高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章4《數(shù)學(xué)歸納法》課時作業(yè)-預(yù)覽頁
【正文】 12n＋ 2) ＝ f(n)＋ 12n＋ 1 2n＋ 2 ＞ f(n)， ∴ f(n＋ 1)＞ f(n)＞ ? ＞ f(1)＝ 12＝ 1224， ∴ m＝ 11. 三、解答題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12n－ 1－ 12n＝ 1n＋ 1＋ 1n＋ 2＋ ? ＋ 12n. [證明 ] ① 當(dāng) n＝ 1時，左邊＝ 1－ 12＝ 12＝ 11＋ 1＝右邊， ∴ 當(dāng) n＝ 1時，等式成立． ② 假設(shè) n＝ k時等式成立，即 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12k－ 1－ 12k＝ 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k. 則當(dāng) n＝ k＋ 1時， 左邊＝ 1－ 12＋ 13－ 14＋ ? ＋ 12k－ 1－ 12k＋ 12k＋ 1－ 12k＋ 2 ＝ ( 1k＋ 1＋ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k)＋ 12k＋ 1－ 12k＋ 2 ＝ ( 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k＋ 12k＋ 1)＋ ( 1k＋ 1－ 12k＋ 2) ＝ 1k＋ 2＋ ? ＋ 12k＋ 12k＋ 1＋ 12k＋ 2＝右邊． ∴ n＝ k＋ 1時等式成立． 由 ①② 知等式對任意 n∈ N＋ 都成立． [點評 ] 在利用歸納假設(shè)論證 n＝ k＋ 1等式成立時，注意分析 n＝ k與 n＝ k＋ 1 的兩個等式的差別． n＝ k＋ 1時，等式左邊增加兩項，右邊增加一項，而且右式的首項由 1k＋ 1變到1k＋ ，右式中的1k＋ 1應(yīng)與－12k＋ 2合并，才能得到所證式．因此，在論證之前，把 n＝ k＋ 1時等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作一下分析是有效的． 8．已知函數(shù) f(x)＝ x＋ 3x＋ 1(x≥0) ．設(shè)數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 1， an＋ 1＝ f(an)，數(shù)列 {bn}滿足 bn＝ |an－ 3|，用 數(shù)學(xué)歸納法證明： bn≤ 3－n2n－ 1 . [證明 ] 當(dāng) x≥0 時， f(x)＝ 1＋ 2x＋ 11. 因為 a1＝ 1，所以 an≥1( n∈ N＋ )． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 bn≤ 3－n2n－ 1 . (1)當(dāng) n＝ 1時， b1＝ 3－ 1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k≥1) 時，不等式成立． 即 bk≤ 3－k2k－ 1 ， 那么 bk＋ 1＝ |ak＋ 1－ 3|＝ 3－ ak－ 3|1＋ ak≤ 3－ 12 bk≤ 3－k＋ 12k . 所以，當(dāng) n＝ k＋ 1時，不等式也成立． 根據(jù) (1)和 (2)，可知不等式對任意 n∈ N＋ 都成立．
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