高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教b版）必修一《111 集合的概念》教案-預(yù)覽頁
【正文】 屬于 R，則 R 滿足 R 的定義，因此 R 不應(yīng)屬于自身，即 R 不屬于 R；另一方面，如果 R 不屬于 R，則 R 不滿足 R 的定義，因此 R 應(yīng)屬于自身，即 R屬于 ，不論何種情況都存在著矛盾 .這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論 漏洞辯解的余地 .絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中 .這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī) .危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去 .1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱 ZF 公理系統(tǒng) .原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn) .這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論 .與此相對(duì)應(yīng)，在 1908 年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論 .公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理 .它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了 第三次數(shù)學(xué)危機(jī) .公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去 .從康托爾提出集合論至今，時(shí)間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等 .而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的 .因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié) . 它是對(duì)無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高 成就之一 . 超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一 . 這個(gè)成就可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作 . 康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對(duì)數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn)之一 . 注：整系數(shù)一元 n 次方程的根，叫代數(shù)數(shù) .如一切有理數(shù)是代數(shù)數(shù) .大量無理數(shù)也是代數(shù)數(shù) .如根號(hào) 是方程 x22=0 的根 .實(shí)數(shù)中不是代數(shù)數(shù)的數(shù)稱為超越數(shù) .相比之下，超越數(shù)很難得到 .第一個(gè)超越數(shù)是劉維爾于 1844 年給出的 .關(guān)于π是超越數(shù)的證明在康托爾的研究后十年才問世 .
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