【正文】 △ 3 =cbacbacbacbacba??????222 =222111)(cbacbacba ?? ))()()(( bcacabcba ?????? Vandermonde 行列式 在多項式與向量空間中的應(yīng)用 在線性方程組中， Cramer 法則有著非常重要的作用，它給出了一類重要 的線性方程組的解的存在唯一性 .而 在許多行列式的計算與證明中， Vandermonde行列式 又是一個十分重要的行列式 .兩個如此“重要”的數(shù)學(xué)元素相結(jié)合，其產(chǎn)生的作用將更重要 .Vandermonde 行列式 在多項式 與向量空間 中的應(yīng)用，主要就是結(jié)合 Cramer 法則來證明相關(guān) 的問題 [9].下面一起來看幾個典型的例子 . Vandermonde 行列式 在多項式中的應(yīng)用 例 6 證明一個 n 次多項式至多有 n 個互異的根 . 證 明 用 反 證法 . 設(shè) nn xaxaxaaxf ????? ?2210)( 有 n+1 個互異的根，分別為 ： 121 , , , ?nxxx ? ，則有： 0)( 2210 ?????? niniii xaxaxaaxf ? （ 11 ??? ni ） 即????????????????????????? 0 00122111022221201221110nnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa??????? 這個關(guān)于 naaa , , , 10 ? 的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是一個 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 11 Vandermonde 行列式 : 0)( 1 1 111121!22221211??? ????????nijjinnnnnnxxxxxxxxxxx???????則 由 Cramer法則知該方程組只有零解，即 0210 ????? naaaa ?， 而 n 次多項式)(xf 的最高次項的系數(shù) na 是不為 零 的 .這個矛盾表明 )(xf 至多有 n 個互異的根 . 例 7 設(shè)多項式 nknkk xaxaxaxf ???? ?21 21)( ， 0?ia ， ji kk? ，ji? ， },2,1{, nji ?? ，則 )(xf 不可能有非零且重數(shù)大于 1?n 的 根 . 證明 用 反 證法 . 設(shè) 0?? 是 )(xf 的重數(shù)大于 1?n 的根，則 0)(,0)(,0)( )1(39。?????????????????????????????0 00 10??nkkk的 兩端 ，得： 0210 ????? nkkkk ?，所以 nxxx ?, , ,1 2 線性無關(guān) . 故 C[a,b]是 R 上的 向量空間 ，且是 R 上的無限維向量空間 . 例 11 設(shè) 0dim ?? nVF （即 V 的維數(shù)為 n）， 存在集合 VS? ， 使 S 含無窮多個向量，且 S 中任意 n 個不同的向量都是 V 的一個基 . 證 明 設(shè) n??? , , , 21 ? 是 V 的一個基， 令 ? ?FkkkkS nn ?????? ? |13221 ???? ?， nnk kkk ????? 13221 ?????? ?，讓 nkk , , , 21 ? 互不相同， 則 ?????????????????????? 11211222212121 1 1 1), , , (), , , (21nnnnnnnkkkkkkkkkkkkn????????? ?????? 由于?????????????????????? 112112222121 1 1 1nnnnnnkkkkkkkkkT???????， 其行列式是 Vandermonde 行列式， 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 15 即 0)(de t1 ???? ? ??? nij ji kkTT， 故 ), , , (21 nkkk ??? ?線性無關(guān)，是 V 的一個基 ，且S 中含無窮多個向量 . 當(dāng)然， Vandermonde 行列式 與 Cramer 法則相結(jié)合的應(yīng)用遠(yuǎn)不僅此，二者還可用于求缺項 )11( ??? nkx k 的多項式的表達(dá)式、 Lagrange 插值公式的推導(dǎo)等， 還可與泰勒公式相結(jié)合來證明有關(guān) 高階微積分的問題 ， 因所需的專業(yè) 知識較深、綜合性較強、推導(dǎo)計算等過程較復(fù)雜，這里不作研究 . 5 小 結(jié) 以上我們在回顧行列式相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步 比較系統(tǒng)地 闡述了Vandermonde 行列式 的一些重要性 質(zhì)與 其在行列式計算、多項式、向量空間中的 基本 應(yīng)用等知識， 使得我們對 vandermonde 行列式進(jìn)一步加深了解與應(yīng)用 .在本文的撰寫中，我通過查閱大量文獻(xiàn)，在各代數(shù)學(xué)家研 究的理論基礎(chǔ)上選擇并 總結(jié) 了 適 合大 學(xué) 生 學(xué)習(xí) 與 應(yīng) 用的 部 分 ，通 過 舉 例 向大家 具體 呈現(xiàn) 了Vandermonde 行列式 的應(yīng)用方法， 同時 開闊 了 自己 的 數(shù)學(xué)視野 ， 培養(yǎng) 了 發(fā)散思維能力 與科研素養(yǎng) ，為今后 繼續(xù) 對 行列式及 vandermonde 行列式更深層次、更復(fù)雜層次的相關(guān)研究做鋪墊 .對于第一次論文的撰寫，難免有紕漏，望老師 提出寶貴的意見， 以便更好地 為我們的 學(xué)習(xí)、 科研和 生活服務(wù) . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 16 參考文獻(xiàn) [1] 張賢科，許甫華 .高等代數(shù) [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,1998 年 4 月 :102. [2] 王萼芳，石生明 .高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 .20xx 年 6 月 :7981. [3] 李師正 .高等代數(shù)解題方法與技巧 [M].北京 :高等教育出版社 .20xx 年 7 月 :9596. [4] 張禾瑞，郝炳新 . 高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 .1999 年 5 月 :119120. [5] 黃玉蟬 .多項式、線性方程組及 Vandermonde 行列式的相互應(yīng)用 [J].濟南大學(xué)學(xué)報 .1994(2):46. [6] 劉建中 .范德蒙德行列式的一個性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 [J].河北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(4):810. [7] 袁旭華，楊海文，趙耀峰 .幾種類 Vandermonde 行列式的計算 [J].延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(1):79. [8] 王新長 .Vandermonde 行列式在 高等代數(shù)中的應(yīng)用 [J].井岡山師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(3):35. [9] 宴林 .范德蒙行列式的應(yīng)用 [J].文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報 .20xx(2):1013. 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè) 論文 17 謝辭 在論文的選題及撰寫過程中得到 我的指導(dǎo)教師 的悉心指導(dǎo) ， 在此表示 衷心的感謝！李老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺，在論文寫作的這段時間里 ,她時刻關(guān)心著我的論文完成情況 ,并時常給我指出論文中的缺點和需要改進(jìn)的地方 ,并指導(dǎo)我如何查找資料，使得我最后順利完成論文 .同時感謝其他所有幫助過我的老師、同學(xué)以及一起努力過的朋友 .