【正文】 ealing notation 0 ( 1)( 1)ppx pxDx p???????? ? ? So, the expression (5) for pDx? has a builtin lower limit of 0. However, expression (1) for axDe? has? as a lower limit. This discrepancy is why (7) and (8) do not match. In (7) we calculated axxDe??? and in (8) we calculated 0 axxDe? . If the reader wishes to continue this study, we remend the very fine paper by Miller [8] as well as the excellent books by Oldham and Spanier [11] and by Miller and Ross [9]. Both books contain a short, but very good history of the fractional calculus with many references. the book by Miller and Ross [9] has an excellent discussion of fractional differential equations. Wheeler’s notes [14] are another first rate introduction, which should be made more widely available. Wheeler gives several easily accessible applications, and is particularly interesting to read. Other references of historical interest are [1, 2, 4, 5, 6, 10, 13]. Answers to questions The following are short answers to the questions throughout the paper. Q1 Yes, this property does hold. Q2 Yes, and this is easy to show from relation (). Q3 Something is missing. That something is the constant of integration. We should have 1 1 212 12ax ax ax axax axD e e dx a e c D ee dx a e c x c? ? ??? ? ?? ? ? ???? Q4 Let be expandable in an exponential Fourier series, () inxnnf x c e????? ?. Assuming we can differentiate fractionally term by term we get ( ) ( ) in xnnD f x c in e? ??? ??? ? Q5 sin( ) sin( / 2)D ax a ax?? ???? Q6 We know that 1 ()Df x is geometrically interpreted as the slope of the curve ()y f x? and 15 2 ()Df x gives us the concavity of the curve. But the third and higher derivatives give us little or no geometric information. Since these are special cases of ()D f x? we are not surprised that there is no easy geometric meaning for the fractional derivative. Q7 The lower limit of differentiation should be ―c‖. References 1. A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. Angew. Math. Phys., 12 (1867), 441–480. 2. O. Heaviside, Electromagic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8. 3. J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240–268. 4. A. V. Letnikov, Theory of differentiation of fractional order, Mat. Sb., 3 (1868), 1–68. 5. J. Liouville, Memoire sur quelques questions de g233。canique, et surun noveau gentre pour resoudre ces questions, J. 201。 【參考文獻(xiàn)】 [1] A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. . Phys., 12 (1867), 441–480. [2]O. Heaviside, Electromagic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8. [3]J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240–268. [4]A. V. Letnikov, Theory of differentiation of fractional order, Mat. Sb., 3 (1868),1–68. [5]J. Liouville, Memoire sur quelques questions de g233。 遺漏的 是積分常數(shù)。 由 Miller 和 Ross 合著 的圖書(shū) [9]很好 地 討論 了 分?jǐn)?shù)階微分方程。 當(dāng) 0b? 時(shí)，結(jié)論是成立的。事實(shí)證明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 也是處于極限之 中 的。這 個(gè)符號(hào)說(shuō)明了極限過(guò)程是 從 b 到 x 的。因?yàn)?當(dāng) , x x t? ? ? 對(duì)任意 0?? ， 積分 是 發(fā)散的。我們 可以 寫(xiě) 作 10( ) ( )xD f x f t d t? ? ?。 在傳統(tǒng)的微積分 中 ， 導(dǎo)數(shù)的次數(shù)是整數(shù)次的 ， 求導(dǎo)的 函數(shù)是初等函數(shù)。然后， 我們很快會(huì) 發(fā)現(xiàn) 它 會(huì)導(dǎo)致矛盾的產(chǎn)生 。當(dāng)（ 4） 式中的p 和 n 是不是自然數(shù) 時(shí)，伽瑪 函數(shù) 使他們?cè)谔鎿Q后任然有意義 。 所以對(duì) sinx 求 n 次微分，那么得到的圖像就是 sinx 向 左 平移 /2n? ， 即得到 sin sin ( )2n nD x x ???。 當(dāng) ? 是負(fù)整數(shù) 時(shí)，我們將 D? 看作是n 次迭代 的 積分是合理。 因?yàn)樗麄?導(dǎo)數(shù)的形式，比較 容易 推廣 。 然后 用其他數(shù)字取 代 自然 數(shù)字 n?，F(xiàn)在 ， 關(guān)于 ―分?jǐn)?shù)微積分 ‖的 文獻(xiàn) 已經(jīng) 大量 存在。通常 記作 1() ()df x D f xdx 或 2 22() ()d f x D f xdx 或 這些都是 很容易理解 的 。 Wheeler在文獻(xiàn) [15]已編制了 一 些 可讀 性較強(qiáng)，較易理解的資料 ， 雖然 這些都 還 沒(méi)有 正式 出版。我們 在 探 討了各種思路，對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 的概念 后，才 對(duì)分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù) 給出 正式定義 。 那么 我們能不能 用 1/2取代 n，并記作 1/2 1/2ax axD e a e? 呢？我們何不嘗試一下 ？為什么不更進(jìn)一步，讓 n 是 一個(gè) 無(wú)理數(shù)或 者 復(fù)數(shù) 比如 1+i？ 2 我們大膽地寫(xiě) 作 ax axD e a e??? ， （ 1） 對(duì)任意一個(gè) ? ， 無(wú)論是 整數(shù)， 有理數(shù) ， 無(wú)理數(shù) ， 還是復(fù)數(shù) 。但是，如果這一定義被發(fā)現(xiàn)，我們期望指數(shù)函數(shù) 的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 遵循關(guān)系 式 （ 1）。 為了驗(yàn)證這個(gè)猜測(cè) ，我們可以使用歐拉 公式 cos si nixe x i x??。 它 的定義是 10( ) dtzz e t t? ????? ，它 具有 這 樣的性質(zhì) ( +1) !zz??。 當(dāng) ? 是整數(shù) 時(shí) ，（ 8） 式的 右側(cè)是 xe 的級(jí)數(shù)形 式，只是用不同的表達(dá)方式。 關(guān)于 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 的 表 格 ，請(qǐng)參閱 文獻(xiàn) [3]。如果我們交換 積分 的順序， 那么圖 1 的 右側(cè) 圖可以表現(xiàn)出12 1 2 10( ) ( )xxtD f x f t d t d t? ? ?? 。 因此當(dāng) ? 是負(fù) 數(shù)時(shí) （ 9） 式收斂，即 它是一個(gè)分?jǐn)?shù) 階 次積分。因?yàn)?積分 是涉及到極限的 。 秘密 是什么？讓我們停下來(lái) 想一想 。 然而 ，表達(dá)式（ 1） 中 axDe? 的下極限為 ? 。 其他的歷史性文獻(xiàn)請(qǐng) 參考 [1，2， 4， 5， 6， 10， 13]。 問(wèn)題 5： sin( ) sin( / 2)D ax a ax?? ????。cole Polytech., 13(1832), 1–69. [6]J. Liouville, Memoire: sur le calcul des differentielles 225。 Sons, 1993. 10. P. A. Nekrassov, General differentiation, Mat. Sb., 14 (1888), 45–168. 11. K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974. 12. T. J. Osler, Fractional derivatives and the Leibniz rule, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 645–649. 13. E. L. Post, Generalized differentiation, Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1930) 723–781. 14. B. Ross, editor, Proceedings of the International Conference on Fractional Calculus and its applications, SpringerVerlag, 1975. 15. N. Wheeler, Construction and Physical Application of the fractional Calculus, notes for a Reed College Physics Seminar, 1997.