【正文】 ,2 2 3xxD f x f t x t d t D f x f t x t d t??? ? ? ???? 在一般情況下， 101( ) ( ) ( ) .( 1 ) ! xnnD f x f t x t d tn????? ? 現(xiàn)在，我們 用 先前做 的方法 ， 用 任意 數(shù) ? 替換 n? ，用伽瑪 函數(shù) 替換 階乘 ，然后 得到101 ( )( ) . ( 9 )( ) ( )x f t d tD f x xt? ?? ?? ? ? ?? 這 個(gè)一般性 的表達(dá)式（使用積分）的分?jǐn)?shù) 階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式 ，有 成為 定義 的潛力 。但是 存在 一個(gè)問(wèn)題。如果 1,??? 該 積分是反常積分 。因?yàn)?當(dāng) , x x t? ? ? 對(duì)任意 0?? ， 積分 是 發(fā)散的。 當(dāng) 1 0,?? ? ? 反常積分收斂 。所以當(dāng) ? 是負(fù) 數(shù)時(shí)，原表達(dá)式是正確的 。 因此當(dāng) ? 是負(fù) 數(shù)時(shí) （ 9） 式收斂，即 它是一個(gè)分?jǐn)?shù) 階 次積分。 在我們 結(jié)束 這 一 部分 之前 ， 需 要提 下 ， 趨于 零 的下極限 是 任意 的。 可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為存在 下極限 b 。但是會(huì)造成最后 結(jié)果表達(dá)式 的 不同。正因?yàn)槿绱耍?很多這個(gè)領(lǐng)域的研究人員使用 符號(hào)()bxD f x? 。這 個(gè)符號(hào)說(shuō)明了極限過(guò)程是 從 b 到 x 的。這樣 我們 從（ 9）式得到 11 ( )( ) . ( 1 0 )( ) ( )xbx b f t d tD f x xt? ?? ?? ? ? ?? 問(wèn)題 6 問(wèn)題 7：如下分?jǐn)?shù)階微分 b 的下極限是什么？ ( 1 )( ) ( )( 1 )ppbx pD x c x cp??? ???? ? ?? ? ? 7 解秘 現(xiàn)在 ， 你可以開(kāi)始 去發(fā)現(xiàn)前面哪些 地方出錯(cuò)了。我們 對(duì)于分?jǐn)?shù)階積分包含極限， 并不感到驚訝 。因?yàn)?積分 是涉及到極限的 。 然而 普通 的導(dǎo)數(shù) 不涉及 積分的極限 ，沒(méi)有人希望分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)包含這樣的極限 。我們認(rèn)為， 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì) 。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 的 符號(hào) D? 既包含 導(dǎo)數(shù) （ ? 是正 數(shù) ） 又有 積分（ ? 是 負(fù) 數(shù) ）。積分 是處于極限 之 中 的。事實(shí)證明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 也是處于極限之 中 的。 出現(xiàn) 該對(duì)矛盾的原因是， 我們使用了 兩 種 不同的 極限 。 現(xiàn)在，我們可以解決這個(gè)謎團(tuán) 了 。 秘密 是什么？讓我們停下來(lái) 想一想 。 表達(dá)式（ 1）中 指數(shù) 函數(shù)起作用的極限是什 么？記得我們要 期望 寫 成 1 1 . ( 1 1 )xa x a x a xbx bD e e d x ea? ??? b 取什么 值 時(shí)， 將 得到 這個(gè)答案？由于在（ 11） 式中 積分 就 是 11 .x a x a x a bb e d x e eaa??? 為了 得到我們想要的形式 ，只有當(dāng) 1 0abea ? 時(shí) 。即 .ab??? 如果 a 是 正數(shù) ， 那么 b??? 。這 種 類型 的擁有 下 極 限 為 ?? 的 積分 ，有時(shí)也稱為 Weyl分?jǐn)?shù) 階 導(dǎo)數(shù)。從（ 10） 的 符號(hào)，我們可以 將 （ 1）寫 做 .ax axxD e a e???? ? 極限在公式 （ 5） px 的導(dǎo)數(shù)中是起 什么 作用 ？我們有 111 .ppxppbx b xbD x x d x pp??? ? ? ?? 同樣，我們希望 1 01pbp? ??。 當(dāng) 0b? 時(shí)，結(jié)論是成立的。所以 我們 覺(jué)得將（ 5）的 符號(hào) 寫成0 ( 1)( 1)ppx pxDx p???????? ? ?更準(zhǔn)確 。 因此，表達(dá)式 （ 5） 中隱含了 pDx? 的下極限 為 0。 然而 ，表達(dá)式（ 1） 中 axDe? 的下極限為 ? 。這 個(gè) 差異 就 是（ 7） 和 （ 8）為什么不 等價(jià)的原因 。在（ 7）中 我們計(jì)算 axxDe??? ，在（ 8）中我們計(jì)算 0 axxDe? 。 如果讀者希望繼續(xù)這一研究，我們 推薦 Miller 的一篇很好的論文 [8]，和 由 Oldham 和 Spanie合著 的優(yōu)秀圖書 [11]，以及 Miller 和 Ross 合著 的優(yōu)秀圖書 [9]。 這 兩本書都包含了 從很多文獻(xiàn)角度 分?jǐn)?shù) 階微積分簡(jiǎn)短精要的 歷史 。 由 Miller 和 Ross 合著 的圖書 [9]很好 地 討論 了 分?jǐn)?shù)階微分方程。 Wheeler 的 注記 [14]是另一個(gè) 這方面 一流的介紹 性文章，具有很高的推廣 普及 價(jià)值 。Wheeler 給出 了幾個(gè) 簡(jiǎn)單的 應(yīng)用 例子 ， 而且 閱讀 起來(lái)非常 有趣。 其他的歷史性文獻(xiàn)請(qǐng) 參考 [1，2， 4， 5， 6， 10， 13]。 7 8 問(wèn)題的解答 以下是文 章中 8 個(gè) 問(wèn)題的簡(jiǎn)短回答。 問(wèn)題 1：成立的 ，這個(gè) 性質(zhì)是保持的 。 問(wèn)題 2：成立的 ， 這 個(gè)由 關(guān)系 式 （ ）很容易證 明 。 問(wèn)題 3：遺漏了一些東西 。 遺漏的 是積分常數(shù)。應(yīng)該 是這樣的 1 1 2 21 1 2a x a x a x a x a x a xD e e d x a e c D e e d x a e c x c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? 問(wèn)題 4：將 ()fx展開(kāi)成 傅立葉級(jí)數(shù) 形式， () inxnnf x c e????? ?。 假設(shè)我們可以 連續(xù)次地取分?jǐn)?shù)階微分 ，我們得 到 ( ) ( ) in xnnD f x c in e? ??? ??? ?。 問(wèn)題 5： sin( ) sin( / 2)D ax a ax?? ????。 問(wèn)題 6： 我們知道 1 ()Df x 表示 ()y f x? 的曲線斜率 ， 2 ()Df x 表示 曲線 的凹凸性 。但 三階 和更高 階導(dǎo)數(shù)給出的 幾何 意義 很少或根本沒(méi)有。 那么對(duì)于 這些特殊 的導(dǎo)數(shù) ()D f x? ， 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)沒(méi)有簡(jiǎn)單的幾何意義對(duì)我們 來(lái)說(shuō)也 并不感到驚訝 了 。 問(wèn)題 7：分?jǐn)?shù)階微分的下極限是 c 。 【參考文獻(xiàn)】 [1] A. 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She would rather research the fractional calculus than clean, and preparing lectures is preferable to doing laundry. Her hobbies include reading, music, and physical fitness. Tom Osler () is a professor of mathematics at Rowan University. He received his . from the Courant Institute at New York University in 1970 and is the author of twentythree mathematical papers. In addition to teaching university mathematics for the past thirtyeight years, Tom has a passion for long distance running. Included in his over 1600 races are wins in three nati