(jià)的原因 。 7 8 問題的解答 以下是文 章中 8 個(gè) 問題的簡短回答。 問題 6： 我們知道 1 ()Df x 表示 ()y f x? 的曲線斜率 ， 2 ()Df x 表示 曲線 的凹凸性 。 indices quelconques, Polytech., 13(1832), 71–162. [7]A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985. [8]K. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183–192. [9]K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley amp。 indices quelconques, Polytech., 13(1832), 71–162. 7. A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985. 8. K. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183–192. 9. K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley amp。canique, et su run noveau gentre pour resoudre ces questions, J. 201。 假設(shè)我們可以 連續(xù)次地取分?jǐn)?shù)階微分 ，我們得 到 ( ) ( ) in xnnD f x c in e? ??? ??? ?。Wheeler 給出 了幾個(gè) 簡單的 應(yīng)用 例子 ， 而且 閱讀 起來非常 有趣。 因此，表達(dá)式 （ 5） 中隱含了 pDx? 的下極限 為 0。 現(xiàn)在，我們可以解決這個(gè)謎團(tuán) 了 。我們 對于分?jǐn)?shù)階積分包含極限， 并不感到驚訝 。所以當(dāng) ? 是負(fù) 數(shù)時(shí)，原表達(dá)式是正確的 。積分區(qū)域 是圖 1 中 的三角形。 通常， 一個(gè)初等函數(shù)的分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù) 是 較 高級的 超越函數(shù)。 從 Taylor 級數(shù) 來看，01 ,!xnnexn????結(jié)合 （ 6） 式，我們得到如下表達(dá)式 0 . ( 8 )( 1 )nxnxDe n? ???? ? ? ?? 但是，（ 7）及（ 8） 是 不 等價(jià)的 ，除非 ? 是 整數(shù) 。當(dāng)時(shí)是推廣記號 !z ，當(dāng) z 不是 整數(shù) 時(shí)。所以，我們 得到 正弦 函數(shù)的任意 ? 次導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式 ， 同理我們也得到 余弦 函數(shù)的： s in s in ( ) , c o s c o s ( ) .22D x x D x x?? ?? ??? ? ? ? （ 2） 在 得到表達(dá)式 （ 2） 之后 ， 我們 自然 想 ， 這個(gè) 猜測與指數(shù) 函數(shù)的 結(jié)果 是否保持 一致。 請注意，我們還沒 對 一般 函數(shù)給出 分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)的定義。 1 2 2 3 3,ax ax ax ax ax axD e ae D e a e D e a e? ? ?， 在一般情況下，當(dāng) n 為整數(shù) 時(shí)，n ax n axD e a e? 。 我們將 尋求蘊(yùn)含在這個(gè) 構(gòu)思 里面的 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。此外，兩 篇 在會議上發(fā)表的論文 [7]和 [14]也 被 收錄 。 1 浙江師范大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )外文翻譯 譯文： 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園 Marcia Kleinz , Thomas J. Osler 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)（美國）， 2020 年 3 月， 31 卷，第 2 期，第 8288 頁 1 引言 我們都熟悉的 導(dǎo)數(shù) 的 定義 。近期 關(guān)于 ―分?jǐn)?shù)微積分 ‖的 兩本研究生 教材也出版了 ， 就是參考文獻(xiàn) [9]和 [11]。 這種方式， 感覺 像 是 偵探 一樣 ， 步步深入。我們熟悉 axe的導(dǎo)數(shù)的 表達(dá)式。 當(dāng) ? 是正實(shí)數(shù)， D? 代表導(dǎo)數(shù)，當(dāng) ? 是負(fù)實(shí)數(shù)， D? 代表積分。如前， 我們 用任意數(shù) ? 替換正整數(shù) n。伽馬函數(shù) 是 歐拉 在 18世紀(jì) 引進(jìn)的概念 。 問題 問題 6： ()D f x? 是否有幾何 意義 ？ 5 一個(gè)神秘的矛盾 我們 將 xe 的 分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù) 寫 為 ( 7 )xxD e e? ? 現(xiàn)在讓我們 拿它與 （ 6） 式進(jìn)行對比， 看看他們是否 一致 。不幸的是， 在 分?jǐn)?shù) 階 微積分 中，這是不正確的 。 第二 次 積分 可以寫成22 1 1 200( ) ( )xtD f x f t d t d t? ? ?? 。 當(dāng) 1 0,?? ? ? 反常積分收斂 。這樣 我們 從（ 9）式得到 11 ( )( ) . ( 1 0 )( ) ( )xbx b f t d tD f x xt? ?? ?? ? ? ?? 問題 6 問題 7：如下分?jǐn)?shù)階微分 b 的下極限是什么？ ( 1 )( ) ( )( 1 )ppbx pD x c x cp??? ???? ? ?? ? ? 7 解秘 現(xiàn)在 ， 你可以開始 去發(fā)現(xiàn)前面哪些 地方出錯(cuò)了。 出現(xiàn) 該對矛盾的原因是， 我們使用了 兩 種 不同的 極限 。所以 我們 覺得將（ 5）的 符號 寫成0 ( 1)( 1)ppx pxDx p???????? ? ?更準(zhǔn)確 。 Wheeler 的 注記 [14]是另一個(gè) 這方面 一流的介紹 性文章，具有很高的推廣 普及 價(jià)值 。應(yīng)該 是這樣的 1 1 2 21 1 2a x a x a x a x a x a xD e e d x a e c D e e d x a e c x c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? 問題 4：將 ()fx展開成 傅立葉級數(shù) 形式， () inxnnf x c e????? ?。ometrie et de m233。cole Polytech., 13(1832), 1–69. 6. J. Liouville, Memoire: sur le calcul des differentielles 225。 Sons, 1993. [10]P. A. Nekrassov, General differentiation, Mat. Sb., 14 (1888), 45–168. [11]K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974. [12]T. J. Osler, Fractional derivatives and the Leibniz rule, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 645–649. [13]E. L. Post, General