【正文】 x b f t d tD f x xt? ?? ?? ? ? ?? 問題 6 問題 7：如下分?jǐn)?shù)階微分 b 的下極限是什么？ ( 1 )( ) ( )( 1 )ppbx pD x c x cp??? ???? ? ?? ? ? 7 解秘 現(xiàn)在 ， 你可以開始 去發(fā)現(xiàn)前面哪些 地方出錯了。 第二 次 積分 可以寫成22 1 1 200( ) ( )xtD f x f t d t d t? ? ?? 。 問題 問題 6： ()D f x? 是否有幾何 意義 ？ 5 一個神秘的矛盾 我們 將 xe 的 分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù) 寫 為 ( 7 )xxD e e? ? 現(xiàn)在讓我們 拿它與 （ 6） 式進行對比， 看看他們是否 一致 。如前， 我們 用任意數(shù) ? 替換正整數(shù) n。我們熟悉 axe的導(dǎo)數(shù)的 表達式。近期 關(guān)于 ―分?jǐn)?shù)微積分 ‖的 兩本研究生 教材也出版了 ， 就是參考文獻 [9]和 [11]。此外，兩 篇 在會議上發(fā)表的論文 [7]和 [14]也 被 收錄 。 1 2 2 3 3,ax ax ax ax ax axD e ae D e a e D e a e? ? ?， 在一般情況下，當(dāng) n 為整數(shù) 時，n ax n axD e a e? 。所以，我們 得到 正弦 函數(shù)的任意 ? 次導(dǎo)數(shù)的表達式 ， 同理我們也得到 余弦 函數(shù)的： s in s in ( ) , c o s c o s ( ) .22D x x D x x?? ?? ??? ? ? ? （ 2） 在 得到表達式 （ 2） 之后 ， 我們 自然 想 ， 這個 猜測與指數(shù) 函數(shù)的 結(jié)果 是否保持 一致。 從 Taylor 級數(shù) 來看，01 ,!xnnexn????結(jié)合 （ 6） 式，我們得到如下表達式 0 . ( 8 )( 1 )nxnxDe n? ???? ? ? ?? 但是，（ 7）及（ 8） 是 不 等價的 ，除非 ? 是 整數(shù) 。積分區(qū)域 是圖 1 中 的三角形。我們 對于分?jǐn)?shù)階積分包含極限， 并不感到驚訝 。 因此，表達式 （ 5） 中隱含了 pDx? 的下極限 為 0。 假設(shè)我們可以 連續(xù)次地取分?jǐn)?shù)階微分 ，我們得 到 ( ) ( ) in xnnD f x c in e? ??? ??? ?。 indices quelconques, Polytech., 13(1832), 71–162. 7. A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985. 8. K. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183–192. 9. K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley amp。 問題 6： 我們知道 1 ()Df x 表示 ()y f x? 的曲線斜率 ， 2 ()Df x 表示 曲線 的凹凸性 。這 個 差異 就 是（ 7） 和 （ 8）為什么不 等價的原因 。 然而 普通 的導(dǎo)數(shù) 不涉及 積分的極限 ，沒有人希望分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)包含這樣的極限 。 5 因為 1()ft 不是 一個關(guān)于 2t 的函數(shù)，所以 可以 將里面的 積分 移到 外面 ，即 12 1 2 1 1 1 100( ) ( ) ( ) ( )x x xtD f x f t d t d t f t x t d t? ? ? ?? ? ? 或者 20( ) ( ) ( )xD f x f t x t d t? ???。但是當(dāng) ? 不 是 整數(shù)時，我們得到兩個完全不一樣的函數(shù)。利用表達式 （ 1），我們可以計算 得 3 到 ( / 2 ) c o s ( ) s in ( )22i x i x i i xD e i e e e x i x? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?，這與（ 2）式是吻合的。當(dāng) ? 是負(fù)整數(shù) 時， 考慮 （ 1）式的 意義是 很 有趣的。 本 論 文 的目的是想用一種親和 的 口吻去 介紹分?jǐn)?shù) 階 微積分 。 在之后的歲月里，包括 L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等 數(shù)學(xué)大家和其他一些數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過或者研究過的概念。 那 到底什么是一個分?jǐn)?shù) 階導(dǎo)數(shù)呢 ？讓我們 一起 來看看 吧…… 2 指數(shù)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 我們將首先研究指數(shù)函數(shù) axe 的導(dǎo)數(shù) 。 即 每 當(dāng) 我們 求一次微分 ， sinx 的 圖像向 左 平移 /2? 。因為大量的函數(shù)都 4 可以利用 Taylor 公式展開成冪級數(shù)的形式。我們可以寫 1 ( ) ( )D f x f x d x? ? ? ，但 是等式 右邊是 不確定 的。正因為如此， 很多這個領(lǐng)域的研究人員使用 符號()bxD f x? 。從（ 10） 的 符號，我們可以 將 （ 1）寫 做 .ax axxD e a e???? ? 極限在公式 （ 5） px 的導(dǎo)數(shù)中是起 什么 作用 ？我們有 111 .ppxppbx b xbD x x d x pp??? ? ? ?? 同樣，我們希望 1 01pbp? ??。 問題 3：遺漏了一些東西 。ometrie et de m233。 問題 7：分?jǐn)?shù)階微分的下極限是 c 。 這 兩本書都包含了 從很多文獻角度 分?jǐn)?shù) 階微積分簡短精要的 歷史 。積分 是處于極限 之 中 的。如果 1,??? 該 積分是反常積分 。 正是因為有這樣一個矛盾，所以分?jǐn)?shù)階微積分一般不會出現(xiàn)在初等階段的教科書里面。 我們 通過伽瑪 函數(shù) ，用任意數(shù) ? 替換正整數(shù) n。同理 2 ()a x a xD e e dx dx? ? ?? 。 首先 我們從 熟悉的 n 階導(dǎo)數(shù)的例子 開始，比如 Dn ax n axe a e? 。我們 同 樣 也 熟悉 一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，例如 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )D f x f y D f x D f y? ? ?但是像這樣的記號 1 / 2 1 / 21 / 2() D ( )d f x fxdx 或 者又代表什么意思呢？ 大多數(shù)的讀者 之前肯定 沒有遇到 過導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是 1/2的。 （ 如果想 快速瀏覽 它的 正式定義 ，請參見 米勒 的優(yōu)秀論文，參考文獻 [8]。我們注意到，劉維 爾 在他的論文 [5]和 [6]中就是 采用這種方法 去考慮微分的 。 那么 我們可以 將表達式 （ 4） 重新寫作 ( 1) ,( 1)n p p npD x xpn ???? ? ? ?這使得當(dāng) n 不是整數(shù) 式，（ 4）式還是 有意義的 。 此時，您可能會問 我們 怎么 繼續(xù)探究呢 ？這個謎團將在 之后 的部分 中被 解決。 在我們 結(jié)束 這 一 部分 之前 ， 需 要提 下 ， 趨于 零 的下極限 是 任意 的。 表達式（ 1）中 指數(shù) 函數(shù)起作用的極限是什 么？記得我們要 期望 寫 成 1 1 . ( 1 1 )xa x a x a xbx bD e e d x ea? ??? b 取什么 值 時， 將 得到 這個答案？由于在（ 11） 式中 積分 就 是 11 .x a x a x a bb e d x e eaa??? 為了 得到我們想要的形式 ，只有當(dāng) 1 0abea ? 時 。 7 8 問題的解答 以下是文 章中 8 個 問題的簡短回答。 indices quelconques, Polytech., 13(1832), 71–162. [7]A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985. [8]K. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183–192. [9]K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley amp。canique, et su run noveau gentre pour resoudre ces questions, J. 201。Wheeler 給出 了幾個 簡單的 應(yīng)用 例子 ， 而且 閱讀 起來非常 有趣。 現(xiàn)在，我們可以解決這個謎團 了 。所以當(dāng) ? 是負(fù) 數(shù)時，原表達式是正確的 。 通常， 一個初等函數(shù)的分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù) 是 較 高級的 超越函數(shù)。當(dāng)時是推廣記號 !z ，當(dāng) z 不是 整數(shù) 時。 請注意，我們還沒 對 一般 函數(shù)給出 分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)的定義。 我們將 尋求蘊含在這個 構(gòu)思 里面的 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 1 浙江師范大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 (論文 )外文翻譯 譯文： 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的兒童樂園 Marcia Kleinz , Thomas J. Osler 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)報（美國）， 2020 年 3 月， 31 卷，第 2 期，第 8288 頁 1 引言 我們都熟悉的 導(dǎo)數(shù) 的 定義 。 這種方式， 感覺 像 是 偵探 一樣 ， 步步深入。 當(dāng) ? 是正實數(shù)， D? 代表導(dǎo)數(shù)，當(dāng) ? 是負(fù)實數(shù)， D? 代表積分。伽馬函數(shù) 是 歐拉 在 18世紀(jì) 引進的概念 。不幸的是， 在 分?jǐn)?shù) 階 微積分 中，這是不正確的 。 當(dāng) 1 0,?? ? ? 反常積分收斂 。 出現(xiàn) 該對矛盾的原因是， 我們使用了 兩 種 不同的 極限 。 Wheeler 的 注記 [14]是另一個 這方面 一流的介紹 性文章，具有很高的推廣 普及 價值 。ometrie et de m233。 Sons, 1993. [10]P. A. Nekrassov, General differentiation, Mat. Sb., 14 (1888), 45–168. [11]K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974. [12]T. J. Osler, Fractional derivatives and the Leibniz rule, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 645–649. [13]E. L. Post, Generalized differentiation, Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1930) 723–781. [14]B. Ross, editor, Proceedings of the International Conference on Fractional Calculusand its applications, SpringerVerlag, 1975. [15]N. Wheeler, Construction and Physical Application of the fractional Calculus, notes for a Reed College Physics Seminar, 1997. 8 原文： A Child’s Garden of Fractio